Математический анализ
.pdf1.ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1.15.Свойства функций, имеющих предел
|
Теорема 1.23. Пусть lim f1 (x) = b1 , |
|||||
|
|
|
|
|
|
x→a |
а) lim(f1 (x)± f2 (x))= b1 ± b2 . |
||||||
x→a |
|
|
|
|
|
|
б) lim f1 (x) f2 |
(x) = b1 b2 . |
|||||
x→a |
|
(x) |
|
|
|
|
в) lim |
f1 |
= |
b |
1 |
, если b2≠0. |
|
f2 |
(x) |
|
|
|||
x→a |
|
b2 |
lim f2 (x) = b2 , тогда:
x→a
Теорема 1.24. Пусть в некоторой окрестности точки а функции связанны неравен- |
||
ством: f1(x) ≤ f2(x), и lim f1 |
(x)= b1 |
, lim f2 (x) = b2 , тогда b1 ≤ b2. |
x→a |
|
x→a |
Теорема 1.25. Пусть в некоторой окрестности точки а функции связаны неравенст- |
||
вами: f1(x) ≤ f2(x) ≤ f3(x), и lim f1 |
(x)= lim f3 |
(x) = b , тогда lim f2 (x) = b . |
x→a |
x→a |
x→a |
Эти теоремы легко доказать, если воспользоваться определением предела функции “по Гейне” и уже доказанными теоремами о свойствах сходящихся последовательностей
(см. п. 1.1.17.).
1.16. Замечательные пределы
Теорема 1.26. lim sin x =1.
x→0 x
Дано: х→0.
Доказать: lim sin x =1.
x→0 x
Пусть х есть радианная мера угла и 0<x< π2 .
Пользуясь очевидными неравенствами (см. рис. 1.9)
S∆AOB<Sсект. AOB<S∆AOC
и учитывая, что S∆AOB = 12 R 2 sin x , Sсект. AOB= 12 R 2x , S∆AOC = 12 R 2tgx , где R есть радиус круга, получим 0<sin x<x<tg x.
y
B C
R x
O A
х
Рис. 1.9.
32
1. ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Деля полученные неравенства на sin x>0, имеем
0<1< sinx x < cosx1
или
cosx< |
sin x |
<1, |
|
|
|
(1.37) |
|
x |
π |
|
sin x |
||||
|
|
|
|
||||
которые верны и для - |
<x<0, так как cosx и |
являются четными функциями. Если |
|||||
2 |
x |
||||||
|
|
|
|
|
теперь в неравенствах (1.37) перейти к пределу при х→0 и пользоваться теоремой о предельном переходе в функциональных неравенствах (см., например, теорему 1.14), то получим
lim sin x =1.
x→0 x
Результат (1.36) известны как первый замечательный предел.
Теорема 1.27.
|
|
1 x |
(1.38) |
||
lim 1 |
+ |
|
|
= e. |
|
|
|||||
x→∞ |
|
x |
|
|
Эту теорему можно доказать, пользуясь определением предела функции по Гейне. Результат (1.38), который известен как второй замечательный предел, можно записать и в форме
1
lim(1 + x)x = e . (1.39)
x→0
Ниже приведем еще некоторые известные пределы, которые получаются из первого
и второго замечательных пределов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1. lim |
ln(1 + x) |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.40) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x→0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
ln(1 + x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||
Действительно, так как |
= ln(1 + x) |
|
, то |
|
|||||||||||||||||
x |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
lim ln(1 + x) |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|||||
= lim ln(1 + x)x = ln e = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. lim |
ex −1 |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.41) |
|||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для получения этого результата сделаем замену ex -1= t, причем заметим, что при |
|||||||||||||||||||||
x→0 t→0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex −1 |
|
|
|
|
|
||||
Тогда x=ln (1+t) и имеем lim |
= lim |
|
|
t |
=1. |
||||||||||||||||
x |
|
ln(1 + t) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
t→0 |
|
||||||||
|
|
log |
1 + x |
) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. lim |
|
a ( |
|
|
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.42) |
|||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
33
1. ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
4. lim |
a x −1 |
= ln a. |
(1.43) |
||
x |
|
||||
x→0 |
|
|
Отметим, что доказательства (1.42) и (1.43) проводятся аналогично (1.40) и (1.41).
