kvant_mech

ψ

= C e

−

mω x2

;

ψ

= −2C αxe

−

αx2

;

0

2

1

2

0

0

ψ2 =2C0α(2αx2 −1)e−

αx2

αx2

2 ;…, ψn = Hn (x)e−

2 .

Через Нn(x) мы обозначили образующийся при таком процессе полином. В математике этот полином известен, как по- линомЧебышева-Эрмита,онвполномсоответствиисосцилля- ционной теоремой имеет n (самое нижнее состояние – нулевое) вещественных корней на промежутке (–∞, +∞).

Проанализируем сначала основное состояние осциллятора:

n=0, E	=ħω/2,	ψ		= C e−	α x2	= C e−	mωx2
			0		2		2 .
0				0		0

Распределение вероятности имеет вид Гауссовой кривой:

		2		2		2	.
ρ(x) =	ψ0				e	−αx
			C0

Мы видим, что даже при наименьшем уровне энергии квантово-механический осциллятор не находится в состоянии покоя, а совершает так называемые «нулевые колебания», имея

энергию ħω/2 и занимая область порядка х0~1/	―
	.

Мы имеем несоответствие с классикой, в которой осциллятор может находиться в покое в положении равновесия, в которых координата и импульс одновременно имеют определенные

значения рx=x=0.

Однако, E0 находится в полном соответствии с соотноше-

	нием неопределенностей. В классике: E =	p2	+	mω2x2
		2m		2

61

px

≥

и E

2

+

mω2x2

2 .

Дифференцируя, имеем

2

8mx2

dE

2

2

1/2

−

+ mω

xmin

= 0, xmin =

и

dx

3

2mω

4mxmin

Emin

ω

+

ω

=

ω

= E0 !

4

2

4

Рассмотрим теперь сильно возбужденные состояния. Согласно осцилляционной теореме ψn (x) и ρn (x) = ψn (x)2 быстро осциллируют и обращаются в нуль n раз в интервале (–∞, +∞). График распределения вероятности для этого случая представляет осцилляции, вписанные в кривую типа параболы, отсекаемой экспонентой.

Для сопоставления найдем плотность вероятности нахождениячастицывточкескоординатойхвклассическомприближе-

нии. Имеем:

x = Asin(ωt +δ),

dx = Aωcos(ωt +δ)dt = Aω 1− x2

A2 dt ,

2dt

откуда dt =

dx

. Далее ,

ρ

êë

=

dwклêë

=

по-

dx

Tdx

Aω 1− x2 A2

кл

скольку частица дважды за период пересекает dx. Подставляя выражение для dt и используя соотношение между периодом колебаний и круговой частотой – ωТ=2π, получаем:

ρêë (x) =	1			. Эта функция имеет минимальное
кл	π A 1− x2 A2

62

значение 1(π A) в точке х=0, а в точках поворота (х = ±А) плотность вероятности бесконечна, но интегрируема. Легко

	A	кл
	∫
проверить, что		ρêë (x)dx =1.
	−A

Итак, в двух задачах о финитном движении мы убедились, что в соответствии с общей теоремой энергия квантуется и при больших квантовых числах распределение вероятности приближается к классическому.

63

ЛЕКЦИЯ 9

§23 Потенциальная «стенка». Коэффициенты отражения и прохождения

Продолжим рассмотрение задач с инфинитным движением. Рассмотрим потенциальный уступ высотой U0, расположен-

ный в точке х=0.

U(x)

E U0

0 x

Рис. 11

При доказательстве теоремы о связи характера движения с квантованием энергии мы уже говорили о существовании волны, отраженной от области переменного потенциала. Введем теперь понятие коэффициентов отражения R и “прохождения” D, которые показывают, какая доля частиц, падающих на стенку,отражаетсяобратно.Очевидно,чтодолжновыполнятьсясоотношение: R+D=1. В классике при E<U0 все частицы отражаются(Rкл=1,Dкл=0),априE U0 –всепроходят(Rкл=0, Dкл=1). Движение и в том и в другом случае инфинитно и, согласно доказанной теореме, не квантуется.

Вид решения уравнения Шредингера для первой области

64

(при x<0)

мы уже знаем,

он состоит из падающей волны

ψï àä = eik1x

и отраженной ψî òð

= Ae−ik1x :

пад

отр

ψ1 = eik1x + Ae−ik1x ,

где

2mE 1/2

k1 =

2

. Во второй области (при x 0) вид уравне-

ния зависит от того, каково соотношение между E и U0

1. Пусть E U0, Тогда решение уравнения Шредингера для

этой области, с учетом того, что отраженная волна отсутству-

ет, имеет вид: ψ

2 = B e

ik2x

,

где

k2

=

2m(E −U0) 1/2

. Коэф-

2

фициенты определяются из условий «сшивки» волновых

функций и их производных при x=0: Ψ1 = Ψ2

1+A=B

и

dψ1 = dψ2

ik1(1-A)=ik2B.

dx

dx

k1 −k2

2k1

Решаяполученнуюсистему,находим: A =

;

B =

k + k

2

k + k

2

1

1

jотрî òð

jпрош

Определим R и D с помощью R =

; D =

ï ðî ø

.

j

j

падï àä

ïпадàä

i

dψ*

dψ

Плотность тока

j =

ψ

−ψ*

.

2m

dx

dx

Подставим ѱ

пад

= eikx, тогда

jï àä

=

i

eik1x (−ik1)e−ik1x −e−ik1x (ik1)eik1x

=

k1

m

пад

2m

Подставим ѱотр , тогда

65

i

−ik1x

(ik1)Ae

ik1x

ik1x

(−ik1)Ae

−ik1x

2 k1

jîотрòð =

Ae

−

Ae

= −A

2m

m

jпрошï ðî ø

=

B

2

k2

m .

