Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Funktsionalnyy_analiz_2011.pdf

Скачиваний:

338

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

1.45 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Тема 4. Нормированные пространства. Фактор-пространство

нормированного пространства. Линейные функционалы в нормированном пространстве. Сопряженное пространство. Операторы в нормированном пространстве. График оператора. Замкнутые операторы. Признаки ограниченности оператора. Слабая сходимость функционалов. Спектр и резольвента оператора.

Основные понятия.

Функционал P(x) будем называть симметричным, если P(–x)= P(x).

Замечание 4.1. Норма (см. определение 1.13) есть выпуклый симметричный функционал P(x), такой что из P(x) = 0 следует x = 0.

Утверждение 4.1. Пусть P(x) – выпуклый симметричный функционал на X и P(x) ≠ 0 , x X . Тогда с его помощью можно построить норму на X.

Будем действовать следующим образом. Положим:

M ={x :P(x) = 0}.

Легко видеть, что M – подпространство. Действительно, пусть x, y M. Тогда

1.P(αx) = α P(x) = 0 , т.е. α x M .

2.0 ≤ P(x + y) ≤ P(x) + P( y) = 0 , и потому x + y M.

Примеры (в следующих примерах линейные операции определяются как обычные операции с функциями, а функции, отличающиеся лишь на множестве меры нуль (см. [7]), считаем тождественными).

1. Пусть L1(a,b) - пространство всех измеримых функций x = x(t), t (a,b), таких, что интеграл Лебега

(см. [7])

∫b x(t) dt < ∞.

Введем функционал p(x) = ∫b x(t) dt. Очевидно, P(x) – симметричный выпуклый функционал.

Если P(t) = 0, то x (t) = 0 почти всюду. Функционал p(x ) задает в пространстве L1(a,b) норму следующим образом

x = ∫b x(t) dt.

2. Lp (a,b) - это пространство всех измеримых по Лебегу функций (см. [7]), для которых интеграл Лебега

∫b x(t) p dt < ∞

с нормой


x	= p ∫b		x(t)	p dt .
			x(t)	p dt .

		a

3. L∞ (a,b) - пространство всех функций x(t) на (a,b), ограниченных на (a,b) почти всюду. Ограниченность x(t) почти всюду означает, что существуют такие c > 0 и множество N (a,b) меры

нуль, что

x(t)

≤ c при x (a,b) \ N.

Норму в L∞ (a,b) введем следующим образом:

∞

= inf

sup

x(t)

, mes N = 0.

t (a,b)\ N

Напомним, что в нормированном пространстве можно ввести

расстояние

(4.1)

ρ(x, y) =

x − y

Нетрудно проверить, что все аксиомы расстояния выполнены, следовательно, всякое нормированное пространство одновременно является метрическим.

Определение 4.1. Нормированное пространство X называется полным, если оно полно в метрике ρ(x, y) = x − y .

Определение 4.2. Полное линейное нормированное пространство X называется банаховым.

Пример. Докажем полноту пространства l1. Пусть дана последовательность Коши xn ={ξkn }, и

пусть

∞

xn − xm 1 = ∑ξkn −ξkm <ε при n, m > N.

k =1

Тогда при каждом фиксированном k

ξkn −ξkm <ε при n, m > N;

так как это числовая последовательность, то существует limξk , который мы обозначим ξk . Кроме того,

n→∞ n

при любом натуральном p ≥1

∑ξkn −ξkm ≤ε при n, m > N, (причем N не зависит от p).

k =1

Переходя к пределу при m → ∞, получим:

∑ξkn −ξk ≤ε при n > N. (4.2)

k =1

Теперь переходим к пределу при p → ∞. Получаем:

∞

∑

ξkn −ξk

≤ε

при n > N.

k =1

следует, что x

− x l . Но тогда

x = x

−(x

− x) l1

. Кроме того, (4.2)

Прежде всего,

отсюда

означает, что для любогоε > 0 существуеттакое N, что при n > N имеем

xn − x

1 ≤ ε .

Следовательно,

xn → x .

Этим доказана полнота пространства l1.

Определение 4.3. Если два нормированных пространства изометричны как метрические пространства и одновременно изоморфны как линейные пространства, то они называются изометрически изоморфными.

Точнее: пространства X и Y изометрически изоморфны, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие, при котором линейная комбинация элементов из X переходит в линейную комбинацию элементов из Y, причем при этом соответствии норма сохраняется.

Легко видеть, что взаимную однозначность можно не оговаривать, а

именно: X

изометрически

изоморфно

Y, если имеется соответствие:

x → y(x X , y Y ) такое, что

1)каждый y Y сопоставлен по крайней мере одному x X;

2)если x

→ y ,x

′′

→ y ,то λx + µx

→ λy

+ µy

′′

;

′

′′

′ ′′

′

3)если x → y , то

Y .