5. lim |
1 −cos x |
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.44) |
||||
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x→0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Действительно, пользуясь формулой 1-cosx=2sin |
|
|
имеем |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
||||||||
|
1 −cos x |
|
|
|
|
2sin |
|
|
|
|
2sin |
|
|
|
|
|
1 |
|
sin |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||
lim |
= lim |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
|
|
|
= |
. |
|||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
2 |
|||||||||||||||||||
x→0 |
x2 |
x→0 |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
2 x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В заключении отметим, что все полученные выше формулы инвариантны относительно аргумента. То есть, эти формулы справедливы в более общем виде. Например,
lim |
|
sin f(x) |
=1, |
|
1 |
|
|
ϕ(x) |
|
|
|
|
|
|
|
ln[1 + f(x)] |
|
|
|
|
lim |
1 −cos f(x) |
= |
1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
lim 1 + |
|
|
|
|
|
= e, |
lim |
|
|
=1, |
|
|
|
|
и т.д. |
||||||||||||||||||
|
|
f(x) |
|
|
|
|
f(x) |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
f (x)→0 |
|
|
|
|
ϕ(x)→∞ |
ϕ(x) |
|
|
|
|
f |
(x)→0 |
|
|
|
|
|
f (x)→0 f 2 (x) |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.17. Сравнение бесконечно малых функций |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Пусть при x → a (x → ∞) две функции α(х) и β(х) являются бесконечно малыми |
|||||||||||||||||||||||||||||||
функциями. |
Примерами |
таких функций |
могут служить |
α1 (x) = sin x |
при x→0, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
α |
|
( |
x |
) |
= 3 |
1 − x |
) |
при x → 1, α |
|
( |
x |
) |
= ex −1 при x → 0, α |
|
( |
x |
) |
= |
1 |
при x → ∞. |
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
( |
|
|
|
3 |
|
|
α(x) |
|
|
4 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Определение 1.24. Если |
lim |
= k |
≠ 0, то α(х) и β(х) называются б.м.ф. одного |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
β(x) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x→∞) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Определение 1.25. Если |
|
lim |
|
=1, |
то α(х) и β(х) называются эквивалентными |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
β(x) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x→∞) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(примерно равными). Этот факт записывается так: α(x)~ β(x) при x→a (x→∞). |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Определение 1.26. Если |
|
lim |
|
|
α(x) |
= 0, то α(х) называется б.м.ф. высшего порядка |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β(x) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x→∞) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по отношению к β(х) (или β(х) называется б.м.ф. низшего порядка по отношению к α(х)). Этот факт записывается так: α(x)= о(β(x)).
α(x)
Определение 1.27. Если lim ( ) = ∞, то α(х) называется б.м.ф. низшего порядка
(x→a ) β x
x→∞
по отношению к β(х) (или β(х) называется б.м.ф. высшего порядка по отношению к α(х)). Легко видеть, что определения 1.26 и 1.27 относятся к одному и тому же случаю,
когда сравниваются б.м.ф. разного порядка.
34
1. ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Определение 1.28. Если |
lim |
|
α(x) |
= k ≠ 0, то n называется порядком б.м.ф. α(х) |
|||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(xx→→∞a ) (β(x))n |
|
||
по отношению к β(х). |
|
|
|
|
|
||||||
Пример 1. Сравнить б.м.ф. α(х)=sinx, β(x)=x при x→0. Имеем |
|||||||||||
lim |
α(x) |
= lim |
sin x |
|
=1. |
|
|
|
|
||
β(x) |
x |
|
|
|
|
||||||
x→0 |
x→0 |
|
|
|
|
|
|||||
Следовательно: sin x ~ x при x→0. |
|
||||||||||
Пример 2. Сравнить б.м.ф. α(x)=x2 и β(x)=sin x при x→0. Имеем |
|||||||||||
lim |
α(x) |
= lim |
x2 |
= lim |
x |
x = 0. |
|
||||
β x |
) |
|
sin x |
sin x |
|
||||||
x→0 |
|
x→0 |
x→0 |
|
|
|
|||||
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно: α(x)=x2- б.м.ф. высшего порядка по отношению к β(x)=sinx при x→0, т.е. x2=0 (sin x) при x→0.
