- •Евразийский открытый институт
- •Функциональный анализ
- •Москва 2011
- •Cодержание.
- •Список учебной литературы.
- •Докажем б). Пусть
- •3. Тема 3
- •Основные понятия
- •Основные понятия.
- •Упражнения
- •Составим ряд
- •Обозначим его сумму через у, тогда
- •Повторяя это рассуждение , получим последовательности:
- •5. Тема 5
- •Понятие ортогональности
- •Из свойства 4) следует свойство
- •Ортогональные и ортонормированные системы
- •Ортогонализация системы линейно независимых элементов
- •Пространство L2
- •6. Тема 6
- •Введем обозначение
- •Рассмотрим ряд
- •Москва 2011
- •1. Сведения об авторах
- •2. Цель изучения дисциплины
- •3. Базовые знания
- •Для изучения данной дисциплины студенту достаточно знать основы курсов «Математический анализ», «Линейная алгебра», «Геометрия и топология», в особенности основы теории математических пространств.
- •8. Тесты
- •Функциональный анализ
- •Москва 2011
Распределение часов по темам и видам учебных занятий.
|
|
Лекций (в часах) |
Семинаров (в часах) |
|
|
|
|
Тема 1 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
Тема 2 |
|
4 |
2 |
|
|
|
|
Тема 3 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
Тема 4 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
Тема 5 |
|
4 |
4 |
|
|
|
|
Тема 6 |
|
4 |
4 |
|
|
|
|
Заключительное |
занятие. |
|
2 |
Контрольная работа |
|
|
|
|
|
|
|
Список учебной литературы.
Обязательная литература.
1.И.В.Асташова, В.А.Никишкин. Функциональный анализ. Учебное пособие. М.: МЭСИ, 2011.
2.Бородин П.А., Савчук A.M., Шейпак И.А. Задачи по функциональному анализу. Части I, II. - М.: Издво ЦПИ, 2009.
3.Л.А. Люстерник, В.И. Соболев. Краткий курс функционального анализа. С.-Пб.: Лань, 2009.
Дополнительная литература.
4.И.В.Асташова, В.А.Никишкин. Геометрия и топология. Учебное пособие. М.: МЭСИ, 2011.
5.А.А. Кириллов, А.Д. Гвишиани. Теоремы и задачи функционального анализа. М.: Наука, Физмалит, 1988.
6.П.Н.Князев. Функциональный анализ. М.: УРСС, 2009.
7
7.А. Н. Колмогоров, С.В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, Физмалит, 2006.
8.Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, т. 1, 2. М.: Дрофа,
2003.
9.П.И.Лизоркин. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. М.: Наука, 1981.
10.С.Г.Михлин. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз, 1959.
11.С.М. Никольский. Курс математического анализа. М.: Наука, т. 2,
1991.
12.У. Рудин. Функциональный анализ. С.-Пб.: Лань, 2005.
13.Сборник задач по математике для ВТУЗов. Часть 4. Методы оптимизации. Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения. (под ред. Ефимова А.В.). М.: Наука, 1990.
14.С.Л. Соболев. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, Физмалит, 1988.
15.В.А. Треногин. Функциональный анализ. М.: Наука, Физмалит, 2007.
16.В.А. Треногин, Б.М. Писаревская, Т.С. Соболева. Задачи и упражнения по функциональному анализу. М.: Наука, Физмалит, 2002.
17.И.Г. Арманович, В.И. Левин. Уравнения математической физики. М.: Наука, Физмалит, 1969.
18.В.А. Садовничий. Теория операторов. М.: Дрофа, 2004.
19.М.Л.Краснов, А.И.Киселев, Г.И.Макаренко. Теория функций комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, Физмалит, 1971.
8
Тема 1. Основные пространства: метрические, линейные, нормированные, банаховы, топологические, гильбертовы. Сепарабельные пространства. Определения. Примеры.
Определение 1.1. Пространства, элементами которых являются функции или числовые последовательности, называются функциональными про-
странствами.