2

k

−k

2

−

Следовательно, R =

A

2

2

E

E −U0

=

1

=

k1 + k2

E + E −U0

4

k

B

2

=

4k k

E (E −U0 )

D = k1

(k1

+ k2 )2

= ( E + E −U0 )2 .

2

1

2

Вотличиеотклассикиприлюбыхэнергиях(дажеприE U0) имеет место отражение! И только при E U0 R и D приближаются к классическим значениям, соответственно, 0 и 1.

2. E<U0.УравнениеШредингераприх>0имеетзатухающеерешение,должнобытьвзятоввидеψ2 = B′e−λx ,посколькувобла-

сти х>0оно должно быть ограничено. Условия «сшивки» дают:

1+A=B и ik1(1-A)= –λB′. Откуда .

k −iλ			2k		R =		A		2		k −iλ		2
	;			;						=			=1
A = k +iλ		B′ = k +iλ									k +iλ
1		1									1
1		1									1

jпрош=0, т.к. Ψ2 имеет вещественный переменный мно-

житель e−λx . Формулы для R и D в этом случае совпадают с классическими, однако существует особенность. В классике проникновениевобластьх>0абсолютнозапрещено,чтообъясняетсятем,чтополнаяэнергиявэтойобластименьшепотенциальной, а, следовательно, кинетическая энергия отрицательна p2 2m = E −U < 0, и поэтому импульс и скорость были бы

66

мнимыми!

В квантовой механике частица может проникать в область х>0, но вероятность ее обнаружить падает с глубиной по экс-

поненциальному закону

1/2

ρ(x > 0)

=

ψ2

2

=

B′

2

e

−2

λx

2m(U0

− E)

. λ =

2

.

Что же она имеет «там» отрицательную кинетическую энергию?

В квантовой механике деление энергии на потенциальную и кинетическую имеет смысл только с точностью до соотношения неопределенностей: ∆x∆px ħ. Действительно, поскольку Ек=р2/2т функция импульса, а U(x) – функция координаты, поэтому они не могут иметь в одном и том же состоянии одновременно определенных значений. Обнаружить частицу в области х>0 с заметной вероятностью можно лишь на глубинах:

∆x ~

1

~

, ∆p ≥

~

2m(U0 − E)

2λ

2∆x

2 2m(U0 − E)

∆Ek

(∆p)2

≥

2m(U0 − E)

= (U0 − E) > 0

2m

2m

С учетом соотношения неопределенностей кинетическая энергия заведомо положительна, что устраняет парадокс.

Проникновение в «запретную» область - есть проявление волновых свойств частиц, подобное полному внутреннему отражению в оптике.

67

§24 Потенциальный барьер. Туннельный эффект. Прозрачность барьера

Естественным обобщением предыдущей задачи является потенциальный барьер конечной ширины а и высоты U0. Сначала рассмотрим случай прямоугольного барьера, когда при

E<U0=const.

U(x)

U0

E

0

a

x

Рис. 12

0,ï

при x < 0 и x >a

U (x) =

ðè 0

< x < a

, при 0 < x < a.

U

∞0

ï ðè

x ≤ 0 è

x ≥ a

Поскольку в квантовой механике вероятность нахождения частицывнутрибарьеранеравнанулю,возможнопроникновение частицы в область x>a. Это явление получило название «туннельного» эффекта, т.к. оно имеет место при энергии частицы меньшей высоты барьера.

Очевидно, вне барьера решения уравнения Шредингера будут иметь первый тип, в этих областях:

ψ1 = eikx + Ae−ikx , ψ3 = B eikx ; k = (2mE 2 )1/2 , и

68

ψ

=

λx

+ Fe

-λx

, где

λ= 2m(U0-

E)/ħ

2 1/2

– «внутри «ба-

2

Ce

рьера.

Для четырех неизвестных имеем 4 уравнения «сшивки» в

точках 0 и а:

при x=0, ѱ =ѱ 1+A=C+F и dψ12

=

dψ2

1

2

dx

dx

ik(1-a)=λ(C-F);

dψ

dψ3

при x=a, ѱ2=ѱ3 Ceλa + Fe-λa=Beika

и

2

=

dx

dx

λ(C eλa − F e−λa )=ikBe ika .

Решая эту систему, можно найти

4ikλeika

B = (k +iλ)2 eλa −(k −iλ)2 e−λa

и коэффициент прохож-

дения или «прозрачность» барьера D=|B|2.

Качественно вид

|ѱ(x)|2

отображен на рис.13.

U(x)

U0

|ѱ(x)|2

E

0		a		x

Рис. 13

69

В практически важном случае, λа 1, тогда

D =

16k2λ2

e−2λa =16

E

1−

E

e−2λa = D e−2λa .

2

2

2

(k

+λ

)

U0

U0

0

Или, подставляя значение λ, получим:

2

.

−

2m(U

− E) a

D = D exp

0

0

Обобщим формулу на случай барьера произвольной формы.

U(x)		U(x)

E

E

x1

x2

x1

x2

0

0

x

x

Рис. 14 Потенциальный барьер произвольной формы

Разобьем интервал между точками поворота (х1, х2) на ∆xi. Т.к. вероятность последовательных событий равна произведению вероятностей, прозрачность всего барьера равна произве-

дению вероятностей Di :

D =					−	2	∑		2m(U (x )− E)
	D =D exp
∏ i		0							i
i							i
переходя к пределу при ∆xi→0, получаем:
				2		x2
D	0					∫		2m[U (x)− E] dx
	= D exp −
				x
						1

	,
∆xi

.

Заметим, что интеграл берется между классическими точками поворота.

Мывидим,чтопрозрачностьбарьераубываетсувеличением

70