Найдем, какого порядка б.м.ф. α(x)=x2 по сравнению с б.м.ф. β(x)=sin x при x→0.
|
|
|
|
|
Обозначая порядок через к, по определению 1.28 имеем lim |
α(x) |
|
|
0,при |
= lim |
x2 |
= 1,при |
||
x →0 |
(β(x))l |
x →0 |
(sin x)l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞,при |
|
|
|
|
|
Следовательно: α(x) = x2 - б.м.ф. 2-ого порядка по отношению к б.м.ф. β(x) при x→0.
к< 2
к= 2
к> 2
= sin x
1.18. Непрерывность функции в точке
Пусть f(x) определена в точке x0 и в некоторой ее окрестности. Определение 1.29. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если
lim f(x) = f(x0 ). (1.45.)
x→x0
Определение 1.30. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если любой последовательности { xn} → x0 соответствует {f (xn )}→ f (x0 ). .
В силу эквивалентности определений предела функции “по Коши” и “по Гейне” определения 1.29 и 1.30 также эквивалентны.
Определение 1.31. Функция f(x) называется непрерывной справа (слева) в точке x0,
если lim f (x)= f (x0 ).
(x→x0 +0 ) x→x0 −0
Определение 1.32. Если функция f(x) непрерывна в точке x0 справа и слева, то она непрерывна в точке x0.
Имея ввиду определение 1.32 условие непрерывности f(x) в точке x0 (1.45) можно
переписать в виде |
( |
|
) |
|
( |
|
0 ) |
f (x |
0 |
)- существует. |
||||
lim f |
( |
x |
) |
= lim f |
x |
= f |
x |
|||||||
|
|
|
|
|
, |
|
||||||||
x→x0 +0 |
|
x→x0 −0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
35
1. ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Пример 1. Функция f(x) = cosx непрерывна в точке x0, так как lim cos x = cos x0
x→x0
(см. п. 1.1.13).
Определение 1.33. Точка, в которой функция y=f(x) не обладает свойством непрерывности, называется точкой разрыва.
Пример 2. Покажем, что функция y=sgn x (см. (1.26)) разрывна в точке x0=0.
На самом деле, так как lim sgn x =1, |
lim sgn x = −1, sgn |
|
x=0 = 0 , то не выполняется |
|
|||
x→0+0 |
x→0-0 |
|
|
условие непрерывности (1.46) для функции sgn x в точке x0=0. То есть функция sgn x в точке x0=0 является разрывной функцией.
Пример 3. Рассмотрим функцию f(x) = x1−1 в окрестности точки x0=1. Данная функция не определена в этой точке, следовательно, она разрывна в точке x0=1.
Пример 4. Рассмотрим функцию f(x) = sinx x . Эта функция разрывна в точке x0=0,
т.к. не определена в этой точке. Если доопределить ее в точке x0=0, задав ее значение в
sin x |
,при |
х ≠ 0 , то таким образом |
|
этой точке f(0)=1, т.е. рассмотреть функцию ϕ(x)= |
x |
||
|
при х |
= 0 |
|
1, |
доопределенная функция ϕ(x) окажется непрерывной в точке x0=0. Действительно:
lim sin x =1 = f(0) =1 и выполняется условие непрерывности (1.46) в точке x=0.
x→0 x
В заключении отметим, что если функция f(x) непрерывна в точке x0, то можно перейти к пределу в аргументе этой функции. Этот факт следует из условия непрерывности функции f(x) в точке x0 (см. (1.45)). На самом деле, согласно (1.45) имеем
lim f(x) = f(x0 ) = f |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim x . |
||
x→x0 |
x→x0 |
|
1.19. Классификация точек разрыва
Как уже говорилось выше, если функция f(x) в точке x0 удовлетворяет условию непрерывности 1.46, то функция f(x) будет непрерывна в точке x0. Если в этом условии что-то нарушается, то функция f(x) оказывается разрывной в точке x0.
1. Разрыв первого рода.