Метрические пространства
Определение 1.2. Множество X называется метрическим пространством, если каждой паре его элементов x и y поставлено в соответствие некоторое неотрицательное действительное число ρ(x,y), удовлетворяющее следующим условиям:
1.ρ (x,y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y (аксиома тождества).
2.ρ (x,y) = ρ (y,x) (аксиома симметрии).
3.ρ(x,y) ≤ ρ (x,z) + ρ (y,z) (неравенство треугольника).
Примеры метрических пространств.
1.Числовая прямая. Пусть X = R. Если x, y R , то полагаем
ρ(x,y) = x − y .
2.Евклидово пространство. Пусть Xn — арифметическое n–мерное пространство, т.е. множество всех упорядоченных систем из n действительных чисел. Если x = (ξ1, ξ2,…ξn ) и y = (η1,η2,… ηn ), то метрика определяется формулой
n
ρ(x, y) = ∑(ξi −ηi )2 .
i=1
3.Пространство непрерывных функций C[-1,1] с равномерной метрикой. Пусть X — множество непрерыв-
ных функций, заданных на отрезке [-1, 1]. Введем метрику, полагая
ρ(x, y) = max x(t) − y(t).
[−1,1]
4. Пространство c сходящихся числовых последовательностей x = (ξk )1∞, y = (ηk )1∞ таких, что
∞ |
∞ |
|
|
|
|
|
∑ ξk2 |
< +∞, ∑ηk2 < +∞, где |
|
|
|
|
|
k =1 |
k =1 |
ρ(x, y) = sup |
|
ξi −ηi |
|
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
i |
|
|
|
|
5.Пространство M [0, 1] ограниченных вещественных функций на отрезке [0,1], где
ρ(x, y) = sup x(t) − y(t).
[0,1]
9
Определение 1.3. Последовательность {xn} элементов метрического про-
странства X называется сходящейся к элементу x этого пространства, если для любого ε > 0 найдется такой номер N = N(ε), что для любого n ≥ N имеем
ρ (xn, x)< ε, т.е. ρ (xn, x) → 0 при n→∞.
Заметим, что сходимость в n-мерном евклидовом пространстве есть сходимость по координатам.
Определение 1.4. Последовательность {xn} элементов метрического пространства X называется фундаментальной, если для любого ε > 0 найдется
такой номер N = N(ε),что для любых n, m ≥ N имеем ρ (xn, xm)< ε. Определение 1.5. Если в метрическом пространстве X каждая фундамен-
тальная последовательность сходится к элементу этого пространства, то про-
странство X называется полным метрическим пространством.
Примеры полных пространств.
1.n-мерное евклидово пространствоRn .
2.Пространство C[a, b].
3.Пространство ограниченных числовых последовательностей.
4.Пространство сходящихся числовых последовательностей.
Пример пространствa, не являющeгося полным.
Пространство многочленов c метрикой ρ( p,q) = max p(t) − q(t).
[0,1]
Определение 1.6. Пусть M — подмножество метрического пространства X. Точка a X называется предельной точкой множества M X , если любая окрестность точки a содержит хотя бы одну точку множества M \ {a} (Окрестностью точки a X называется множество таких точек x X, что ρ(a,x) < ε для некоторого ε > 0 ).
Определение 1.7. Множество, полученное присоединением к множеству M всех его предельных точек, называется замыканием множества М и обо-
значается M .
Определение 1.8. Точка x M называется внутренней точкой этого множества, если она принадлежит этому множеству вместе с некоторой своей окрестностью.
Определение 1.9. Множество M называется замкнутым, если M = M. Определение 1.10. Множество M называется открытым, если его допол-
нение X \ M замкнуто. Можно показать, что множество M открыто тогда и только тогда, когда все его точки – внутренние.
Определение 1.11. Множество M называется всюду плотным в X, если
M =X.
