200106_СДФ1_ПрИС

но проводить преобразования сигналов также с помощью цифровых вычислительных систем: микропроцессорных систем или компьютеров).

Электрические сигналы (в дальнейшем будем называть их просто сигналами) делятся на непрерывные (аналоговые), дискретные (импульсные) и цифровые.

По частотам сигналы подразделяются на диапазоны (в каждом диапазоне можно выделить свои отдельные поддиапазоны): инфра-низкие частоты (промышленные, сейсмические колебания и др.); звуковые частоты (от 20 Гц до 20 кГц); радиочастоты (километровые, декаметровые, метровые, дециметровые, сантиметровые); частоты инфракрасного излучения (миллиметровые частоты) и т.д.

В соответствие с последовательностью обработки информации можно выделить соответствующую последовательность операций над сигналами: регистрация, преобразование, анализ. К этому следует также добавить операцию синтеза сигналов, который необходим для более эффективного использования и передачи информации, заключенной в измерительных сигналах.

Область науки и техники, задачей которой является исследование и использование преобразований электрических и ЭМ сигналов, называется радиотехникой. В радиотехнике можно выделить отдельно теорию сигналов и раздел, относящий к преобразованию сигналов в электрических цепях.

ЧАСТЬ I. СИГНАЛЫ И ИХ СПЕКТРЫ

Классификация (типы) сигналов

Все сигналы можно разделить на типы по физической природе сигналов (случайные и детерминированные) и по форме их представления (аналоговые, дискретные, цифровые).

Детерминированные и случайные сигналы. Полезные сигналы и помехи

Если значение сигнала можно точно предсказать в любой момент времени (в соответствие, например, с некоторой математической формулой), то такие сигналы называются детерминированными. Если значение сигнала нельзя предсказать точно, поскольку оно по природе своей вероятностно, то такие сигналы называются слу-

чайными.

Типичный случайный сигнал – это помехи (шум), препятствующие извлечению полезной информации из принятого сигнала. Проблема борьбы с помехами, повышение помехоустойчивости приема сигналов – одна из центральных проблем радиотехники.

Поскольку любой сигнал принимается с помехами, которые неизбежно накладываются на сигнал в процессе его передачи от источника к приемнику, мы всегда имеем дело с некоторой суммой детерминированного и случайного сигналов. Но бывают сугубо случайные сигналы, несущие информацию о физическом объекте. Это, например сигналы космического излучения, принимаемые радиотелескопами, колебания земной поверхности, регистрируемые сейсмическими станциями, сигналы с выхода микрофона и т.д.

Математически для исследования детерминированных и случайных сигналов применяют различные подходы. Математический аппарат для описания случайных сигналов (сам сигнал при этом считается реализацией случайного процесса, лежащего в его основе) развит в статистической радиотехнике, где используются вероятностные методы.

Непрерывные (аналоговые) и дискретные (импульсные) сигналы. Цифровые сигналы

Разделение сигналов на непрерывные и дискретные может быть связано как с природой сигналов, так и с формой их представления.

Обычно электрические сигналы являются непрерывными. Их называют также аналоговыми сигналами. Термин «аналоговый сигнал» подчеркивает, что такой сигнал «аналогичен», т.е. подобен порождающему его физическому процессу.

Первоначально в радиотехнике использовались только аналоговые сигналы. Развитие техники привело появлению новых принципов построения систем – импульсных систем, работа которых основана на использовании дискретных (импульсных) сигналов. Одно из преимуществ использования импульсных сигналов – возможность совмещения передачи нескольких сигналов от различных источников одновременно по одной и той же радиолинии (многоканальная связь с разделением каналов по времени). Для этих целей аналоговые сигналы специально дискретизируют, при этом непрерывный сигнал преобразуются в импульсный. В результате сигналы приобретают форму последовательности чисел (временных отсчетов)

С развитием цифровой вычислительной техники дискретные сигналы стали квантовать для представления их значений в виде двоичных кодов. В результате этого появилась возможность обрабатывать сигналы с помощью цифровых вычислительных устройств, а сами сигналы при этом стали называть цифровыми сигнала- ми. Использование цифровой формы представления сигналов имеет много важных преимуществ, главными из которых являются: 1) возможность обработки и хранения данных с использованием средств цифровой электронной вычислительной техники (ЭВМ); 2) удобство передачи по каналам связи с возможностью обнаружения и коррекции возникающих случайных ошибок.

Остановимся коротко на втором аспекте. Прежде всего следует сказать, что преобразование аналогового сигнала в цифровой вид для передачи по каналам связи означает использование импульсного бинарного сигнала, последовательно кодирующего отсчеты исходного сигнала. Это приводит к существенному усложнению сигнала (прежде всего, к уширению его спектра). Однако это оправдано, поскольку в результате резко повышается помехоустойчивость передачи информации. Это обусловлено тем, что при использовании последовательного бинарного сигнала, нет необходимости точно фиксировать амплитуду такого сигнала. Например, в цифровой схемотехнике (стандарт так называемой ТТЛ-логики) считается, что двум значениям бинарного сигнала (логические «1» и «0») соответствуют определенные интервалы значения напряжения сигнала: для логической «1» – это интервал от 2,5 до 5 В, а для логического «0» – интервал от 0 до 0,5 В. В широко используемом стандарте RS-232 это интервал допустимых значений еще больше. А поскольку именно на амплитуду сигнала воздействуют многочисленные помехи (такие помехи называют аддитивными), цифровые сигналы приобретают значительно большую помехоустойчивость.