Если в точке разрыва x0 существуют конечные правосторонний и левосторонний неравные пределы функции f(x), то функция f(x) в точке x0 имеет разрыв первого рода. Примером такой функции может служить уже рассмотренная выше функция sgn x. Она имеет разрыв первого рода в точке x0=0.
2. Устранимый разрыв.
Если в точке разрыва x0 существуют конечные односторонние пределы функции
|
|
|
|
, то функция |
f(x) и равны lim f(x) = lim f(x) , но функция f(x) не определена в точке x0 |
||||
|
x→x0 +0 |
x→x0 −0 |
|
|
36
1. ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
f(x) в точке x0 имеет устранимый разрыв. Примером такой функции может служить выше рассмотренная функция sinx x , которая в точке x0=0 имеет устранимый разрыв.
3. Разрыв второго рода.
Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва первого рода и устранимого разрыва, называются точками разрыва второго рода.
Подобного рода разрыв имеет уже выше рассмотренная функция f(x) = x1−1 в точ-
ке x0=1, так как lim |
1 |
|
= ±∞. |
|
|
||
x→1±0 x −1 |
|
1.20. Определение непрерывности функции в точке с использованием понятия приращения функции
Пусть функция f(x) определена в точке x0 и в некоторой ее окрестности, а точка x0+∆x принадлежит этой окрестности, тогда разность f(x0+∆x) – f(x0) = ∆f(x0 )∆x называет-
ся приращением функции f(x) в точке x0 при приращении аргумента ∆x. Определение 1.34. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если
lim ∆f(x0 ) = 0. (1.47)
∆x→0
Данное определение и определение 1.32. эквивалентны. Для доказательства этого утверждения необходимо доказать справедливость двух высказываний:
lim (f(x0 |
+ ∆x)− f(x0 ))= 0 lim f(x) = f(x0 ) |
|
∆x→0 |
|
x→x0 |
и |
|
(f(x0 + ∆x)− f(x0 ))= 0. |
lim f(x) = f(x0 ) lim |
||
x→x0 |
∆x→0 |
|
Читатель может самостоятельно выполнить эти доказательства, воспользовавшись определением предела функции, обозначением x0+∆x= x и тем фактом, что x→x0
∆x→0.
1.21. Арифметические действия над непрерывными функциями
Теорема 1.28. Если функции f(x) и ϕ(x) непрерывны в точке x0, то функции f(x) ± ϕ(x), f(x) ϕ(x) и ϕf(x)(x) (при условии ϕ(x0)±0) также непрерывны в точке x0.
Для доказательства этой теоремы следует использовать определение функции, непрерывной в точке и теоремы об арифметических действиях над функциями, имеющими предел (п. 1.1.15).
Ниже приведем доказательство этой теоремы для случая произведения функций f(x) ϕ(x).
Дано: lim f(x) = f(x0 ), lim ϕ(x) = ϕ(x0 ). |
|
x→x0 |
x→x0 |
37
1. ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Доказать: lim f(x) ϕ(x) = f(x0 ) ϕ(x0 ). |
|
|
x→x0 |
|
|
По теореме 1.23. имеем |
|
|
lim f(x) ϕ(x) = lim f(x) lim ϕ(x) = f(x0 ) ϕ(x0 ). |
||
x→x0 |
x→x0 |
x→x0 |
А последнее и означает, что функция f(x) ϕ(x) непрерывна в точке x0.
1.22. Непрерывность сложной функции
Пусть x=ϕ(t) задана на множестве {t} и имеет множество значений {x}. Пусть на этом множестве {x} задана функция y=f(x). Тогда на множестве {t} задана сложная функ-
ция y=f(ϕ(t)).