Замечание 4.2. Если между двумя вещественными нормированными пространствами X и Y установлено взаимно-однозначное соответствие, при котором x X = y Y (если x ↔ y ) и 0x ↔ 0y , то эти пространства изоморфны (а

следовательно, изометрически изоморфны).
Замечание 4.3.	По	определению,	линейным	метрическим

пространством называется такое линейное пространство, которое метризовано так, что алгебраические операции непрерывны в метрике X, т.е:

1)из того, что xn → x,yn → y , следует, что xn + yn → x + y ;

2)если xn → x,λn → λ , то λn xn → λx .

Пример. Пространство T(a,b) (так называемое пространство измеримых функций (см. [7])). Оно состоит из функций, почти всюду определенных (т.е. определенных всюду, за исключением множества меры 0) и почти всюду конечных на [ a,b] (т.е. конечных всюду, за исключением множества меры 0); при этом функции, различающиеся только на множестве меры нуль, принимаются за один элемент этого

пространства. Точнее говоря, T (a,b) есть результат (линейной) факторизации линейного пространства всех измеримых, конечных всюду на [a,b] по подпространству M функций, равных нулю почти всюду, так что элементами пространства T (a,b) являются не отдельные измеримые функции, а классы эквивалентных

между собой измеримых функций. Метрика в T (a,b) определяется интегралом


ρ(x,y) = ∫ab	x(t) − y(t)		dt ,


		x(t) − y(t)

1+

Нетрудно проверить, что это пространство является полным сепарабельным линейным метрическим пространством. Причем оно ограничено в том смысле, что расстояния междулюбыми двумя точками этого пространства ограничены одной постоянной.

Определение 4.4. Произвольное линейное метрическое пространство с метрикой ρ(x, y) называется нормируемым, если на нем можно определить

норму так, что порождаемая ею метрика r(x,y) совпадет с исходной метрикой

ρ(x, y) .

Нетрудно проверить, что линейное метрическое пространство нормируемо тогда и только тогда, когда его метрика удовлетворяет следующим дополнительным условиям:

1)ρ(x + z, y + z) = ρ(x, y) (транзитивность),

2)ρ(λx,λy) = λ ρ(x, y) (однородность).

Пример.Пространство T (a,b) не нормируемо, так как в нем выражение ρ(x,0) не удовлетворяет условию однородности, и потомуне может быть нормой.

Замечание 4.4. Заметим, без доказательств, что в линейном метрическом пространстве всегда можно ввести метрику, инвариантную относительно параллельного переноса, т.е. обладающую свойством транзитивности.

Упражнения.

1) Доказать, что для множества E в нормированном пространстве X следующие свойства эквивалентны:

(1) метрическая ограниченность: sup ρ(x,y) < ∞;

x,y E

(1’) при некотором a X и некотором c > 0 ρ(a,x) ≤ c для любого x E (т.е. E

лежит в некотором шаре);

(2) ограниченность по норме: sup ρ(x) < ∞;

x E

(3) топологическая ограниченность: E поглощается каждой окрестностью нуля, т.е. для любой открытой окрестности U нуля в X найдется такое число

α > 0, что αE U ;

(3’) для каждой последовательности xn E и каждой последовательности скаляров αn → 0 имеет место λn xn → 0 .

2)Доказать, что всякое конечномерное подпространство нормированного пространства полно и потому замкнуто. Другими словами, конечномерное нормированное пространство всегда банахово.

3)Доказать, что всякое нормированное пространство X можно вложить (и

притом единственным способом) в полное нормированное пространство X , в котором исходное X всюду плотно, точнее: X изометрически изоморфно всюду плотному линейному подпространству некоторого полного

нормированного пространства X , причем X этим условием определяется однозначно с точностью до изометрического изоморфизма, оставляющего на

месте X.

4) Доказать,

что C[a,b] полно

в метрике, порожденной нормой

= sup

x(t)

, но

не полно в метрике,

порожденной нормой

1 = ∫ba

x(t)

dt .

t [a,b]

Доказать, что эти нормы не эквивалентны (см. след. упражнение). Доказать, что пополнением C[a,b] в метрике, порожденной нормой x1 , является

L1(a,b) .

5) Доказать, что в конечномерном нормированном пространстве все нормы (топологически) эквивалентны, т.е. для любых двух норм x1и x 2

найдутся c1 > 0 и c2 > 0 такие, что при любом x ≠ 0, 0 < c1 ≤ x1x 2 ≤ c2 .

6)Множество M называется тотальным (полным, основным) в нормированном пространстве X, если конечные линейные комбинации векторов из M образуют подпространство, плотное в X, т.е. замкнутая линейная оболочка множества M совпадает с X. Наименьшая из мощностей тотальных множеств называется размерностью нормированного пространства X. В частности, X называется счетномерным, если существует в X тотальная бесконечная последовательность. Доказать, что нормированное пространство X сепарабельно тогда и только тогда, когда оно конечномерно или счетномерно.

7)Множество M называется минимальным в нормированном

пространстве X, если ни один вектор из M не принадлежит замкнутой линейной оболочке остальных векторов. Доказать, что в любом сепарабельном пространстве имеется тотальная минимальная последовательность.