10
|
Определение 1.12. Сферой Sr (x0 ) с центром в точке x0 радиуса r |
называ- |
||
ется совокупность точек {x :ρ(x,x0 ) = r}. |
|
|||
|
Определение 1.13. Открытым шаром Br (x0 ) с центром в точке x0 |
радиу- |
||
са |
r называется совокупность точек {x :ρ(x,x0 ) < r}. |
|
||
|
Определение 1.14. Замкнутым шаром |
|
r (x0 ) с центром в точке x0 |
радиу- |
|
B |
|||
са |
r называется совокупность точек {x :ρ(x,x0 ) ≤ r}. |
|
Линейные пространства
Определение 1.15. Множество E элементов x, y, z, … называется линейным пространством, если в нем определены две операции:
I. Каждым двум элементам x, y E поставлен в соответствие определенный элемент x + y E, называемый их суммой.
II. Каждому элементу x E и каждому числу (скаляру) λ поставлен в соответствие определенный элемент λ x E — произведение элемента x на скаляр λ . При этом должны быть выполнены следующие свойства (аксиомы) для любых элементов x, y, z E и любых скаляров λ , µ :
1)x + y = y + x ;
2)x + ( y + z) = (x + y ) + z ;
3)существует единственный элемент 0 E такой, что x + 0 = x ;
4)существует единственный элемент –x, такой, что x + (–x)=0;
5)λ ( µ x) = ( λ µ )x ;
6)1· x = x , 0 · x = 0 (слева 0 - скаляр, а справа - элемент множества E) ;
7)λ ( x + y) = λ x + λ y;
8)( λ + µ )x = λ x + µ x.
Под разностью элементов x–y будем понимать сумму x + (–y).
В качестве числовых множителей (скаляров) λ , µ , … в линейном про-
странстве берутся вещественные или комплексные числа. В первом случае E называется вещественным (действительным) линейным пространством, во втором - комплексным линейным пространством*). В первом случае говорят, что X – линейное пространство над полем действительных чисел, а во втором
– над полем комплексных чисел. Всякое действительное пространство можно включить в комплексное. Действительно, рассмотрим совокупность фор-
*) В дальнейшем мы будем говорить просто «линейное пространство», если утверждение верно как для в е- щественного, так и для комплексного случая. Если же утверждение верно лишь для вещественного пространства (или лишь для комплексного пространства), то это будет специально оговорено.
11
мальных сумм: z = x + i y , где x и y принадлежат заданному действительному пространству. Если также z1 = x1 +i y1 , то по определению
z + z1 = (x + x1 ) +i( y + y1 ),
(α + βi)(x +i y) = (αx −β y) +i(α y + β x) .
Таким образом, мы построили комплексное линейное пространство. Очевидно, все z = x + i 0 с операцией умножения на α = α + i0 можно отожде-
ствить с исходным линейным пространством. Такое включение действительного пространства в комплексное называется его комплексификацией.
Примеры линейных пространств
1. Множество всевозможных векторов (в трехмерном пространстве, на плоскости или на прямой) со стандартными операциями сложения и умножения на число образует линейное пространство.
2. |
Рассмотрим |
пространство |
всех |
многочленов |
степени, |
не |
превышающей k: |
|
x(t) = x |
+ x t +... + x tk |
(x0, x1 ,…, xk |
— произвольные вещественные числа, t |
D = (-∞,+∞ )). По- |
||||
0 |
1 |
k |
|
|
|
|
|
|
скольку произведение многочлена на вещественное число и сумма двух многочленов являются многочленами и удовлетворяют аксиомам 1) –7) (проверьте это!), мы получаем линейное пространство многочленов.
3. Пространство непрерывных функций C[a, b]. Пусть D =[a, b]. Берем всевозможные непрерывные на [a, b] функции x (t), y (t). Так как x (t)+y (t) непрерывна на [a, b], как сумма непрерывных функций, и λ x(t) также непрерывна, то C[a, b] является линейным пространством. Возможны вещественный и комплексный случаи.