Теорема 1.29. Пусть функция y=f(x) непрерывна в точке x0 {x}, а функция x=ϕ(t) непрерывна в соответствующей точке t0 (ϕ(t)=x0). Тогда сложная функция y=f(ϕ(t)) непрерывна в точке t0. Для доказательства воспользуемся определением 1.30. Имеем, что для любой последовательности {tn}→t0 {ϕ(tn}→x0 {f(xn)=f(ϕ(tn)}→f(x0)=f(ϕ(t0)), т.е.
lim f(ϕ(t))= f(ϕ(t 0 )).
t→t0
Этот результат полезно записать и в следующей форме:
t→t0 |
( |
( |
)) |
|
|
|
t→t0 |
( ) |
(1.48) |
||||
lim f |
|
ϕ t |
|
= f lim ϕ t . |
1.23. Свойства функций, непрерывных на сегменте
Определение 1.35. Функция f(x) называется непрерывной на сегменте [a;b] (непрерывной на интервале (a;b)), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Определение 1.36. Функция f(x) называется непрерывной на множестве {x}, если она непрерывна в каждой точке этого множества. Символически это записывается так: f(x) C(x).
Оказывается, что непрерывные на сегменте функции обладают интересными свойствами. Ниже эти свойства сформулируем в виде теорем. Некоторые из них приведем с доказательствами.
Теорема 1.30. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и непрерывна в самой точке x0. Если f(x0)≠0, то существует окрестность точки x0, где функ-
ция f(x) имеет знак, совпадающий со знаком f(x0). |
|
Дано: lim f(x) = f(x0 ), f(x0)≠0. |
(1.49) |
x→x0 |
|
Доказать окрестность x0, где sgn f(x)=sgn f(x0).
Из условия (1.49) следует, что для ε>0 (ε R) δ(ε)>0 (δ(ε) R) такое, что для всех
х из δ(ε) окрестности точки |
х0 выполняется неравенство |
|
f(x)− f(x0 ) |
|
<ε |
или f(x0)- |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||||
ε<f(x)<f(x0)+ε. |
|
f(x0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Пусть f(x0)>0. Тогда для |
ε = |
> 0 |
найдется такое δ1>0, что из неравенства |
||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
f(x0 ) |
|
|
|
f(x0 ) |
|
||||
0 < |
|
x − x0 |
|
< δ1 будет следовать неравенство |
f(x0 ) − |
< f(x) < f(x0 ) + |
. Послед- |
||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38
1. ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
нее означает, что в δ1 окрестности точки х0 знак функции f(x) совпадает со знаком f(x0) (f(x0)>0 и f(x)>0).
Аналогично можно доказать теорему в случае f(x)<0.
Теорема 1.31. (первая теорема Больцано-Коши). Если функция f(x) непрерывна на сегменте[a;b] и на его концах принимает значения f(a) и f(b) разных знаков, то внутри сегмента[a;b] существует точка С такая, что f(C)=0.
На рисунке 1.10 приведена геометрическая иллюстрация этой теоремы в случае f(a)<0 и f(b)>0.
y
|
y=f(x) |
|
0 |
a |
|
c |
b x |
Рис. 1.10.
Теорема 1.32. (вторая теорема Больцано-Коши). Если функция f(x) непрерывна на сегменте[a;b] и на его концах принимает значения f(a)=A, f(b)=B, то для любого С, заключенного между А и В, существует точка с [a;b] такая, что f(c)=C.
Отметим, что теорема 1.32 другими словами гласит, что непрерывная на сегменте функция принимает все значения, заключенные между значениями этой функции на концах сегмента (см. рис. 1.11).
y
y=f(x)
B
C
A
0 |
a |
c b x |
Рис. 1.11.
Теорема 1.33. (первая теорема Вейерштраcса). Если функция f(x) непрерывна на сегменте[a;b], то она ограничена на этом сегменте.
Дано: y=f(x) непрерывна на [a;b]. Доказать: y=f(x) ограничена на [a;b].
Предположим, что функция f(x) не является ограниченной на [a;b]. Это означает, что существует тоска с [a;b], где функция f(x) стремится к бесконечности, что противоречит условию непрерывности функции f(x) в точке c [a;b] (ведь функция f(x) непрерывна и в точке c [a;b] по условию теоремы).
39
1. ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Теорема 1.34. (вторая теорема Вейерштраcса). Если функция f(x) непрерывна на сегменте [a;b] и m = inf{f(x)},M = sup {f(x)} (их существование следует из теоремы 1.32),
x [a;b ] x [a;b ]
то существуют точки c и с , принадлежащие сегменту [a;b] такие, что f(c )=m, f(c )=M.