8) Доказать, что в конечномерном нормированном пространстве каждое ограниченное замкнутое множество компактно. Более того (Ф. Рисс), свойство компактности множества совпадает со свойством множества быть замкнутым и ограниченым тогда и только тогда, когда нормированное пространство X конечномерно.

Ряды в нормированном пространстве.

Определение 4.5. Рядом в нормированном пространстве X называется выражение вида x1 + x2 + x3 + , где xn X .

Определение 4.6. Частичной суммой ряда называется элемент

Sn = x1 + x2 + x3 + + xn .

Определение 4.7. Ряд называется сходящимся, если последовательность {Sn } его частичных сумм сходится к некоторому элементу S X. То есть если

Sn − S → 0 .

Определение 4.8. Элемент S X называется суммой ряда. Запись S = x1 + x2 + означает, что ряд сходится и его сумма равна S.

Очевидно, что конечное число сходящихся рядов можно складывать почленно и умножать на число. При этом мы будем получать снова сходящиеся ряды.

Определение 4.9. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится числовой ряд, составленный из норм: x1 + x2 + x3 +...

Теорема 4.1. В полном нормированном пространстве всякий абсолютно сходящийся ряд сходится.

Доказательство. Зафиксируем некоторое ε > 0. Существует N(ε) такое,

что при всех n > N(ε), m > N(ε) имеем

xn+1

xn+2

+... +

< ε .

Но тогда

Sm − Sn

xn+1 +... + xm

≤

xn+1

+ ... +

< ε

при n,m ≥ N( ε).

Это означает, что последовательность {Sn} фундаментальна. Ввиду

полноты пространства X она сходится к некоторому S X, то есть сходится ряд x1 + x2 + x3 + . Теорема доказана.

Имеет место также обратная

Теорема 4.2. Если в нормированном пространстве каждый абсолютно сходящийся ряд сходится, то пространство полно.

Доказательство. Возьмем любую фундаментальную последовательность x1,x2 ,x3, . Докажем, что она сходится к некоторому

x X. Так как последовательность фундаментальна, то из нее можно выделить подпоследовательность xn1 ,xn2 , , такую что xn1 < 12 , и при любом k ≥ 2

xnk − xnk −1 < 21k .

Составим ряд

xn1 +(xn2 − xn1 ) +(xn3 − xn2 ) + .

Он сходится абсолютно, так как

ряд

xn1

xn2 − xn1

+ мажорируется

сходящимся

числовым рядом

+ По

условию

теоремы

ряд

сходится к элементу x X: Sk → x при k → ∞ .

Но Sk = xn

. Поэтому xn → x .

Возьмем

ε > 0. Существует

такое, что

при

n,m > N

− x

< ε .

Возьмем N2 такое, что при nk > N2

xnk − x

ε .

Пусть N = max(N1,N2 ) . Тогда при n > N и m = nk > N ,

xn − x

≤

xn − xnk

xnk

− x

≤

ε = ε .

Это означает, что xn → x . Теорема доказана.

Пример. Докажем, пользуясь этой теоремой, полноту пространства L1 (для вещественных функций).

Теорема 4.3. Пространство L1полно.

При доказательстве мы используем следующий факт, известный из теории интеграла Лебега (Теорема Б.Леви):

Если последовательность неотрицательных функций

при любом n, то существует (почти всюду) lim xn (t) = x(t)

n→∞

Докажем, прежде всего, следующую лемму.

xn (t) L1(a,b) не убывает и	∫b xn (t) dt ≤ c
	a
, x(t) L1(a,b) и ∫b x(t) dt = limn→∞		∫b xn (t)dt.
a		a

Лемма. Если xn (t) ≥ 0 , xn (t) L1(a,b) и ряд G = x1 + x2 + сходится, то и ряд x1 + x2 + x3 + также сходится (по норме).

Доказательство. Пусть Sn = x1 + x2 + + xn . По условию, последовательность {Sn } не убывает. Далее

Sn ≤ x1 + x2 + + xn ≤ G .

Отсюда, ввиду теоремы Б.Леви, существует lim S

= x L . Докажем, что

− x

→ 0 . Ввиду теоремы

≤ G =

n→∞

Б.Леви,

= lim

+ Рассуждая также о последовательности x

n+1

(t), x

n+2

(t), ,

n→∞

получим

x − Sn ≤ xn+1 + xn+2 + → 0 .

Теперь перейдем к доказательству нашей теоремы.

Доказательство теоремы. Пусть дан ряд x1 + x2 + x3 + такой, что

+ сходится.

Докажем, что

x1 + x2 + сходится. Рассмотрим ряд

x1(t)

x2 (t)

+ Очевидно,

Поэтому ряд

+ сходится абсолютно.

Ввидулеммы, ряд сходится по норме.

(

− x1)+(

− x2 )+ абсолютно сходится,

Положим

S′ =

+ +

+ Ряд

так как xn − xn ≤ 2xn . Члены его неотрицательны, поэтому ввиду леммы, он сходится; положим

S′′ = (

− x1)+(

− x2 )+ Но тогда

x1 + x2 + = S′− S′′. Итак, ряд x1 + x2 + сходится в L1 .

