Введем обозначение

L = max K (t,τ).

П

Напомним, что ядро K (t,τ) мы считаем непрерывным на П, f C[a, b] и что решение ищется в пространстве C[a, b].

Теорема 6.4. Интегральное уравнение (6.15) имеет единственное решение при

µ < (b −1a)L .

Доказательство. Возьмем в качестве «последовательных приближений» решения функции

y0 (t) = f (t),

y1 (t) = f (t) + µ∫b K (t,τ) y0 (τ)dτ,

a

(6.16)

....................................................

yn (t) = f (t) + µ∫b K (t,τ) yn−1 (τ)dτ,

a

Рассмотрим ряд

.................................................... .

∞

y0 + ( y1 − y0 ) + ( y2 − y1 ) +... + ( yn − yn−1 ) +... = y0 + ∑( yn

− yn−1 )

(6.17)

n=1

и получим оценку его общего члена. Имеем

y1 − y0 = µ∫b K (t,τ) y0 (τ)dτ,

а отсюда (положив max

a

f (τ)

= M )

y1

− y0

[a,b]

K (t,τ)

f (τ)

(b − a) =| µ | LM (b − a).

≤| µ | max

max

П

[a, b]

Пользуясь этой оценкой, получим затем

y2 − y1

≤| µ | ∫b

K (t,τ)

y1 (τ) − y0 (τ)

dτ ≤ µ2 L2 M (b − a)2 .

a

По индукции придем к неравенству

yn (t) − yn−1 (t)

≤| µ | ∫b

K (t,τ)

yn−1 (τ) − yn−2 (τ)

dτ ≤| µ |n Ln M (b − a)n .

(6.18)

a

Из этих оценок следует, что ряд (6.17) сходится при

µ

<

1

,

причем

L(b − a)

равномерно в

[a, b] (применяется

признак Вейерштрасса; в

качестве

97

	∞
мажорирующего числового ряда выступает ряд	M ∑qn ,	q =		µL(b − a)		).
Частичная сумма ряда (6.17) равна yn (t) :	n=0
n
yn (t) = y0 + ∑(yk (t) − yk −1 (t)).
k =1
Следовательно, существует предел
lim yn (t) = u(t).		(6.19)
n→∞

Функция u(t) непрерывна на [a, b] (как предел равномерно сходящейся

последовательности непрерывных функций) и удовлетворяет уравнению (6.15). Для проверки последнего утверждения достаточно убедиться в справедливости предельного перехода

limn→∞

∫b K (t,τ) yn (τ)dτ = ∫b K (t,τ) u(τ)dτ.

(6.20)

a

a

Оценка разности предельной и допредельной величин дает

∫b K (t,τ) u(τ)dτ − ∫b K (t,τ) yn (τ)dτ

≤ ∫b

K (t,τ)

u(τ) − yn (τ)

dτ ≤ L∫b

u(τ) − yn (τ)

dτ.

a

a

a

a

В силу равномерной сходимости

yn (t) и u(t) подынтегральная величина

при достаточно

больших

n сделается меньше ε / L(b − a)

и оцениваемая

величина будет меньше ε, где ε – любая наперед заданная величина. Это и

доказывает соотношение (6.20).

Докажем единственность. Если бы наряду с u существовало решение v, то разность u–v удовлетворяла бы уравнению

u − v = µ∫b K (t,τ)[u(τ) − v(τ)]dτ

a

и выполнялось бы неравенство

u −v

C[a,b] ≤

µ

L(b − a)

u −v

C[a,b] .

Но это означало бы (при

u −v

C[a,b] > 0 ),

что

µ

L(b − a) ≥1,

вопреки

u(t) ≡ v(t),

предположению теоремы. Следовательно,

u −v

C[a,b] = 0, т.е.

t [a,b], и теорема доказана.

Замечание 6.2. В качестве начального приближения вместо f можно брать любую функцию из C[a, b]. Доказательство проходит по той же схеме.

