kvant_mech

дифицированное уравнение Шредингера и действуя на обе части оператором pˆl , получим:

(0)

(1)

ˆ

α2

pˆl qˆl pˆl Φl+1

= pˆl qˆl Φl

= Hl −

4(l +1)

2

=

λ

(1)

−

α2

Φ

(1)

.

l

l

2

4(l +1)

		Φ(1) =
		l

С другой стороны, используя второе соотношение (22.8), преобразуем эту формулу по другому пути:

ˆ

α2

(0)

(0)

α2

(0)

= pˆ

H

l+1

−

Φ

l+1

=

λ

l+1

−

pˆ

Φ

l+1

=

2

2

l

4(l +1)

4(l +1)

l

α2

=

λ

(0)

−

Φ

(1)

l+1

l

.

2

4(l +1)

Сравнивая

эти

две

формулы,

находим:

ˆ

(1)

(1)

(1)

(0)

(1)

т.е.

(1)

является

собственной

Hl Φl

= λl

Φl

= λl+1 Φl

Φl

функцией оператора Гамильтона, соответствующей собствен-

(1)

(0)

α2

ному значению λl

= λl+1

=

.

4(l + 2)2

Аналогично,вводяфункциюΦ(2)

= pˆ

pˆ

Φ(0) ,докажем,что

l

l

l

+1

l+2

ˆ

она является собственной функцией оператора Hl , принадле-

(2)

(1)

(0)

α2

жащей собственному значению

= λl+1

= λl+2

λl

= 4(l +3)2

и т.д. Таким образом, мы получаем последовательность собственных функций и значений оператора Hˆ l :

111

Φ(0);

Φ(1)

= pˆ

Φ(0)

;

Φ(2)

= pˆ

pˆ

Φ(0)

;

Φ(n')

= pˆ

pˆ

pˆ

Φ(0)

l

l

l

l+1

l

l

l

+1

l+2

l

l l+1...

l+n'

l+n'+1

λ(0);

λ(1) = λ

(0);

λ(2)

= λ(0);

λ(n'+1)

= λ(0)

l

l

l+1

l

l+2

l

n'+l+1

Собственные значения энергии найдем из соотношения

между Е и λl(0) :

E

= λ(n'+1)

2

=

2

α2

=

2

4m2Z 2e4

=

Z 2m e4

e

e

2m

2m

4(l + n'+1)2

2m

4 4(l + n'+1)2

2 2 (l + n'+1)2

n'

l

e

e

e

и E = −

Z 2mee4

;

E = −

Z 2mee4

;

....; E

n'

= −

Z 2mee4

.

2 2 (l +1)2

2 2 (l + 2)2

0

1

2 2 (l + n'+1)2

Введем главное квантовое число n=n’+l+1, тогда уровни энергии зависят только от n и совпадают с формулой Бора:

En

= −

Z 2m e4

e

.

2 2n2

Φl(1)

Функцию

находим с

шающего

оператора,

действуя

Φ

(1)

= pˆ

Φ

(0)

=

d

+

l +1

−

α

l

l+1

l

r

2(l +1)

dr

	помощью			повы-
	им	на		Φ(0)	:
				l+1
		−	αr
	C(0)rl+2	e 2(l+2)		=
	l+1

			α(2l +3)		−	αr
= C(0)		2l +3−		r rl+1 e		2(l+2) .
l+1			2(l +1)(l + 2)

этотпроцессможнонайти: Φl(n')(r) = Ln' (r) rl+1 e−

Продолжая

αr

2(l+n'+1) , где

Ln' (r) – полиномы степени n’ называемые полиномами Лагерра, их явный вид можно получить, последовательно применяя повышающий оператор по правилам, нами рассмотренным.

Полиномы Лагерра обращаются в нуль на интервале 0≤ r<∞ n–l–1 раз.

112

Подставляя α и вводя главное квантовое число n, получим

	−Zr		2
Φn,l (r) = Ln−l−1(r) rl+1 e	nr1 ;	r1 =		– Радиус первой Бо-
			m e2
ровской орбиты.			e

§40 Состояния электрона в водородоподобном атоме

Таким образом, мы имеем следующие возможные состояния

электрона в водородоподобном атоме:

1).

n=1,

l=0,

m=0;

s-состояния.

Как мы виде-

ли,

волновые

функции

сферически

симметричны,

Y0,0

=

1

= const и момент импульса и его проекции в

4π

этом состоянии равны нулю.

Радиальная волновая функция:

Φ1,0(r)

= a0r e

−Zr

R1,0(r) = a0 e

−Zr

nr1 ;

nr1 ; а распределение веро-

dW1,0(r) = R1,0(r) r2dr = a02r2 e

−

2Zr

ятности

nr1 dr .

Константа a0 находится из условия нормировки:

∞

∞

−

2Zr

2 1

r

3

Z

3/2

2

2

r

∫dW1,0(r) = a0

∫r

e

1

dr = a0

1

;

a0

= 2

,

4

Z

0

0

r1

r1 =

2

.

m e2

e

Найдем расстояние, на котором плотность вероятности имеет максимум:

113

d					2			2 2Zr			−2rZr
	dW (r)			= a			2r −r	r		e	1 dr = 0,
dr		1,0		0
								1

	r		2
1
откуда r =		=		, совпадает с радиусом первой Боров-
	Z		Zm e2
ской орбиты.			e
2). n=2. При этом значении главного квантового числа име-

ются s-состояния (l=0, m=0)и p-состояния (l=1, m= –1, 0, +1). Общее число состояний 4 (22).

						−	Zr
	При n=2 и l=1, L		(r) = L = const,	R	(r) ~ r e		2r1
		n−l−1	0	1,0
и	распределение		вероятности	вдоль	радиуса
dW2,1(r) ~ r4 e		−Zr
		nr1 dr . Исследование на максимум после диф-

ференцирования и сокращений дает r = 4Zr1 , что совпадает с

радиусом второй Боровской орбиты!

При lmах=n–1 имеем для радиальной волновой функции

−Zr

Φn,n−1(r) ~ rn e nr1 ; и распределение плотности вероятности

−2Zr

ρ(r) ~ r2n e nr1 , а для точки с максимальной плотностью ве-

роятности получаем уравнение:

−		r2n 2Z		и r = n	2		r
2nr2n 1	−		= 0				1	,
		nr1		n			Z

чтосовпадаетсрадиусомn-ойБоровскойорбиты.Нарис.2при-

114

ведены профили вероятности dW(r)/dr для нескольких квантовых состояний

Рис. 20 Радиальная зависимость плотности вероятности dWne(r)/dr=Rne2r2

Таким образом, при максимальном l = n–1 имеет место приближенное совпадение результатов с теорией Бора, что является еще одним проявлением принципа соответствия.

В случае произвольного квантового числа n общую кратность вырождения получим, суммируя кратность вырождении по m, равную 2l+1:

n−1

gn = ∑2l +1= n2 .

l=0

115

ЛЕКЦИЯ 15

§41 Орбитальный магнитный момент

Посколькуэлектроныватомедвижутся(хотяинепоклассическим траекториям), то этому движению сопутствует электрический ток, а, следовательно, и магнитное поле.

Если исходить из теории Бора, в простейшем атоме водорода электрон, движущийся по круговой орбите со скоростью v=ħ/mer1 эквивалентен току I=2eπr1/v, охватывающему площадь S=πr12. Магнитный момент, создаваемого замкнутым током M=IS/c. Подставляя величины и r1=ħ2/mer2 в последнюю формулу, получим:

M=eħ/2mec=µB

Эта величина получила название «магнетон Бора» и представляетсобойестественнуюединицумагнитногомомента,равную

0,927 10–20 эрг/Гаусс.

Вквантовоймеханикевекторплотностиэлектрическоготока может быть найден по формуле для плотности тока вероятности, если ее умножить на заряд электрона е:

j (e) = ie (ψ gradψ* −ψ* gradψ).

2me

В сферических координатах, как мы видели, волновая функция разбивается на множители, зависящие от r,θ , и

ϕ – ψ(r,θ,ϕ) = R(r) Plm (θ) eimϕ . Первые два множителя вещественны или содержат постоянный комплексный коэф-

фициент. Из этого следует, что проекции тока на радиальное направление и на линии угла θ (меридианы) равны нулю и

116

токи текут вдоль окружностей по широте. Проекция вектора градиента на круг широты (сферические координаты)

равна	1	∂ψ .
	r sinθ ∂ϕ

Разобьем пространство на элементарные торы – «бублики», расположенные по кругам широты. Согласно определению,

вектора магнитного момента µ = Isc , имеем для модуля его

(направленного вдоль оси Z) выражение:

µ =

1

j(e) πr2 sin2

θ dσ .

c ∫

ϕ

Вычислим сначала проекцию

jϕ(e) ,

(e)

i e

2

imϕ ∂

−imϕ

−imϕ

∂

imϕ

j

=

R(r) P

(θ)

(e

e

−e

e

) =

2mer sinθ

lm

∂ϕ

∂ϕ

= m e ψ 2 mer sinθ

Подставляя в интеграл, получаем:

e

2

2

e

2

e

µ = m

∫

ψ

2πr sin

θdσ = m

∫

ψ

dV =

m=

2m c

2m c

2m c

e

e

e

=m µB

Итак, магнитный момент электрона в вакууме пропорционален квантовому числу m и принимает, как и lz, 2l+1значений от

– Bm до + Bm.

В s-состоянии (l=0 и m=0) магнитный момент атома равен нулю. Напомним, что ось Z квантования должна быть физически выделена, тем, что вдоль нее направлено хотя бы слабое

117

магнитное поле, ориентирующее вдоль этого направления магнитный момент .

ПроекциямоментанаосьZ такжепропорциональнаm, lz,=mħ,

поэтому отношение к lz постоянно,	=	em		1	=	e	,
	lz	2mec m				2mec

оно называется гиромагнитным отношением.

§42 Опыты Штерна и Герлаха. Спин электрона

Прежде чем обсудить вопрос об экспериментальной проверке выводов теории о существовании магнитных моментов атомов, сделаем следующее замечание: как мы увидим далее электроны, входящие в состав атома, образуют ряд оболочек. Если все места в оболочках заняты электронами, то механические и магнитные моменты электронов в этой оболочке компенсируют друг друга и в сумме равны нулю. Поэтому вклад в моменты вносят только электроны незаполненных оболочек, они называются валентными или оптическими. В частности, в атомах водорода и щелочных металлов такой электрон один. В нормальных, невозбужденных состояниях в щелочных атомах и водороде валентные электроны находятся в s-состояниях, и поэтому их моменты должны быть равны нулю.

В экспериментах, которые проводились Штерном и Герлахом,дляизмерениямагнитныхмоментовпучокатомовввакуумепропускалсячерезнеоднородноемагнитноеполесбольшим градиентом, для этого полюсам придавалась особая форма.

118

печь
				стеклянная
а		магнит
				пластинка

б

Рис. 21

В таком поле на магнитный момент действует сила, пропорциональная проекции на направление напряженности (система СГС, вакуум), и проекции градиента поля на это направ-

ление F = z ∂∂Hz .

(Предполагаем, что поле направлено вдоль Z, и изменяется в пространстве только модуль напряженности поля). При этом, сила направлена вдоль Z, в сторону возрастания поля.

В классическом приближении проекция на направление поля может принимать любые значения (непрерывна) и, следовательно, узкая полоска следа атомов на фотопленке должна размываться в широкую полосу, края которой соответствуют

119

значениям z =± .

Вквантовой механике число проекций на ось квантованияможетприниматьтольконечетныезначения2l+1,и,вчастности, для водорода и щелочных металлов это одно единствен-

ное значение z равно нулю. Поэтому расщепления пучка не должно быть вообще или пучок должен был расщепляться на нечетное число полос, расположенных симметрично относительно центральной несмещенной полосы (если атомы возбуждены).

Опыт дал следующее: для некоторых атомов действительно наблюдалосьрасщеплениенанечетноечислополос(O,Fe),для Ca, Mg расщепление вообще отсутствовало, однако для ряда элементов наблюдалось расщепление на четное число полос, например, водород и щелочные металлы, для которых расщепления вообще не должно быть, след расщеплялся на две полоски!

Эти факты показывают, что в развитой теории чего-то нехватает и картина происхождения магнитных моментов атомов неполна.

В1925 г. Гаудсмит и Уленбек выдвинули (первоначально в рамкахтеорииБора)гипотезу,чтоэлектроныобладаютпомимо вращательного механического момента и магнитного момента, связанных движением по орбите, еще и собственными механическим и магнитным моментами. Существование этого моментаобъясняетрасщеплениепучкаатомоввопытахШтернаи Герлаха на четное число полос и, в частности, расщепление на две полосы для атомов водорода и щелочных металлов

Первоначально существование собственных моментов электронов пытались объяснить, рассматривая их как твердый

120