Кроме того, в условиях особенно больших уровней шумов (когда уровень помех столь велик, что превышает допустимый интервал для представления логических «1» и «0»), существует возможность применения расширенных (избыточных) кодовых комбинаций, в которых дополнительные импульсы (биты) могут быть использованы для контроля или коррекции возможных ошибок в кодовой комбинации.

Количество дополнительных бит можно сделать переменным – в зависимости от уровня шума: чем больше шум, тем большую избыточность следует применять. Такая практически полная помехозащищенность цифровых сигналов, наряду с другими их преимуществами, сделала цифровое представление широко распространенным в самых различных областях техники, так или иначе связанных с передачей, хранением и обработкой сигналов. Цифровое представление стало широко применяться в телефонии, радиовещании, звукозаписи, на цифровую основу переходит телевидение и т.д.

Основные виды сигналов

Синусоидальный сигнал Прямоугольные импульсы Треугольные импульсы Экспоненциальные импульсы Радиоимпульсы

Некоторые примеры так называемых сложных сигналов

Трехпозиционный сложный сигнал Сигнал Баркера (13-позиционный)

Преимущество использования сложных сигналов проявляется в радиолокационных системах для обнаружения слабых сигналов на фоне интенсивного шума.

РАЗДЕЛ 2. Спектральное представление сигналов.

ЛЕКЦИЯ 2

Разложение сигналов по различным базисам. Ряд Фурье и понятие спектра сигнала.

Любой сигнал – это некоторая функция от времени s(t). Если сигнал s(t) периодический с периодом T , то для полного математического описания сигнала нам достаточно знание сигнала на интервале одного периода [0, T] (или [– T/2 , T/2] ).

τи

A

t

T

Рис.1.1. Пример периодического сигнала

Из математики известно, что любую периодическую функцию, т.е. функцию, заданную на интервале периода, можно разложить в ряд Фурье

s(t) =	a0	+ ∑∞ (ak cos ωk t + bk sin ωk t ) ,	(1.1)
	2 k =1

где ωk = k ω0 , ω0 = 2π / T основная частота ряда (иногда в литературе основная частота записывается также как ω1 , имея в виду, что эта частота соответствует пер-

вой гармонике ряда);					a0 , ak , bk		– постоянная составляющая ряда, косинусный и
синусный коэффициенты ряда Фурье, равные соответственно
	=	2			T	/ 2
a 0						∫ s ( t ) dt
		T			− T
						/ 2
	=		2		T / 2		k ω 0 t
a k						∫ s ( t ) cos		dt	(1.2)
			T
					− T / 2
	=	2			T / 2		k ω 0 t
b k					∫ s ( t ) sin			dt
		T
					− T / 2

Таким образом, любой периодический сигнал можно представить как сумму постоянной составляющей и бесконечную сумму гармонических сигналов (гармоник) с частотами ωk = k ω0 , k = 1,2,3,… , кратными основной частоте ряда ω0 . Каждая k-я гармоника представляет собой сумму синусного и косинусного колебаний. Например, 1-я гармоника – это сумма двух гармонических колебаний с одинаковой частотой ω0 и амплитудами a1 и b1 , 2-я гармоника – с частотой ω2 и амплитудами a2 и b2 и т.д.

1-я гармоника a1 cos ω0t + b1 sin ω0t ,

2-я гармоника

a2 cos ω 2t + b2 sin ω 2t ,

3я гармоника

a3 cos ω3t + b3 sin ω3t

и т. д.

Каждую гармонику можно представить другим способом (это следует из три-

гонометрических соотношений)

–

как одно гармоническое колебание (синусоиду

или косинусоиду) с некоторой амплитудой Ak и начальной фазой ϕk

a0

∞

cos( kω0t − ϕk ) ,

s(t) =

+

∑ Ak

(1.3)

2

k =1

где коэффициенты Ak

и ϕk

связаны с коэффициентами ak , bk

следующими три-

гонометрическими соотношениями

ak

= Ak cos ϕk ,

bk

= Ak sin ϕk

(1.4)

и соответственно

=

bk

,

bk

a

= A =

a

2

+ b

2 ,

tg ϕ

откуда

ϕ

= arctg

(1.5)

k

k

k

k

k

k

ak

ak

Поскольку, как известно из тригонометрии, арктангенс угла всегда лежит в диапазоне от – π/2 , до π/2 , для правильного восстановления фазы необходимо провести дополнительные преобразования

ϕ k = ϕ k	если	bk >0 , ak >0
ϕ k = ϕ k + π	если	bk <0 , ak <0
ϕ k = π – ϕ k	если	bk	>0 ,	ak	<0
ϕ k = – ϕ k	если	bk	<0 ,	ak	>0