Теорема 1.35. (необходимое и достаточное условие непрерывности монотонной функции на сегменте). Монотонная на сегменте [a;b] функция f(x) непрерывна на этом сегменте тогда и только тогда, если функция f(x) принимает все все промежуточные значения между f(a) и f(b).
Примеры
|
Пример 1. Доказать существование следующих пределов исходя из определения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
предела функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
а) lim |
1 −2x |
2 |
|
|
= − |
1 |
|
; б) |
lim sin 3x = |
0 , в) lim |
|
5 |
|
|
= ∞ . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
9 − x |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ 2 +4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Решение: а) Нам следует доказать, |
что для любого числа ε 0 существует β(ε) 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
такое, что: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
2 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
|
В(ε ) |
|
|
|
|
− |
|
ε . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
+ |
4 x 2 |
|
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Решим последнее неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 − 2 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 − 2 x 2 |
|
+1 + 2 x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
− |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 + 4 x 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 + 4 x 2 |
|
|
2 |
+ 4 x 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
ε 1 + 2x 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
−1 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 + 2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Итак, из неравенства |
|
|
x |
|
В(ε) должно следовать неравенство x 1 −1 . Очевидно, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
что это возможно при |
|
В(x)≥ |
|
−1 . Таким образом, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
мы убедились, что для ε 0 суще- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
В(ε) |
|
|
|
|
1- 2x 2 |
|
|
1 |
|
ε . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ствует число β(ε) 0 , такое, что из |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− − |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 + 4x2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Решение: б) Докажем, что для любого ε 0 существует δ (ε) 0 такое, что: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
δ(ε) |
|
sin 3x |
|
ε . |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
На самом деле, из последнего неравенства имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
sin 3x |
|
|
|
3x |
|
ε . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x |
|
ε |
|
|
sin 3x |
|
ε . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40
1. ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
|
|
Чтобы из неравенства |
|
x |
|
δ(ε) |
следовало неравенство |
|
x |
|
ε , |
δ(ε) должно удовле- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
творять условию δ (ε )≤ |
ε . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак мы убедились, что существует число δ(ε) такое, что |
|
x |
|
δ (ε ) |
|
|
sin3x |
|
ε . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение: в) В данном случае необходимо доказать, что для любого сколь угодно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
большого числа А>0 существует число δ (А) 0 такое, что: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x −3 |
|
δ (A) |
|
5 |
|
|
A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
9 - x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Решим последнее неравенство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
A |
9 - x |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
9 - |
5 |
x 9 + |
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
9 - x 2 |
|
|
5 |
|
A |
|
|
|
A |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Итак, |
|
|
|
|
из |
|
|
|
неравенства |
|
|
|
3 −δ (A) x 3 + δ (A) |
|
должно |
|
|
|
следовать |
неравенство |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
9 − 5 |
|
x 9 + |
5 . |
|
|
|
Очевидно, |
|
|
|
|
|
что |
|
|
|
это |
|
выполнится, |
если |
|
|
выбрать |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
δ (A)= наименьшее |
9 |
+ 5 x |
9 − 5 |
. Таким образом показано, что существует δ (А) 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
такое, что из |
|
x − 3 |
|
δ (A) |
|
|
5 |
|
|
|
A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
9 |
− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Пример 2. Найти следующие пределы, не применяя правила Лопиталя. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a) |
lim |
|
x2 |
|
+ 9x − 6 |
; |
|
|
|
б) lim |
|
|
|
|
x2 |
−9 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
10x4 + 5x |
|
|
|
|
x3 − x2 |
− x −15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
в) |
x→∞ 7x2 + |
|
|
|
|
|
|
г) |
|
|
x→3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
x |
|
|
+1 −1 |
; |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
sin |
( |
|
|
|
) |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 3 x2 +2 − 3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 3x2 − 6x + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ex2 −cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
−4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
д) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
е) |
lim |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ 1 |
+ 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Решение: а) При |
x → ∞ числитель и знаменатель этой дроби Б.Б.Ф., то есть |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
имеет место неопределенность типа ∞ |
. Для раскрытия этой неопределенности следует |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
числитель и знаменатель разделить на высшую степень числителя или знаменателя.
Имеем
41