4. Пространство C k [a, b] (k – натуральное число) – пространство k раз непрерывно дифференцируе-
мых функций. Поскольку λ x (t) C k [a, b], если x (t) C k [a, b], и x(t) + y(t) C k [a, b], если x (t) и y (t)
C k [a, b], то C k [a, b] – линейное пространство.
Определение 1.16. Если линейное пространство является в то же время метрическим пространством, то оно называется линейным метрическим про-
странством.
Нормированные пространства
Определение 1.17. Линейное пространство E называется нормированным пространством, если каждому x E поставлено в соответствие неотрицательное число x (норма x) так, что выполнены следующие три аксиомы:
1) x ≥0; x = 0 в том и только том случае, когда x = 0;
2) |
|
|
λx |
|
= |
|
|
|
λ |
|
· |
|
|
|
x |
|
|
|
, |
|
|
|
|
x E, |
λ — скаляр; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3) |
|
|
x + y |
|
≤ |
|
x |
|
|
+ |
|
y |
|
|
|
, |
x, y E . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В нормированном пространстве можно ввести расстояние между любыми двумя его элементами по формуле
ρ(x, y) = x − y .
12
Нетрудно проверить, что все аксиомы расстояния выполнены, следовательно, всякое нормированное пространство одновременно является метрическим.
Примеры нормированных пространств
1. В вещественном линейном пространстве m-мерных столбцов x = {ξi , i =1,...,m} R m введем норму
1/ 2
xc = ∑m ξi2 .
i=1
Полученное нормированное пространство в линейной алгебре известно как евклидово пространство и обозначается E m .
2. Пространство c(m) – пространство R m с нормой
x = max ξi .
1≤i≤m
3. Пространство непрерывных функций C[a, b]. Рассмотрим линейное пространство всех непрерывных на [a, b] функций. Нормувведем так:
x = max x(t) .
[a,b]
Определение 1.18. Сферой Sr (x0 ) с центром в точке x0 радиуса r называется совокупность точек {x : x − x0 = r}.
|
Определение 1.19. Открытым шаром Br (x0 ) с центром в точке x0 |
радиу- |
|||||||||||
са |
r |
называется совокупность точек {x : |
|
|
|
x − x0 |
|
|
|
< r}. |
|
||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Определение 1.20. Замкнутым шаром |
|
r (x0 ) с центром в точке x0 |
радиу- |
|||||||||
|
B |
||||||||||||
са |
r |
называется совокупность точек {x : |
|
|
|
x − x0 |
|
|
|
≤ r}. |
|
||
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим в нормированном пространстве E последовательность эле-
ментов {x n }.
Определение 1.21. Элемент x E называется пределом последовательности {x n }, если ||x n - x||→ 0 при n → ∞. Если x есть предел {x n }, то будем п и-
сать x = lim xn или x n → x при n → ∞ и говорить, что последовательность {x n }
n→∞
сходится к x или просто сходится.
Определение 1.22. Последовательность {xn} элементов нормированного пространства X называется фундаментальной, если для любого ε > 0 найдется номер такой N = N(ε), что для любых n, m ≥ N имеем ||x n - xm ||< ε.
Определение 1.23. Если в нормированном пространстве любая фундаментальная последовательность сходится к элементу этого пространства, то нормированное пространство называется полным.
13
Определение 1.24. Если линейное пространство является в то же время нормированным пространством, то оно называется линейным нормированным пространством (см. определение нормированного пространства 1.17).
Определение 1.25. Полное (в смысле сходимости по норме) нормирован-
ное пространство называется банаховым пространством (пространством Банаха).
