- •А. Б. Дюбуа, с. Н. Машнина, с. А. Нелюхин
- •Введение
- •Элементы теории погрешностей
- •Абсолютная, относительная погрешности
- •Значащие, верные цифры. Округление чисел
- •Погрешности результата арифметических операций
- •Погрешности значения функции
- •Полиномиальные интерполяции
- •Форма Лагранжа
- •Конечноразностные формулы
- •Диагональная таблица разностей
- •Первый интерполяционный многочлен Ньютона
- •Второй интерполяционный многочлен Ньютона
- •Центральные интерполяционные формулы
- •Выводы и примеры на интерполирование
- •Обратное интерполирование
- •Интерполяцияс кратными узлами. Полиномы Эрмита
- •Сплайн – интерполяция
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Литература
Обратное интерполирование
Одним из важных аспектов применения интерполяционной формулы Лагранжа является решение так называемой задачи обратного интерполирования — нахождения приближенного значения по известному значению. Речь здесь пойдет, в первую очередь, о таблично заданных функциях, для которыхне совпадает ни с одним узлом. Формально можно поступить следующим образом: построить обратную функциюи по заданномунайтипо формуле
(39)
т.е. поменяв в формуле (9) значения функции и аргумента. Это нетрудно проделать для многочленов небольших степеней, однако процесс заметно усложняется при увеличении степени. Если же степень многочлена заранее неизвестна, то наиболее приемлемы интерполяционные формулы Ньютона, Бесселя и Стирлинга.
Поступаем следующим образом. Выбираем базовый узел , наиболее близкий к заданному значению. Предполагая, что функциямонотонна, анаходим допуская его близость к, т.е. его находят из соответствующих интерполяционных формул путем последовательных приближений (итераций) длины интервала, из которого следует.
Пусть, например, , т.е. находится в середине диагональной таблицы разностей, и, следовательно, применима любая из центральных интерполяционных формул. Из формулы
выражаем
и строим итерационный процесс
(40)
при k=0, 1, 2… , начиная с . Количество членов в формуле (37) можно зафиксировать в соответствии с поведением конечных разностей, а сам итерационный процесс продолжаем до выполнения условия , где - наперед заданная погрешность вычисления.
Аналогичные формулы можно получить исходя, из других интерполяционных выражений. Например, если и находится в начале диагональной таблицы разностей, то подходящей для обратного интерполирования итерация будет
(41)
Пример 5. Пусть функция y=y(x) задана в виде таблицы (см. пример 4 из предыдущего параграфа). Требуется найти приближенно корень уравнения y=0 с точностью =0,01.
Решение.
По диагональной таблице разностей определяем, что искомый интервал , так как, и можно применить любую из полученных формул (40) или (41).
Полагая, что ,,n=3, в соответствии с формулой последовательных приближений (41) и данными таблицы примера 4, находим:
Видно, что разность , следовательно, итерационный процесс можно завершить, и искомое .
Решение задачи с использованием формулы (40) предлагается сделать читателю самостоятельно.
Интерполяцияс кратными узлами. Полиномы Эрмита
При решении инженерных и экономических задач часто возникает задача восстановления интерполяционного многочлена по известным значениям функции и производным в равноотстоящих узлах. Приведем два примера.
Пусть переменное движение материальной точки описывается по неизвестному закону . При этом известно: координаты точек,,…,; скоростей,,…,; ускорений,,…,;...и т.д. до,,…,. Требуется по заданным значениям найти закон движения.
Пусть объем произведенной продукции описывается неизвестной функцией . При этом известно: количество продукции,,…,; производительность труда,,…,. При этом некоторые данные могут отсутствовать. Требуется по заданным значениям восстановить неизвестную функцию и значения.
Итак, имеем следующую постановку задачи.
Пусть функция задана в равноотстоящих узлах, где, и имеется информация о значениях производных произвольного порядка в этих точках, то есть
, ,,….,— всегозначений;
, ,,….,— всегозначений;
, ,,….,— всегозначений;
… … … … … … … … …
, ,,….,— всегозначений.
В общем случае , кроме того, информация об промежуточных производных может отсутствовать.
Необходимо получить явный вид функции .
Будем называть узел , в котором определенапроизводная, узлом кратности; узелв котором определена- производная, узлом кратности; и т.д… узелв котором определена- производная, узлом кратности.
Решение задачи о нахождении явного вида функции будем называть задачей о кратных узлах, а сам полином, аппроксимирующий функцию — полиномом Эрмита.
Поиск общего вида интерполяционного многочлена Эрмита представляет сложную задачу и требует привлечения математического аппарата теории функции комплексного переменного и выходит за рамки настоящего курса.
Можно показать, что искомый многочлен будет n-ой степени, которая определяется из равенства , а его аналитическая форма определяется выражением
(42)
где - многочлен Лагранжа m-ой степени, построенный по m известным значениям функции ,-многочлен степени m+1.
Формула (42) составлена из следующих соображений. В узлах, при , где, второе слагаемое равно нулю, и значения функции в этих точках равны. Таким образом, выражение (42) представляет собой выделение многочлена Лагранжа из многочлена Эрмита, а второе слагаемое степениn должно обращаться в нуль в узловых точках и состоит из произведения многочлена m+1 степени1 и неизвестного многочлена , для определения которого продифференцируем (42)
(43)
В узловых точках, второе слагаемое равно нулю, и
(44)
Если информация об интерполируемой функции исчерпывается данными об ее первых производных, то формула (41) будет окончательной и достаточной для восстановления неизвестной функции простым методом Лагранжа. Если известны производные более высоких порядков, то процесс дифференцирования (39) продолжают - раз, т.е. до максимальной кратности.
Пример 6. Пусть некоторая функция задана в виде
i |
x | |||
0 |
34 |
36 |
32 |
4 |
1 |
36 |
38 |
30 |
|
2 |
38 |
31 |
1 |
8 |
Требуется найти многочлен Эрмита, для которого: ;;, для.
Решение.
Определяем кратность каждого узла и кратность интерполирующего многочлена. Имеем: m=2; ; ; , откуда .
Общий вид многочлена Эрмита будет
.
Интерполяционный многочлен Лагранжа находим по формуле (11)
следовательно,
(*)
Так как максимальная кратность равна 2, то, дифференцируя дважды (*), получаем
Из полученных формул получаем
Сведем полученные данные о многочлене в таблицу
i |
xi | ||
0 |
34 | ||
1 |
36 |
| |
2 |
38 |
Определяем кратность каждого узла и уточняем кратность многочлена . Имеем: m=2; ; ; , откуда .
Общий вид многочлена Эрмита будет
.
Новый интерполяционный многочлен Лагранжа находим по формуле (11):
следовательно,
(**)
Так как максимальная кратность узлов таблицы многочлена равна 1, то, дифференцируя один раз уравнение (**), получаем
и по двум точкам
многочлен определяется таблицей
-
i
xi
0
34
1
36
2
38
восстанавливается линейной интерполяцией (10)
Подставляя полученное выражение в (**), получаем для искомого многочлена
Наконец, подставляя последнее выражение в исходное (*), находим интерполирующий функцию полином Эрмита
Непосредственной проверкой (проверьте!), убеждаемся, что полученный многочлен действительно является интерполирующим для функции, т.е. удовлетворяет условию задачи. Кроме того, имеем возможность найти неопределенное в условии значение.