Согласно предыдущей теореме, это означает, что L1

полно. Теорема доказана.

Упражнения.

1) Доказать аналогичным рассуждением, что Lp полно при 1< p < ∞.

Доказать, что если

нормированном

пространстве X ряд

+ x

+ x + + x

+ сходится, то

lim x

= 0.

n→∞

∞

По определению, ряд

∑xi

называется

безусловно сходящимся

i=1

(коммутативно сходящимся), если при любой перестановке его членов он сходится к одному и тому же элементу. Очевидно, что если ряд абсолютно сходится, то он безусловно сходится. Доказать, что в конечномерном пространстве любой безусловно сходящийся ряд абсолютно сходится. Более того, абсолютная сходимость эквивалентна безусловной сходимости тогда и только тогда, когда банахово пространство конечномерно.

Фактор-пространство нормированного пространства.

Пусть X – нормированное пространство и M – его замкнутое собственное

подпространство.					(линейное) X / M . Введем в X / M
Составим фактор-пространство					(линейное) X / M . Введем в X / M
норму, полагая	~	~		для класса	x X / M .
	~
	x		x
	x	= inf	x
		x X

Упражнение. Доказать, что ~x удовлетворяет всем аксиомам нормы.

Теорема 4.4. Если X полно и M замкнуто, то X / M полно.

Доказательство.

Пусть x1

+ x2 + ряд в

X = X / M , и пусть он

абсолютно сходится.

существует такой элемент

По определению нормы в X , для каждого xn

xn X n , что

Поэтому ряд

+ сходится. Так как X полно, то ряд x1 + x2 +

также сходится к некоторому x X. Пусть

x - элемент X / M ,

содержащий x.

Тогда

x −(x1+x2 + + xn )

≤

−(x1

+ x2 + + xn )

следовательно, ряд x1

≤

x −(x1 + x2 + + xn )

→ 0

при n → ∞ ,

+ x2 + сходится к

x . На основании теоремы 4.2 X

полно. Теорема доказана.

Замечание 4.5. Замкнутость M нужна для того, чтобы введенная выше «норма» в X / M удовлетворяла аксиоме I определения нормы.

Рассмотрим

фактор-пространство

M .

Введем

X норму:

X = X /

= P(x) , если

. Это определение корректно,

так как

если

, то

x x

x1,x x

P(x1) = P(x) .

Действительно,

P(x1) = P(x1 − x + x) ≤ P(x1 − x) + P(x) = P(x) ,

откуда P(x1) ≤ P(x) . Аналогично можно получить

P(x) ≤ P(x1) .

Поэтому P(x) = P(x1) .

Так как P(x) симметричен, то аксиомы 2 и 3 нормы выполнены. Докажем, что аксиома 1 тоже выполняется.

Пусть x0 = 0 . Возьмем x ~x . Тогда P(x) = ~x = 0 .

Значит, x M. Но также 0 M, то есть x и 0 принадлежат одному классу. Следовательно, ~x = 0 .

Примеры. (в следующих примерах линейные операции определяются как обычные операции с функциями).

1. Пусть L1(a,b) - пространство всех измеримых функций x = x(t), t (a,b), таких, что интеграл Лебега

		∫b	x(t)	dt < ∞ .
			x(t)	dt < ∞ .

		a
Введем функционал p(x) = ∫b	x(t)	dt . Очевидно, P(x) – симметричный выпуклый функционал.
	x(t)	dt . Очевидно, P(x) – симметричный выпуклый функционал.

a

Если P(t) = 0, то x(t) = 0 почти всюду. Следовательно, в данном случае, M – есть совокупность всех функций x(t), равных нулю почти всюду.

Поэтому пространство L1 = L~1 / M становится линейным нормированным пространством, если задать в нем нормутак, как это было описано выше в общем случае.

2. Lp (a,b) - это пространство всех измеримых по Лебегуфункций, для которых

∫b

x(t)

p dt < ∞ .

= p

∫b

x(t)

p dt .

Легко видеть, что M здесь такое же, как и в случае 1.

ПоэтомуLp (a,b) = Lp (a,b) / M - линейное нормированное пространство.

3. L∞ (a,b) - пространство всех функций x(t) на (a,b), ограниченных на (a,b) почти всюду.

Ограниченность x(t) почти всюду означает, что существуютc > 0 и множество

N (a,b) с мерой

Лебега, равной нулю, такие, что

x(t)

≤ c при x (a,b) \ N.

Норму в L∞ (a,b) введем следующим образом:

∞ =inf

sup

x(t)

, mes N = 0.

N t (a,b)\ N

Замечание 4.6. L∞ (a,b)

можно рассматривать как фактор-пространство пространства всех

ограниченных измеримых функций x(t) с нормой

= sup

x(t)

по

замкнутому

подпространству M.

t (a,b)

L∞ (a,b) = vrai max

x(t)

, а само

Следует иметь в виду, что часто применяют еще такие обозначения:

L∞ (a,b) обозначают M(a,b).

a≤t≤b

Упражнения.

