- •А. Б. Дюбуа, с. Н. Машнина, с. А. Нелюхин
- •Введение
- •Элементы теории погрешностей
- •Абсолютная, относительная погрешности
- •Значащие, верные цифры. Округление чисел
- •Погрешности результата арифметических операций
- •Погрешности значения функции
- •Полиномиальные интерполяции
- •Форма Лагранжа
- •Конечноразностные формулы
- •Диагональная таблица разностей
- •Первый интерполяционный многочлен Ньютона
- •Второй интерполяционный многочлен Ньютона
- •Центральные интерполяционные формулы
- •Выводы и примеры на интерполирование
- •Обратное интерполирование
- •Интерполяцияс кратными узлами. Полиномы Эрмита
- •Сплайн – интерполяция
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Литература
Форма Лагранжа
Пусть на отрезке [a,b] заданы n+1 опорных (узловых) точек . Пусть, кроме того, заданыn+1 действительных чисел yj (j=0,1,……n) – значения функции. Тогда имеем следующую задачу интерполяции: найти многочлен степени не большеn такой, что для.
Данная интерполяция применяется тогда, когда известны только дискретные значения в узловых точках таблично заданной функции f(x), и для того, чтобы вычислить другие ее значения между (inter) точками или вне (extra) отрезка узловых точек. Найти многочлен - это значит найти все егоn+1 коэффициентов
(3)
Условия определяют системуn уравнений:
(4)
Она имеет единственное решение, ввиду того, что определитель Ван-дер-Монда системы
отличен от нуля. Решение этой системы уравнений представляет определенные сложности. Поэтому поступим следующим образом: будем строить многочлен n-ой степени в виде линейной комбинациимногочленов той же степени. Приравнивая, а базисные многочлены символу Кронекера имеем:
для i, j. (5)
получаем
т.е. выполнено условие .
Теперь подберем многочлен удовлетворяющий условию (5). Равенство нулю любогово всех узлах, кромеi-го, можно обеспечить, записав его в виде
(6)
Так как, в соответствии с (5), , то из последнего выражения определяется нормировочный коэффициент:
(7)
Подставляя (7) в (6), получим для базисного многочлена в форме Лагранжа
(8)
и в результате искомый многочлен есть
(9)
Рассмотрим в качестве примеров первые три интерполяционные формулы.
Линейная интерполяция (n=1).
Для этого случая имеется информация о f(x) в двух точках (x0,y0) и (x1,y1). Очевидно, что искомый многочлен есть прямая проходящая через указанные точки, и определяется она с помощью двух базисных многочленов первой степени и. Тогда
(10)
Пример 1. Рассмотрим линейную интерполяцию функции на отрезке [0;6] по двум крайним точкам интервалаy(0)=1, y(6)=1/729.
По формуле (10) получаем
(10*)
Квадратичная интерполяция (n=2).
Теперь информация о функции f(x) имеется в трех точках, приведённых в таблице
i |
0 |
1 |
2 |
xi |
x0 |
x1 |
x2 |
yi |
y0 |
y1 |
y2 |
По трем базисным многочленам:
, ,
образуется квадратичная интерполяция
(11)
Пример 2. Рассмотрим квадратичную интерполяцию той же функции на отрезке [0;6] по трем точкам:y(0)=1, y(3)=1/27, y(6)=1/729. По (11) получаем
(11*)
Кубическая интерполяция (n=3).
Здесь образование интерполяционного многочлена осуществляется по четырем точкам
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
xi |
x0 |
x1 |
x2 |
x3 |
yi |
y0 |
y1 |
y2 |
y3 |
По формуле (9), записывая аналогично выражения для базисных многочленов, получаем
(12)
Пример 3. Рассмотрим кубическую интерполяцию той же функции на отрезке [0;6] по четырем точкам:y(0)=1, y(2)=1/9, y(4)=1/81, y(6)=1/729. По формуле (12) получаем
или после преобразований
(12*)
П
Рис. 1 График
функции
(сплошная кривая) и интерполирующие ее
многочлены: (1) – линейный; (2) –
квадратичный; (3) – кубический.
Теперь оценим погрешность полученных приближений. По формуле (1) получаем:
, (13)
, (14)
,(15)
где а и b – границы отрезка [0,6].
Интегралы (13)-(15) вида вычисляем в элементарных функциях. Интегрируя (13)-(15), получаем:
Из чего следует, что из трёх полученных аппроксимаций наиболее точно исходную функцию описывает кубическая аппроксимация .
Для получения приближенных значений из отрезка [a;b] выберем внутри исследуемого интервала контрольную точку и сравним значения функции с ее аппроксимациями. Пусть. Подставляяв (10*)-(12*) и вычисляя по таблицам значение функции, получаем: ,,, а. Ошибка вычисления по формуле составит: ,,.Откуда видно, что при наибольшем n ошибка минимальна, т.е. при кубической интерполяции.
Другой способ получить общую оценку (в произвольной точке) - из выражения для остаточного члена
т.е. отклонения от.Считая, что на [a,b] непрерывно дифференцируема n+1 раз можно показать, что максимальная погрешность на этом интервале оценивается величиной
(16)
где обозначено
Из формулы (16) следует, что остаточный член с увеличением n уменьшается, следовательно, при этом выполняется условие , т.е. возрастает точность интерполяции.
Достоинством формулы Лагранжа, безусловно, является отсутствие каких-либо требований к расстояниям между узловыми точками, однако для практических вычислений она неудобна, так как при переходе к более высоким степеням многочлена приходится заново вычислять все входящие в него слагаемые. Поэтому чаще применяются полиномиальные интерполяции в более удобном разложении, при котором каждое следующее слагаемое просто добавляется к уже вычисленным.