Примеры банаховых пространств
1. n-мерное векторное пространство элементов x ={ξ1 ,ξ2 ,...,ξn }с обычными операциями суммы элемен-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
тов и произведения элемента на число и нормой |
|
x |
|
= |
|
|
n |
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
∑ξi2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. |
Пространство C[-1,1] непрерывных функций с обычными операциями суммы элементов и произведения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
элемента на число и нормой |
|
|
|
x |
|
|
|
= max |
|
x(t) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t [−1,1] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
Пространство lp (p ≥ 1) бесконечных числовых |
|
последовательностей, |
|
для которых |
∑ξip сходится, с |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|||
|
обычными операциями суммы элементов и произведения элемента на число и нормой |
x |
|
= |
∑ξip |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
Пространство Lp [0,1] (p ≥ 1) функций, для которых ∫1 |
|
|
|
|
|
|
|
p dt |
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
||||||||||||||||||
|
x(t) |
|
|
сходится, с обычными операциями суммы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
элементов и произведения элемента на число и нормой |
|
|
x |
|
|
p |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= ∫| x(t)|p dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Топологические пространства
Определение 1.26. Говорят, что в множестве Х определена топологическая структура, или просто топология, если в Х выделен класс подмножеств, содержащий вместе с каждым набором множеств их объединение и вместе с каждым конечным набором множеств — их пересечение, пустое множество и само множество Х. Множество, снабженное топологической структурой, называется топологическим пространством, его элементы —
точками, а множества отмеченного класса — открытыми множествами.
Любое открытое множество, содержащее точку x, называется окрестностью точки x.
Определение 1.27. Точка x топологического пространства называется пределом последовательности {xn}, если любая окрестность точки x содержит все точки последовательности, начиная с некоторого номера.
Определение 1.28. Топологическое пространство называется компактным, если всякое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие (Покрытием множества M называется такая система множеств Ai , i = 1,2,…,
14
что M Ai ). Например, конечное множество, наделенное произвольной то-
i
пологией, компактно, а бесконечное множество, наделенное дискретной топологией, не компактно (дискретная топология - топология, в которой открытыми множествами считаются все подмножества множества X).
Примеры топологических пространств
1. |
Пусть X – совокупность вещественных бесконечно дифференцируемых функций, заданных на прямой и |
|
обращающихся в нуль вне некоторого конечного отрезка, своего для каждой функции. Открытыми мн о- |
|
жествами являются окрестности точки x0, т.е. следующие множества: для любого ε > 0 и любого n |
|
окрестность U(n,ε) функции x0(t), где t R , есть совокупность функций x(t) из X таких, что |x(k) (t) – |
2. |
x0(k) (t)| < ε для k = 0, 1, 2,…, n. |
Линейное нормированное пространство является линейным топологическим пространством. Открытыми |
множествами являются открытые шары.
Пространства со скалярным произведением
Определение 1.29. Вещественное линейное пространство E называется евклидовым, если каждой паре его элементов x и y поставлено в соответствие вещественное число, обозначаемое (x, y) и называемое скалярным произведением, так, что выполнены следующие аксиомы:
1) (x, x) ≥0, x E ((x, x) = 0 в том и только в том случае, когда x = 0);
2)(x, y) = (y, x), x, y E ;
3)(λ x, y) = λ(x, y), x, y E, λ – скаляр;
4)(x + y, z) = (x, z) + (y, z), x, y,z E .
Понятие скалярного произведения естественным образом обобщает понятие скалярного произведения векторов. Всякое евклидово пространство можно превратить в нормированное пространство, определив в нем норму по формуле
||x|| = (x,x) .
Примеры пространств со скалярным произведением
1. Евклидово пространство E m . Введем в вещественном линейном пространстве E m скалярное произведение по формуле
m
(x, y) = ∑ξkηk .
k =1
Соответствующая норма имеет вид
15
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|| x|| = |
|
∑ξk2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Неравенство Коши - Буняковского (|(x,y) |≤| x | | y |) выглядит так: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
∑ξkηk |
≤ |
|
∑ξk2 |
|
∑ηk2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
k =1 |
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
и представляет собою в этом виде частный случай неравенства Гельдера |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
m |
|
|
m |
p 1/ p |
m |
q 1/ q |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
∑ξkηk |
≤ |
∑ξk |
|
|
|
∑ηk , |
|
|
+ |
|
=1. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
p |
q |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
k =1 |
|
k =1 |
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2. Пространство l2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В линейном пространстве c вещественных последовательностей x = (ξ |
k |
)∞, |
y = (η |
)∞ |
таких, что |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
k 1 |
|
|
∞ |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
ξk2 |
< +∞, ∑ηk2 < +∞, введем скалярное произведение по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
k =1 |
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞
(x,y) = ∑ξkηk. .