1) Доказать, что lim

(a,b) =

(a,b) ;

p→∞

∞

2) Доказать, что L∞ (a,b)

полно.

Указание: Использовать теорему 4.1 и замечание 4.2.

3) Пусть X – нормированное пространство, не предполагаемое полным, а M – его подпространство. Доказать, что если M и X / M полны, то и X также полно.

Линейные функционалы в нормированном пространстве.

Пусть X – нормированное пространство, и пусть линейный функционал f(x) определен на Df X .

Определение 4.10. Линейный функционал f(x) называется ограниченным на D f , если f (x) ≤ cx для всех x D f .

Теорема 4.5. Ограниченный линейный функционал непрерывен на Df в

следующем смысле: если xn → x0 , то f (xn ) → f (x0 ) для любых xn ,x0 Df . Доказательство. Пусть xn → x0 Df . Тогда из соотношения

f (x0 ) − f (xn ) = f (x0 − xn ) ≤ cx0 − xn →0 , следует, что f (x) непрерывен.

Упражнение. Доказать, что справедливо следующее утверждение: если линейный функционал непрерывен в нуле, то он ограничен на D f .

Примеры.

∞

где x = (ξ1,ξ2 , ,ξn , ) линеен

1) Если

∑

< ∞, то функционал f (x) = ∑akξk ,

k =1

непрерывен всюду в l p , p ≥1 (или в l∞ ).

2) На функциональных пространствах

Lp (a,b), L∞ (a,b), C(a,b) примером всюду непрерывного

линейного функционала является f (x) = ∫abx(t)dt .

Определение 4.11. Пусть f (x) линейный ограниченный функционал на

D f . Тогда отношение

f (x)

(при

x D f , x ≠ 0 ) ограничено.

Нормой

функционала f называется sup

f (x)

. Ясно, что

f (x)

≤

x≠0

x D f

при любом x D f .

Теорема 4.6. Пусть X – нормированное пространство и x0 X , x0 ≠ 0 .

Существует такой всюду определенный ограниченный линейный функционал f (x) с нормой f =1, что выполняется f (x0 ) = x0 .

Доказательство этой теоремы мы не приводим.

Упражнения.

1) Доказать: у линейного функционала f (x), всюду определенного на нормированном пространстве X, и не являющегося непрерывным,

гиперплоскость M f ={x : f (x) = 0} является всюду плотным в X

подпространством.

2)Для того, чтобы линейный всюду определенный функционал f(x) был непрерывен, необходимо и достаточно, чтобы гиперплоскость M f была

замкнутым подпространством в X.

3)Доказать, что для ли

нейного всюду

определенного и непрерывного

функционала f(x) формула

ρ(x,M f ) =

f (x)

, где ρ(x; M f ) задает расстояние

от произвольной фиксированной точки x X до подпространства M f , т.е.

ρ(x; M f ) = inf x − y (аналог формулы для расстояния от точки до плоскости

y M f

в аналитической геометрии).

Сопряженное пространство.

Определение 4.12. Обозначим	через X ′ совокупность всех линейных
ограниченных функционалов,	определенных	всюду	на	данном
нормированном пространстве X.	Определим в	X ′операции	сложения и
умножения на число:
(αf )(x) =αf (x),
( f1 + f2 )(x) = f1(x) + f2 (x).
Легко проверить, что эти операции не выводят нас из пространства X ′. Например, для f1 + f2				имеем:

( f1 + f2 )(x) = f1(x) + f2 (x) ≤ f1(x) + f2 (x) ≤

≤ f1x + f2 x = ( f1 + f2 ) x.

Отсюда, кроме того, следует, что f1 + f2 ≤ f1 + f2 . Аналогично αf = α f .

Из равенства f (x) ≤ f x следует, что если f = 0, то и f (x) = 0 при любом x X, то есть f = 0. Тем

самым мы показали, что f как функция элемента f из X ′ удовлетворяет всем аксиомам нормы, и X ′ можно рассматривать как линейное нормированное пространство.

Пространство X ′	называется сопряженным	(дуальным,		полярным,
двойственным) к X.
Замечание 4.7. Возникает вопрос: существуют ли в X ′			функционалы,
отличные от нулевого? Теорема 4.6 утверждает,		что X ′\ {0}	непусто. Более
того, в X ′ имеется	достаточное число функционалов, чтобы различать
элементы пространства X в следующем смысле: если f (x1) = f (x2 )				для любого
f X ′, то x1 = x2 .

В случае произвольных линейных метрических пространств не существует утверждения типа теоремы 4.6, гарантирующего существование нетривиального непрерывного линейного функционала. Можно показать, что необходимым и достаточным условием существования нетривиальных непрерывных линейных функционалов является наличие в X хотя бы одного открытого выпуклого множества, не совпадающего со всем X. С этой точки зрения представляет интерес топологическое пространство T(a,b). Нетрудно показать, что единственной выпуклой открытой окрестностью нуля в нем является само пространство. Таким образом, в T(a,b) нет линейных непрерывных функционалов, кроме нулевого.