Итак, любой периодический сигнал можно представить как сумму бесконечного числа составных гармоник с частотами, кратными основной частоте ряда ω0 . Каждую k-ю гармонику ряда можно представить двумя способами: как сумму двух гармонических колебаний – синусного и косинусного, или как одно гармоническое колебание с амплитудой Ak и начальной фазой ϕk . Распределение амплитуд Ak по номерам гармоник называют амплитудной спектральной диаграммой периодического сигнала или просто амплитудным спектром сигнала, а график зависимости ϕk от номеров гармоник – фазовой спектральной диаграммой или фазовым спек- тром. Для иллюстрации на рис.1.2 приведен пример амплитудного и фазового спектров некоторого периодического сигнала

Ak

ϕk

A1

A2

A3

a0

2

1 2 3 . . .	k = ω / ω0 1 2 3 . . .	k = ω / ω0
а	б

Рис.1.2. Амплитудный (а) и фазовый (б) спектры некоторого периодического сигнала

ЛЕКЦИЯ 3

Пример вычисления спектра для прямоугольного сигнала

Найдем амплитудный спектр (в дальнейшем просто спектр) сигнала, представляющего собой последовательность однополярных прямоугольных импульсов с длительностью импульсов τ , периодом T и амплитудой U . Скважность импульсов равна q = T / τ .

s(t)

U

τ

t

T

Рис.1.3. Последовательность однополярных прямоугольных импульсов

Решение:

Так как сигнал периодический, то он полностью задан на интервале [0, T] (или [– T/2, T/2 ] ) . Поскольку сигнал (импульс) симметричный, поместим ось орди-

нат по центру импульса. В результате мы получим четную функцию, отличную от нуля на интервале [– τ/2, τ/2 ] .

s(t)

U

–τ/2 τ/2	t
–T/2	T/2
T

Рис.1.4. Центрирование симметричных импульсов

Математическое описание данного сигнала:

τ

τ

s(t) =

U

для t −

,

2

2

0 для t вне интервала

Вычисляем коэффициенты ряда Фурье (1.2):

2

T / 2

2

τ/ 2

2

2U

a0

=

∫ s(t) dt =

U

∫ dt =

U τ =

T

−T / 2

T

−τ/ 2

T

q

2

T / 2

2U

τ/ 2

2U

τ/ 2

ak

=

∫

s(t) cos kω0t dt =

∫

cos kω0t dt

=

2 ∫ cos kω0t dt

=

T

T

T

−T / 2

−τ/ 2

0

4U sin

kω0

=

2

T

kω0

2

T / 2

bk

=

∫

s(t) sin kω0t dt

= 0

T −T / 2

В последней формуле bk

=0 поскольку s(t) –

это четная функция, а

синус – нечест-

ная функция, следовательно, интеграл равен нулю.

Итак, мы получили выражения для коэффициентов a0 , ak , bk . Для представления спектра получим выражения для коэффициентов Ak и ϕk :

=

2Uτ

sin(ωk τ/ 2)

A

= a

2

+ b

2

=

a

k

k

k

k

T

ωk τ/ 2

ϕk

= arctg

bk

= arctg 0 =

0 ,

при ak

> 0

при ak

< 0

ak

π,

Подставляя теперь формулы, полученные для коэффициентов a0 , ak и bk в фор-

мулу (1.1), и задаваясь определенным количеством гармоник k = 1, … M , мы получим искомый синтезированный сигнал sсинт(t) . Точность приближения sсинт(t) к s(t) будет зависеть от значения M : чем больше M , тем точнее приближение. При этом восстановленный сигнал будет искажен волнообразными флуктуациями – следствие ограниченного количества гармоник при суммировании (эффект Гиббса).

Результаты моделирования прямоугольного сигнала для скважности q = 2 при различном количестве M составных гармоник, участвующих в синтезе сигнала, представлены на рис.1.5. Из сравнения двух графиков видно, что действительно с увеличением M точность приближения синтезированного сигнала к заданному виду возрастает. Волнообразные флуктуации кривой графика отражают эффект Гиббса, обусловленный конечным числом составных гармоник.

а) M = 11

б) M = 31

Рис.1.5. График восстановленного (синтезированного) прямоугольного сигнала (для скважности q = 2) при различном количестве M составных гармоник: (а) – M = 11, (б) M = 31.

Комплексная форма ряда Фурье

Введение комплексного представления величин существенно облегчает математические выкладки и весь математический аппарат в целом для описания физических процессов. Следует только помнить, что физический смысл имеет не само комплексное число, а реальные вещественные числа, которые входят в состав комплексного числа, т.е. его вещественная и мнимая части.

Ряд Фурье представляет собой сумму гармонических функций. Каждая составная k-я гармоника описывается тригонометрической функцией

s(t) = Ak cos ( ωk t − ϕk ).

Рассмотрим теперь формулу Эйлера:

e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ

После несложных преобразований формулу Эйлера можно привести к следующему виду