k =1
Гильбертовы пространства
Определение 1.30. Гильбертовым пространством называется полное нормированное действительное пространство, в котором норма порождается скалярным произведением.
Примеры гильбертовых пространств
1.Евклидово пространство E m .
2.Пространство l2.
3. Пространство L |
[0,1] (скалярное произведение определяется формулой |
|
1 |
1/ 2 ). |
2 |
|
|
|
|
|
|
(x, y) = |
∫x(t) y(t)dt |
|
|
|
|
0 |
|
Сепарабельные пространства
Определение 1.31. Пространство X называется сепарабельным, если в этом пространстве существует счетное всюду плотное подмножество, т.е. существует такое счетное подмножество M X , что M = X .
Другими словами, это значит, что в пространстве X существует такая последовательность {x n }, что для любого элемента x из пространства X найдет-
ся подпоследовательность {xnk } последовательности {x n }, сходящаяся к x.
16
Если X — метрическое пространство, то определение сепарабельности можно сформулировать так: метрическое пространство X — сепарабельное, если в пространстве X существует такая последовательность {x n }, что для
любого ε > 0 и любого x из X найдется такой элемент x n последовательности
{x n }, что ρ (xn, x) < ε.
Примеры сепарабельных пространств
1. Евклидово пространство E. Действительно, множество, состоящее из всех точек этого про-
странства с рациональными координатами, счетно и всюдуплотно в E m .
2. Пространство C[0,1]. Рассмотрим в нем множество всех многочленов с рациональными коэффициентами. Убедимся, что оно всюду плотно в C[0,1]. Действительно, по теореме Вейерштрасса для любой функции x(t) C[0,1] существует такой многочлен p(t), что
max| x(t)− p(t)|< |
ε |
, |
t |
2 |
|
где ε > 0 – заданное число. С другой стороны, очевидно, найдется другой многочлен p0 (t) с рациональны-
ми коэффициентами такой, что
maxt | p(t)− p0 (t)|< ε2 .
Отсюда следует, что
ρ(x, p0 ) = maxt x(t)− p0 (t) <ε,
что и требовалось доказать.
3. Пространство lp . Рассмотрим множество элементов x вида {r1,r2 ,...,rn ,0,0,...}, где ri – произвольные рациональные числа, а n – произвольное натуральное число. Это множество счетно. Легко показать, что это множество всюду плотно в lp . В самом деле, возьмем любой элемент x ={ξi } lp , и пусть задано любое ε > 0. Найдем сначала такое натуральное числоn, чтобы
∞ |
|
|
|
|
ε |
p |
|
∑ |
|
ξk |
|
p < |
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|||||
k =n+1 |
|
|
|
|
|
Возьмем затем такой элемент x0 ={r1 ,r2 ,...,rn ,0,0,...}с рациональными коэффициентами, что
|
|
n |
|
|
|
|
|
ε |
p |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
∑ |
|
ξk |
− rk |
|
p < |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
ε |
p |
|
ε |
p |
|
||||
[ρ(x,x0 )]p = ∑ |
|
ξk −rk |
|
p + |
|
∑ |
|
ξk |
|
|
p < |
|
+ |
|
=ε p , |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
k =1 |
|
|
k =n+1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
откуда
ρ(x,x0 ) <ε,
итребуемое доказано.
4.Пространство Lp [0,1]. Счетным всюду плотным множеством в этом пространстве является
множество всех многочленов с рациональными коэффициентами.
Пример несепарабельного пространства
17
Пространство m ограниченных числовых последовательностей. Рассмотрим множество элементов
x = (ξ )∞ m |
(i = 1,2,…), где ξ |
i |
= 0 или 1. Множество таких элементов имеет мощность конт инуума (см. |
i 1 |
|
|
[8]). Возьмем два различных элемента из этого множества. Тогда ρ(x,y) = supξi −ηi =1, и мы имеем
i
континуум элементов, находящихся друг от друга на расстоянии, равном единице. Допустим, что вm суще-
ствует счетное всюду плотное множествоE. Опишем около каждогоэлемента из E шар радиуса ε = 13 . То-
гда все элементы пространства m расположатся внутри всех этих шаров. Так как шаров счетное множество, то по крайней мере в одном из них должно быть два разных элемента x и y из рассмотренного выше множе-
ства мощности континуум. Пусть центр такого шара есть x0 . Тогда
1= ρ(x, y) ≤ ρ(x,x0 )+ ρ(x0 , y) ≤ 13 + 13 = 23 — противоречие. Следовательно, m несепарабельно.
18
Тема 2. Метрические пространства. Понятие о полном метрическом пространстве. Пополнение метрического пространства. Некоторые свойства полных метрических пространств. Отображения метрических пространств. Принцип сжимающих отображений. Компактные множества в метрическом пространстве. Критерий компактности в пространствеС[a,b].
Определение 2.1. Пусть имеется два метрических пространства: X с метрикой ρ (x, y) и Y с метрикой ρ′(x′, y′). Они называются изометрическими, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие, сохраняющее расстояние, т.е. ρ′(x′, y′) = ρ (x,y) при условии,
что x′↔ x, y′↔ y.
Такое соответствие называется изометрией. Два изометрических пространства будем рассматривать как несущественно различные, т.е. будем считать их идентичными.
Определение 2.2. Пусть X – метрическое пространство, а Y X, тогда если ввести в Y метрику пространства X, то Y станет метрическим пространством, которое называется подпространством пространства X.
Замечание 2.1. Если M – произвольное множество, то его можно метризовать так: ρ (x,y) = 1, если x ≠ y и ρ (x,x) = 0. Легко проверить, что все аксиомы выполняются. Такое метрическое пространство называется
дискретным.
Замечание 2.2. Существуют метрические пространства, в которых аксиома 3 определения 1.3 выполняется в усиленной форме:
ρ(x, z) ≤ max[ρ(x, y); ρ( y, z)].
Такие пространства называются ультраметрическими.*)
Упражнения (на «патологические» свойства общих метрических пространств).
1)Сферой в абстрактном метрическом пространстве естественно
назвать множество всех x X, удовлетворяющих равенству ρ (a,x) = r (здесь a – центр сферы, r – ее радиус). Показать, что сфера с центром a может оказаться пустой (открытые и замкнутые шары с центром в a, разумеется, всегда не пусты при r > 0). (Указание: рассмотреть сферы в дискретном пространстве).
*) Пример ультраметрического пространства см. ниже в упражнении 2.
19
2)Для произвольного множества M обозначим через XM совокупность всех бесконечных последовательностей x = {xn} элементов множества M. Пусть для любых двух x = {xn}≠ y = {yn}
задано d(x, y)= min {n: xn≠ yn}. Положим ρ(x,y)= 1/d(x, y), если x ≠ y, и ρ(x,x) = 0. Доказать, что XM с такой метрикой является полным ультраметрическим пространством.
3)Показать, что в произвольном ультраметрическом пространстве: а) любой открытый шар S(x;r) является одновременно и открытым и замкнутым множеством; причем S(y;r) = S(x;r) для любого
y S(x;r); б) любой замкнутый шар тоже обладает свойством а); в) если два шара имеют общую точку, то один из них содержится в другом; г) последовательность {xn} фундаментальна тогда и только тогда, когда для любого p > 0
limρ(xn , xn+ p ) = 0.
n→∞
Замечание 2.3. Полезно сравнить это свойство с общим определением фундаментальной последовательности:
n mlim ρ(xn , xm ) = 0,
( , )→(∞,∞)
т.е. для любого ε > 0 существует такой номер N(ε), что при любом n > N(ε) и любом натуральном p > 0 выполняется ρ(xn, xn+p) < ε.
Пополнение метрического пространства.
Теорема 2.1. Всякое метрическое пространство X можно рассматривать
~
как подпространство некоторого полного пространства X , в котором X
~ |
|
|
~ |
|
|||
всюду плотно (т.е. X X |
и X = X ). |
Переход X→ ~ называется пополнением пространства X.
X
Доказательство.
Рассмотрим всевозможные фундаментальные последовательности {xk} элементов из X. Две такие последовательности {xn} и {yn} мы будем считать
эквивалентными, если |
lim ρ(xn , yn ) = 0 . |
В этом случае будем писать |
|
n→∞ |
|
{xn} ~ {yn}.
Соотношение «~» обладает следующими свойствами:
1.{xn} ~ {xn} (рефлексивность);
2.Если {xn} ~ {yn}, то {yn} ~ {xn} (симметричность);
3.Если {xn} ~ {zn}, {zn} ~ {yn}, то {xn} ~ {yn} (транзитивность).
Если среди элементов некоторого множества введено понятие эквивалентности одного элемента другому, обладающее свойствами
20
рефлексивности, симметричности и транзитивности, то все это множество так разбивается на классы, что
а) всякий элемент принадлежит одному и только одному из классов; б) каждые два элемента, принадлежащие одному и тому же классу,
эквивалентны; в) каждые два элемента, принадлежащие разным классам, не
эквивалентны.
Эти классы называются классами эквивалентности.
В нашем случае на классы распадается совокупность всех
фундаментальных последовательностей. |
X , а сами |
эти |
||||
Множество |
всех классов эквивалентности обозначим |
|||||
классы будем обозначать x, y, z,... . |
|
|
~ |
|
||
~ |
|
|
|
|
|
|
метрику, |
полагая |
~ ~ |
|
~ |
~ |
|
Введем в X |
ρ(x, y) = lim ρ(xn , yn ) , если |
{xn } x, {yn |
} y. |
|||
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
Для того, чтобы доказать корректность такого определения, необходимо доказать,
а) что для любых фундаментальных последовательностей {xn} и {yn} этот
предел существует; |
x |
и |
y |
и не зависит от выбора |
||
б) что этот предел зависит только от |
||||||
|
|
|
~ |
|
~ |
|
представителей |
классов, т.е. от того, |
какие |
|
именно последовательности |
||
{xn } x |
, {yn } y |
выбрать. |
|
|
|
|
~ |
~ |
|
|
|
|
|
Докажем а). Заметим, что из неравенства треугольника следует
ρ(xn , yn ) ≤ ρ(xn , xm ) + ρ(xm , ym ) + ρ( ym , yn ) .
Отсюда
ρ(xn , yn ) − ρ(xm , ym ) ≤ ρ(xn , xm ) + ρ( yn , ym ) .
Поменяем местами m и n; тогда
ρ(xm , ym ) − ρ(xn , yn ) ≤ ρ(xn , xm ) + ρ( yn , ym ) .
Следовательно,
ρ(xm , ym ) − ρ(xn , yn ) ≤ ρ(xn , xm ) + ρ( yn , ym ) .
Для любого ε > 0 существуют такие N1(ε), N2(ε), что
ρ (xn, xm) < ε2 при n, m > N1(ε) и ρ (yn, ym) < ε2 при n, m > N2(ε).
Значит, при n, m > max { N1(ε), N2(ε)}
ρ(xm , ym ) − ρ(xn , yn ) < ε,
аэто означает, что числовая последовательность ρ(xn , yn ) фундаментальна и,
следовательно, существует lim ρ(xn , yn ).
n→∞
21