Упражнения.

1) Доказать, что линейное подпространство P всюду плотно в нормированном пространстве X тогда и только тогда, когда любой f(x) X ′ равный нулю на P, равен нулю на всем X.

2) Доказать, что множество E ограничено в нормированном пространстве X тогда и только тогда, когда для любого f(x) X ′ множество f(E) ограничено.

3) Доказать,	что последовательность {ei }	образует минимальное
множество в X тогда и только тогда, когда существует последовательность
функционалов {fk } X ′; что fk (ei ) =δki .
Теорема 4.7.	Сопряженное пространство	X ′ нормированного

пространства X полно.

Доказательство. Пусть дана фундаментальная последовательность

функционалов

{fn}. Тогда для

любого

ε > 0 существует

N(ε) такое,

что

fn − fm

< ε

при n, m > N(ε). Пусть x X. Числовая последовательность {fn (x)}

фундаментальна, т.к.

ε .

(4.3)

fn (x) − fm (x)

≤

fn − fm

≤

Следовательно,

существует

lim fn (x) = f (x) .

Нетрудно

убедиться,

что

n→∞

определенный этим равенством функционал линеен.

Перейдя

неравенстве

(4.3)

пределу

при

m → ∞,

получим:

fn (x) − f (x)

≤ε || x || при n > N.

Это означает, что

fn − f X ′

− f

< ε .

Но

f = fn +( f

− fn ) .

Следовательно,

f X ′

fn − f

→ 0 , т.е.

= lim fn .

Теорема

доказана.

n→∞

Мы

доказали,

что X ′

— банахово пространство.

Поэтому

можно

рассматривать сопряженное к нему пространство X ′′, т.е.

совокупность всех

линейных ограниченных функционалов φ( f ) , определенных всюду на X ′.

Возьмем x X и положим

Fx (f) = f (x).

Fx ( f ) – функционал

на

X ′.

Нетрудно убедиться, что он линеен. Он также ограничен:

Fx ( f )

f (x)

≤

Отсюда

≤

. С другой стороны,

(см. теорему 4.6)

существует f X ′

такой, что

=1 и f (x) =

. Для такого f

получим

Fx ( f )

f (x)

≤

. Поэтому

≤

Таким образом, Fx = x .

Это значит, что отображение x → Fx сохраняет норму. Легко видеть, что это отображение линейно, то есть

Fαx =α Fx ,

Fx+y = Fx + Fy .

Обозначим	через X0′′	совокупность	всех таких	специального	вида
функционалов F( f ) (x варьируется по всему X, а f – по всему X ′).
Предыдущее рассуждение показывает, что				соответствие	x → Fx
порождает изометрический изоморфизм между X и				X0′′. Другими словами,
пространство	X можно	вложить в	пространство	X ′′ без нарушения

алгебраических и метрических соотношений. Именно так нужно понимать

запись: X = X0′′ X ′′. Замыкание X0′′ в X ′′ дает	конкретную реализацию
пополнения пространства X, если оно не полное.	Если же X – банахово, то

X0′′, будучи изометрически изоморфным полному пространству, само полно

и, следовательно, замкнуто в	X ′′, т.е. является	его	замкнутым
подпростанством. Изометрический	изоморфизм x → Fx	часто	называют

естественным (каноническим) отображением пространства X в X ′′.

Определение 4.12. Нормированное пространство X назывется рефлексивным (регулярным), когда при естественном отображении X = X ′′. Так как X ′′ всегда полно, то необходимым условием (но не достаточным) рефлексивности X является его полнота.

Замечание 4.8. Таким образом, рефлексивность (по определению) означает, что для любого функционала φ( f ) X ′′ найдется (и притом

единственный) элемент x = xφ X такой, что при любом f X ′ φ( f ) =f(x), т.е. φ( f ) X0′′. Следует подчеркнуть, что наличия изометрического изоморфизма

между X и X ′′ недостаточно, чтобы заключить о рефлексивности пространства X. Известен пример сепарабельного банахова пространства, изометрически изоморфного своему второму сопряженному пространству, и не являющегося, однако, рефлексивным.

Пример. Приведем пример нерефлексивного пространства.

Рассмотрим пространство c0 сходящихся к нулю последовательностей вещественных чисел x ={ξn }. Определим в c0 линейные операции и норму по формулам:

αx ={αξn },

x + y ={ξn +ηn },

x = sup ξn ,

при x ={ξn }; y ={ηn }.

Очевидно, c0 l∞

. Нетрудно убедиться, что c0 - полно. Пусть задан функционал f(x) на c0 :

f c0′ .

Пусть ek ={ξn }, где ξk

=1 и ξi = 0 при i ≠ k .

Положим αk = f (ek ) .

