- •Евразийский открытый институт
- •Функциональный анализ
- •Москва 2011
- •Cодержание.
- •Список учебной литературы.
- •Докажем б). Пусть
- •3. Тема 3
- •Основные понятия
- •Основные понятия.
- •Упражнения
- •Составим ряд
- •Обозначим его сумму через у, тогда
- •Повторяя это рассуждение , получим последовательности:
- •5. Тема 5
- •Понятие ортогональности
- •Из свойства 4) следует свойство
- •Ортогональные и ортонормированные системы
- •Ортогонализация системы линейно независимых элементов
- •Пространство L2
- •6. Тема 6
- •Введем обозначение
- •Рассмотрим ряд
- •Москва 2011
- •1. Сведения об авторах
- •2. Цель изучения дисциплины
- •3. Базовые знания
- •Для изучения данной дисциплины студенту достаточно знать основы курсов «Математический анализ», «Линейная алгебра», «Геометрия и топология», в особенности основы теории математических пространств.
- •8. Тесты
- •Функциональный анализ
- •Москва 2011
Теорема 4.18. Если пространство Х сепарабельно, то единичный шар в X ′ слабо предкомпактен.
Доказательство. Пусть Х1={x1,x2,…}, счетное всюду плотное в Х |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
множество, и пусть fn X ′ последовательность, состоящая из |
|
элементов |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
единичного шара в X ′ ( то есть |
|
|
|
fn |
|
|
|
≤1) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Рассмотрим последовательность f1(x1), f2(x1)…. Так как |
|
|
|
fn |
|
|
|
≤1, она |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ограничена |
|
|
|
x1 |
|
|
|
: |
fn (x1) |
|
≤ |
|
fn |
|
|
x1 |
|
|
|
≤ |
|
|
|
x1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
По теореме Больцано-Вейерштрасса можно выделить сходящуюся |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
подпоследовательность |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f11(x1), f12(x1), …. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Рассмотрим последовательность |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f11(x2), f12(x2), …. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Она ограничена, как часть ограниченной последовательности |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f1(x2), f2(x2), …. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
поэтому на ней можно выделить сходящуюся подпоследовательность |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f21(x2), f22(x2), …. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Рассмотрим последовательность |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f21(x3), f22(x3), …, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
она ограничена и можно выделить сходящуюся подпоследовательность |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f31(x3), f32(x3), f33(x3), …. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Повторяя это рассуждение , получим последовательности: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f11(x), f12(x), …, |
(4.7.1) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f21(x), f22(x), … , |
(4.7.2) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f31(x), f32(x), …, |
(4.7.3) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
………………, |
|
|
|
|
|
(...….) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fk1(x), fk2(x), …. |
|
|
|
|
|
(4.7.k) |
каждая из которых (начиная со второй) является частью предыдущей и n- ая последовательность сходится в точке xn.
Рассмотрим ”диагональную последовательность” f11(x), f22(x), f33(x), …
При х=х1 она сходится как подпоследовательность последовательности (4.7.1), при х=х2 она сходится, так как
f22(x2), f33(x2), …
есть подпоследовательность последовательности (4.7.2), вообще при х=хк она сходится, так как
fkk(xk), f(k+1)(k+1)(xk), …
75
есть подпоследовательность последовательности (7.4.k). Таким образом, последовательность сходится на множестве Х1, следовательно, по предыдущей теореме, она слабо сходится, и теорема доказана.
Определение 4.18. Пусть Х — банахово пространство, а X ′ – к нему
сопряженное. Последовательность элементов |
xn X |
называется слабо |
сходящейся к элементу х Х, если |
|
|
f (xn ) → f (x) , n → ∞ |
|
|
w |
|
|
для каждого f X ′ (в обозначении: xn →x ). |
|
|
Очевидно, слабая сходимость элементов |
xn X |
эквивалентна слабой |
сходимости функционалов Fxn ( f ) X ′′, определяемых равенствами
Fxn ( f ) f (xn ).
Поэтому все утверждения предыдущего пункта переносятся на этот случай. В частности,
1.Если последовательность слабо сходится, то она ограничена по норме (обратное утверждение, вообще говоря, неверно).
2.Из сильной (обычной) сходимости следует сходимость слабая.
Действительно, пусть xn → x и f X ′. Тогда
f (x) − f (xn ) = f (x − xn ) ≤ f x − xn → 0 ,
следовательно, f (xn) →f (x).
Пример последовательности, сходящейся слабо, но не сходящейся сильно.
Пусть X= l2 . Тогда X ′= l2 . Это означает, что для всякогоf X ′ существует последовательность
∞
чисел {η1,η2 ,....} такая , что ∑|ηi2 |< ∞ , и f (x) = ∑ηiξi . Возьмем xn={0,0,…,0,1,0,…},
i=1
f(xn)=ηn → 0 при n →∞, т.е. xn → 0 слабо, но при n ≠m xn − xm = 2 , поэтому{xn} сильно не сходится.
Упражнения.
1.Доказать, что в конечномерном пространстве и в l1 слабая сходимость элементов совпадает с сильной сходимостью.
2.Доказать, что (сильно) замкнутое линейное подпространство необходимо слабо замкнуто.
76
3.Если {xn} сильно предкомпактна и слабо сходится к х0, то она сильно сходится к х0.
4.Доказать, что линейный (сильно) непрерывный оператор является слабо непрерывным.
5. Если Х сепарабельно, то X ′ слабо сепарабельно |
в том смысле, что |
найдется счетное множество функционалов Ф X ′, |
такое, что каждый |
функционал f X ′ может быть представлен как предел слабо сходящейся последовательности функционалов из Ф.
6.Для того, чтобы множество М X ′функционалов было слабо компактно, необходимо, а если Х’ сепарабельно или рефлексивно, то достаточно, чтобы М было сильно ограничено, т.е. f ≤const для любого f М.
7.Банахово пространство Х рефлексивно тогда и только тогда, когда единичная сфера слабо компактна.
8.Показать, что последовательность {xn} непрерывных на [a,b] функций слабо сходится в C[a,b] к некоторой непрерывной функции х0(t) тогда и только тогда, когда эта последовательность равномерно ограничена и
lim xn(t)=x0(t) при каждом t [a,b]. n→∞
9. Показать, что в Lp (a,b) последовательность xn(t) сильно сходится к x0(t)
тогда и только тогда, когда она слабо сходится к x0 |
(t) и lim |
|
xn |
|
= |
|
|
|
x0 |
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.Норма |
|
|
|
x |
|
|
|
непрерывна по отношению к слабой сходимости в Х тогда и |
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
только тогда, когда Х конечномерно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.Множество М (сильно) ограничено в нормированном Х тогда и только тогда, когда оно слабо ограничено, т.е. при любом f X ′ числовое множество f(M) ограничено.
12.Нормированное пространство Х называется слабо полным, если для любой
слабо фундаментальной последовательности xn X (т.е. для нее lim f(xn) n→∞
существует при любом f X ′) найдется элемент х0 Х к которому xn слабо сходится. Доказать, что (сильно) полное пространство Х не обязано быть слабо полным.
Указание. Рассмотреть пространство А(D) – совокупность комплекснозначных функций x(z), которые определены на открытом множестве D комплексной плоскости, ограничены и непрерывны на
замыкании D и аналитичны на D (определение аналитичности см. [19]).
77
Показать, что А(D) полное по норме x = sup |x(z)|, но не являются ни слабо z D
полным, ни рефлексивным. Такими же являются и пространства l∞ , с, с0,
L∞ (a,b), C(a,b).
Спектр и резольвента оператора.
Пусть А линейный (не обязательно ограниченный) оператор из комплексного банахова пространства Х в Х с областью определения DА, и пусть λ – комплексное число.
Определение 4.19. Число λ называется точкой резольвентного множества оператора А, если оператор (А-λI)-1 существует, определен во всем Х и ограничен.
Определение 4.20. Оператор (А-λI)-1 называется резольвентой оператора А и обозначается
Rλ(A)=(A-λI)-1
Определение 4.21. Все точки, не принадлежащие резольвентному множеству, составляют спектр оператора А.
Резольвентное множество оператора А обозначается ρ (А), его дополнение, то есть, спектр – σ (А).
Интересны те точки, где резольвента не существует.
Определение. 4.22. Мы знаем, что (А-λI)-1 не существует тогда и только тогда, когда существует х DА, х≠0 и (А-λI)х=0, или Ах=λх;
Вэтом случае число λ называется собственным значением оператора А,
ах – собственным вектором, отвечающим собственному значению λ.
Совокупность всех собственных значений называют точечным спектром.
Если известна резольвента, то можно найти решение уравнения:
Ах-λх=у, у Х.
λ ρ( A), то x = Rλ ( A) y.
σ ( A′)=σ (A). Для простоты считать, что А ограничен.
78
2.Доказать следующее свойство резольвенты (тождество Гильберта):
если λ, µ , (А), то Rλ-Rμ=(λ-μ)RλRμ=(λ-μ)RμRλ.;
3.Показать, что для замкнутого линейного оператора дифференцирования Ах(t)= x′(t) в Х=Y=С[0,1] верно, что
а) спектр пустой, если DА={x: x′(t) C[0,1], x(0)=0};
б) спектр состоит из одних собственных значений и заполняет всю плоскость, если DА={x: x′(t) C[0,1]};
в) спектр состоит из одних собственных значений, образующих последовательность 2iπ n (n=0,±1,±2,....), если
DА={x: x′(t) C[0,1], x(0)=x(1)}.
Теорема 4.18. Если оператор А линеен, всюду определен и ограничен в Х, то весь его спектр находится в круге λ ≤ A .
Следствие. Спектр всякого линейного, всюду в Х определенного ограниченного оператора есть непустое множество, если Х≠{0}.
Упражнения.
1.Доказать, что для любого A, принадлежащего множеству линейных ограниченных операторов Z(X), действующих из X в X, где Х полно,
существует ρ (А)= lim n An , причем ряд 1+А+А2+…+Аn+… сходится, n→∞
если ρ (А)<1 и расходится, если ρ (А)>1.
2.Доказать, что указанный ряд сходится тогда и только тогда, когда при некотором n выполняется An <1.
3.Доказать, что совокупность всех обратимых операторов из Z(X) образует открытое множество.
79