Решение, естественно, не зависит от выбора начального приближения (проделайте соответствующие выкладки).

Замечание 6.3. Отметим, что доказательство теоремы 6.4 без больших изменений можно было бы провести в предположении, что

98

µ

<

1

,

K

= max

∫b

K (t,τ)

dτ.

K

t [a,b]

a

Поскольку

K

≤ max

K (t,τ)(b − a)

,

оценку для регулярных значений µ в

П

теореме можно улучшить (правую часть неравенства в утверждении теоремы можно увеличить).

Метод последовательных приближений для уравнения Вольтерра

Доказанная выше теорема распространяется на случай уравнения Вольтерра второго рода

y(t) = µ∫t	k(t,τ) y(τ)dτ + f (t).	(6.21)
a

Мы уже говорили, что это уравнение можно рассматривать как частный случай уравнения Фредгольма, если допустить к рассмотрению ядра с разрывом по диагонали

k(t,τ),		a ≤τ ≤ t,
K (t,τ) =	0,	t <τ ≤ b,
где k(t,τ) C(T ), T ={(t,τ); a ≤τ ≤ t,	a ≤ t ≤ b}. Для таких ядер и даже более

общих подходит проведенное выше доказательство, если брать в качестве L величину

sup K (t,τ).

П

Однако можно получить существенное усиление теоремы, если учесть специфику ядра K (t,τ) уравнения (6.21). Пусть

L = max k(t,τ).

T

Отметим новые моменты в доказательстве и получающееся при этом усиление теоремы.

Последовательные приближения определяются, естественно, теми же формулами:

y0 (t) = f (t),
yn (t) = f (t) + µ∫b	K (t,τ) yn−1 (τ)dτ ≡ f (t) + µ∫t	k(t,τ) y(τ)dτ,	n =1, 2,...
a	a
Оценки членов ряда			(6.21)
	y0 + ( y1 − y0 ) +... + ( yn − yn−1 ) +...

можно улучшить следующим образом (сравните с (6.18)):

99

y0 (t)

=

f (t)

≤ M ,

y1 − y0

≤

µ

∫t

k(t,τ) y0 (τ) dτ

≤

µ

LM (t − a),

a

y2 − y1

≤

µ

∫t

k(t,τ)[y1 (τ) − y0 (τ)]

≤

µ

2 L2 M ∫t

(τ − a)dτ =

µ

2 L2 M (t − a)2 / 2!,

a

a

...............................................................................................................................

t

n

n

t

(τ − a)n−1

n

n

(t − a)n

∫k(t,τ)[yn−1 (τ) − yn−2 (τ)]

yn − yn−1

≤

µ

≤

µ

L M ∫

dτ =

µ

L M

,

(n −1)!

n!

a

a

...............................................................................................................................

Но тогда числовой ряд, мажорирующий функциональный ряд (6.21), можно взять в виде

M ∑∞ [µ L(b − a)]n .

n=0 n!

Этот ряд сходится при любом конечном µ (и имеет суммой M exp[µ L(b − a)]). Следовательно, ряд (6.21) сходится равномерно на [a, b], т.е.

yn (t) → u(t) C[a, b].

Тот факт, что u(t) удовлетворяет уравнению, доказывается так же, как и раньше. Единственность решения следует из леммы Гронуолла1), ибо

u − v ≤ µL∫t u(τ) − v(τ) dτ.

a

Итак, мы доказали теорему.

Теорема 6.4. Интегральное уравнение Вольтерра (6.20) с непрерывным ядром k(t,τ) имеет непрерывное на отрезке [a, b] решение, и притом

единственное, при любом свободном члене f (t) C[a, b] и любом µ.

1) Лемма Гронуолла. Пусть функция u(x) неотрицательна и непрерывна в промежутке [x0, x0 + h] и удовлетворяет там неравенству

x
u(x) ≤ A + B ∫ u(t)dt,	A ≥ 0, B ≥ 0.

x0

Тогда

u(x) ≤ A eB( x−x0 ) , x [x0, x0 + h].

100