Возьмем x =ξ1e1 +ξ2e2 + +ξnen . Так как f линеен и ограничен, то

f (x) =ξ1α1 +ξ2α2 + +ξnαn .

Следовательно,

ξ1α1 +ξ2α2 + +ξnαn

≤

Возьмем ξk = signαk (k = 0,1,…,n).

Получим

α1

α2

+ +

αn

≤

∞

Устремив n к бесконечности, получим ∑

αi

≤

i=1

отвечает последовательность α = {αk },α l1,

Таким образом, каждому функционалу

причем

α 1 ≤ f .

Возьмем любой x c0 , x = {ξn } и положим x = xn + yn , где xn ={ξ1,ξ2 , ,ξn ,0,0,0 },

yn ={0,0, ,0,ξn+1,ξn+2 , }.

Ясно, что

yn → 0 .

Следовательно,

f ( yn ) → 0 . Но

f (x) = f (xn ) + f ( yn ) ,

следовательно,

∞

f (x) = lim f (xn ) = lim

∑αkξk = ∑αkξk .

n→∞

k =1

∞

α = {αk } l1

Итак, всякий функционал

f c0′` имеет вид

f (x) = ∑αkξk , где

1 ≤

Обратно, пусть α = {αk } l1.

k =1

∞

Определим

функционал f(x) по

формуле:

f (x) = ∑αkξk . Последний ряд сходится, так

как

k =1

αk ξk

≤

αk

. Отсюда же следует,

что

f (x)

≤

1 . Итак,

f (x)

≤

1 . Кроме того, f (ek ) =αk .

Поэтому, как мы доказали,

≥

1 . Мы показали, что (c0 )′ = l1 . Точнее,

(c0 )′ и l1

изометрически и

линейно изоморфны.

(l1)′ = l∞ . Отсюда будет

Читателю предоставляется доказать, что

следовать

нерефлексивность

пространства c0 .

Упражнения.

1)Доказать, что (l p )′

= lq , где

(1< p < ∞) .

2)Доказать, что

(L1(a,b))′ = L∞ (a,b)

и (Lp (a,b))′ = Lq (a,b) , где

+ 1 =1, 1< p < ∞ .

3)Найти (C(a,b))′ и доказать, что C(a,b) нерефлексивно.

4)Доказать рефлексивность l p (1< p < ∞) .

5)Доказать, что конечномерное нормированное пространство всегда рефлексивно, а сопряженное к нему имеет ту же размерность.

6)Доказать, что если X ′ сепарабельно, то и X сепарабельно. Обратное неверно. Контрпримером является пространство l1 : само оно сепарабельно, в то время как l∞ = (l1)′несепарабельно.

7)Доказать, что любое замкнутое подпространство M рефлексивного пространства X само рефлексивно, и X\M тоже рефлексивно.

8)Доказать, что нормированное пространство X рефлексивно тогда и

только тогда, когда выполняется одно из перечисленных условий: а) X ′ рефлексивно, б) любой непрерывный линейный функционал, всюду определенный на X ′, достигает на единичной сфере своей верхней грани.

Операторы в нормированном пространстве.

Определение 4.13. Пусть X и Y – нормированные пространства.

Произвольный	оператор A DA X и RA Y называется	непрерывным в
точке x0 DA ,	если для любой последовательности xn → x0	(xn DA ) имеем

Axn → Ax0 . Если A непрерывен в каждой точке множества DA , то говорят, что

A непрерывен (на DA ).

Упражнения.

1) Если A – аддитивный оператор (см. определение 3.17) на подпространстве DA , непрерывный в некоторой фиксированной точке x0 DA

(например, в 0x ), то он непрерывен (на DA ).

2) Если A – аддитивный и непрерывный оператор на DA , причем X и Y

оба вещественные, то он однороден, т.е. A(λx) = λAx	при любом x DA и
любом вещественном λ .
3) Если A аддитивный и непрерывный оператор на	DA , причем X и Y оба

комплексные и A(ix) = i Ax , то он однороден, то есть A(λx) = λAx при любом x DA и любом комплексном λ .

4) Если линейный оператор A переводит любую сходящуюся к нулю последовательность (из DA ) в ограниченную, то он непрерывен.

Определение 4.14. Произвольный оператор A называется ограниченным (на DA ), если существует такое c > 0, что

≤ c

для всех x DA .

(4.4)

Другими словами, любое ограниченное множество из DA оператор переводит

в ограниченное множество (в метрике Y).

Пример.

В X = Y =

DA =C[a,b] оператор

Ax(t) = ∫b k(t,s)x(s) ds , где ядро k(t,s) непрерывно по совокупности

переменных,

ограничен.

Действительно, т.к.

k(t,s)

≤ c1, то

Ax(t)

= sup

∫b k(t,s)x(s) ds

≤ c1 sup

x(c)

(b −a) = c1(b −a)

, т.е.

≤ c

a≤t≤b

a≤c≤b

Упражнение. Доказать, что каждый линейный оператор A, определенный на конечномерном подпространстве DA , ограничен.

Теорема4.8. Для того, чтобы линейный оператор A был непрерывен (на DA ), необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен (на DA ).

Доказательство.

Необходимость. Пусть A непрерывен в 0, т.е. для любого ε > 0 найдется

δ =δ(ε) > 0 такое,

что для всех x DA

< δ

< ε .

Фиксируем ε.

Для

каждого x DA

и x ≠ 0 рассмотрим

y =

δ x

( y DA ) и

< δ ,

следовательно,

< ε , т.е.

< ε . Отсюда

≤

2ε

для любого x DA

(если x = 0, то последнее неравенство очевидно выполняется).

Достаточность. Если A ограничен, то он непрерывен, т.к.

Ax − Ax0 = A(x − x0 ) ≤ cx − x0 при всех x, x0 DA .

Теорема доказана.

Замечание 4.9. Таким образом, класс всюду определенных линейных непрерывных операторов совпадает с классом всюду определенных линейных ограниченных операторов. В дальнейшем термины «ограниченный» и «непрерывный» в применении к линейным операторам будут использоваться как синонимы без ссылок на теорему 4.8.

Определение 4.15. Нормой A линейного ограниченного оператора A

называется

= sup

x≠0,x DA

Упражнение. Доказать, что

= sup

sup

= с, где с —

=1,x

≤1,x

наименьшая из постоянных c > 0 в неравенстве (4.4).

Замечание 4.10. Норма функционала есть частный случай нормы оператора, т.к. функционал есть оператор из X в Y = C1(или R1 ).

Примеры

1) Изометрический изоморфизм пространств X и Y – это всюду определенный линейный непрерывный взаимно однозначный оператор, у которогоR(A) = Y и Ax = x . Следовательно, его норма A =1.

2) Можно показать, что у интегрального оператора Ax(t) = ∫b K (t,s)x(s) ds с непрерывным ядром

( DA = X = Y = C[a,b])	A	= maxa≤t≤b	∫b	K (t,s)	ds .
( DA = X = Y = C[a,b])	A	= maxa≤t≤b	∫b	K (t,s)	ds .
			a

3) Оператор дифференцирования Ax(t) = dtd x(t) можно рассматривать в различных пространствах:

если X = C[a,b] и DA – совокупность всех непрерывно дифференцируемых функций, то областью значений RA будет все пространство C[a,b]; если этот оператор расширить на совокупность всех абсолютно

непрерывных функций (см. [7]), то его областью значений станет L1(a,b) . В теории же обобщенных функций (см. [7]) оператор дифференцирования, в частности, расширяется на все пространствоC[a,b], тогда RA будет некоторым пространством обобщенных функций.

Рассмотрим пространство C1[a,b] - совокупность всех непрерывно

дифференцируемых на [a,b]

функций с нормой

x 1 = max x(t) +max x (t) .

a≤t ≤b

a≤t≤b

′

Докажем, что оператор дифференцирования с

DA = X = C1[a,b] и Y = C[a,b]

ограничен. Действительно,

Ax = x

= max x (t) ≤ x

при всех

x D . Из

′

a≤t≤b

′

последнего неравенства вытекает, что

≤1. Можно показать, что

=1.

Замечание 4.11. Норма оператора зависит от норм в пространствах X и Y. Так, если интегральный оператор в примере 2 рассматривать в

пространстве L1(a,b)

(= X = Y = DA ), то, можно показать, он снова будет

ограниченным,

но с

= maxa≤s≤b ∫b

K (t,s)

dt . Если же его рассматривать из L1(a,b)

(= X = D

)

в C[a,b] (= Y),

то

. Аналогично, норма оператора A,

= max

K (t,s)

a≤t,s≤b

заданного

симметричной

матрицей µ = (aik ) в конечномерном

банаховом

пространстве,

зависит от нормы в этом пространстве: если

= max

ξi

, то

1≤k ≤n

= max

∑

aik

;

если

= ∑

ξi

, то

= max ∑

aik

; если же норма евклидова,

1≤i≤n

k =1

i=1

1≤k ≤n

i=1

т.е.

∑

ξi

, то

где Λ – наибольшее по модулю собственное

i=1

значение матрицы.

Более того, при изменении нормы в X и Y оператор может стать неограниченным. Так, оператор дифференцирования в примере 3 станет неограниченным, если считать, что X = Y = C[a,b], а DA - совокупность всех

непрерывно дифференцируемых функций. Действительно, , для xn (t) = sin n t

при

достаточно

больших n

=1, а

Axn

xn′

= n → +∞. Следовательно,

sup

= +∞. Аналогично, оператор A =

будет неограниченным, если его

x≠0,x DA

рассматривать в

L2 (a,b) = X = Y ,

приняв

за

DA множество функций ,

имеющих производную, суммируемую с квадратом.

Совокупность всех ограниченных всюду определенных операторов из X в Y обозначим через Z(X,Y). Если X = Y, то вместо Z(X,X) будем писать Z(X). Линейные операции А+В и А в Z(X,Y) определим естественным способом: