200106_СДФ1_ПрИС

ϕK(ω)

π

π/2

0

f0

f

–π/2

–π

Рис. Пример ФЧХ узкополосного четырехполюсника (f0 – резонансная частота узкополосной АЧХ)

Примечание. Соответственно двум характеристикам – амплитудной и частотной – следует различать искажения сигнала, вызванные нелинейностью амплитудной характеристики (так называемые нелинейные искажения) и искажения вызванные нежелательной избирательностью АЧХ или ФЧХ. Эти искажения называют линейно-частотными, или просто частотными искажениями (амплитудно-частотные и фазо-частотные искажения).

АЧХ и ФЧХ показывают, как зависит прохождение сигнала через электрическую цепь для каждой из его составных гармоник (частот). В соответствии с этим различают: частотно-избирательные системы (ФНЧ, ФВЧ, полосовые фильтры и т.п.) и широкополосные (неизбирательные) электрические системы (широкополосные усилители и т.п.).

Наконец, последний класс электрических систем – параметрические системы. Параметрические системы – это электрические цепи (двухполюсники и четырёхполюсники, параметры которых, например, сопротивление R (для двухполюсников) или коэффициент передачи K (для четырехполюсников), изменяются не только от характеристик входного напряжения (амплитуды и его частоты), но и от внешних воздействий по определённому закону (например, терморезистор, микрофон и т. п.). Такие электрические системы называют также нестационарными (параметры которых зависят от времени); соответственно стационарные системы – это системы с постоянными, не зависящими от времени параметрами. В дальнейшем при изучении прохождения сигналов через электрические цепи, мы будем рассматривать более подробно линейные стационарные электрические системы (прежде всего, частотно-

избирательные системы).

РАЗДЕЛ 5. Преобразование измерительных сигналов в электрических цепях

ЛЕКЦИЯ 9

Математическое описание электрических систем

В общем виде любую электрическую систему можно представить как некоторое устройство, имеющее вход и выход

uвх

T

uвых

Пусть преобразование, осуществляемое системой, описывается некоторым системным оператором T, тогда можно записать:

uвых (t ) = T uвх (t )

Если T зависит от времени, то система называется нестационарной (параметрической), если не зависит, то стационарной. Для линейных систем справедливы равенства:

T (uвх1 + uвх2 ) = T uвх1 + T uвх2

T (a × uвх ) = a × T (uвх )

При анализе прохождения сигналов через электрические системы можно воспользоваться или временным (динамическим) представлением сигналов или частотным (спектральным) представлением сигналов. При частотном представлении сигналов используют АЧХ и ФЧХ (зависимость комплексного коэффициента передачи от частоты). При временном представлении необходимо ввести аналогичные характеристики. Такой характеристикой является импульсная характеристика.

Импульсной характеристикой системы называется функция h(t), являющаяся откликом системы на входной сигнал δ(t), то есть:

h(t ) = T d(t )

Если на вход системы подать функцию Хевисайда σ(t), то в этом случае отклик системы называется переходной характеристикой системы:

g(t ) = T σ(t )

Обе характеристики равнозначны и между ними имеется тесная связь. Если система стационарная, то эти уравнения сохраняются и при смещении сигнала во

времени:

h(t − t0 ) = T δ(t − t0 ) g(t - t0 ) = T s(t - t0 )

Интеграл Дюамеля

Динамическое представление сигнала выражается формулой (см. предыду-

щую лекцию):

∞

uвх (t ) = ∫ uвх (t)× d(t - t)dt

−∞

Запишем отклик системы T на воздействие сигнала uвх(t):

∞

uвых (t ) = T uвх (t ) = T ∫ uвх (t) × d(t - t)dt =

−∞

Поскольку оператор T действует лишь на величины, зависящие от текущего времени t, но не от переменной интегрирования τ, запишем далее (продолжение формулы выше):

∞		∞
= ∫ uвх (t) × T d(t - t)dt = ∫ uвх (t)h(t - t)dt
−∞		−∞
Таким образом, можно записать
	uвых (t ) =	∞
		∫ uвх (t) h(t - t) dt
		−∞

Полученная формула называется интегралом Дюамеля. Это соотношение свидетельствует о том, что выходной сигнал линейной стационарной системы представляет собой свёртку двух функций: входного сигнала и импульсной характери-

ti ):

стики. Если переобозначить переменные: t − τ → τ′, и τ → t − τ′ (и затем опуская штрих перед t), то интеграл Дюамеля можно записать также в виде:

uвых (t )= ∞∫uвх (t - t)× h(t)dt

−∞

Интеграл Дюамеля позволяет, зная импульсную характеристику системы, определить отклик системы (выходной сигнал) на воздействие любого входного сигнала, то есть полностью определить преобразование сигнала при прохождении его через электрическую систему без необходимости исследования внутреннего устройства этой системы.

ЛЕКЦИЯ 10

Физический смысл интеграла Дюамеля

Чтобы понять физический смысл интеграла Дюамеля, необходимо сначала вспомнить, что интегрирование функции представляет собой процедуру суммирования функции, т.е. перебор ее фиксированных дискретных значений. Количество отсчетов при этом определяется пределами интегрирования (и величиной дискрета между отсчетами ti+1 –

∫ f (t)dt ® ∑ f (ti ) i

Отсюда, например, ясно следует, что интеграл с бесконечными пределами может существовать (т.е. иметь некоторое конечное числовое значение), только в случае, если функция f(t) по краям убывает. Действительно, накопление должно когда-то прекратиться, иначе сумма будет неограниченно увеличиваться.

Итак, интеграл Дюамеля – это суммирование отсчетов функции входного сигнала uвх.(t) на всем его протяжении t от – ¥ до +¥, т.е. учитываются все прошлые и все будущие значения сигнала, при этом суммирование взвешенное. В качестве весов служит функция h(t– t).

Будем считать для простоты, что отсчеты времени целочисленные: ¼–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 ¼. Пусть текущее фиксированное время t = 5. Начнем процесс суммирования отсчетов сигнала uвх(t). Веса при суммировании будут следующими:

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
для ti = 3	вес равен h(–2)	это прошлые значения (t < t)
ti = 4	вес равен h(1)

τi = 5	вес равен h(0)	это настоящее значение (τ = t)
τi = 6	вес равен h(–1)	это будущие значения (τ > t)
τi = 7	вес равен h(–2)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

и т.д.

Как видно, при суммировании прошлых (относительно t) значений сигнала uвх(τ) используются значения импульсной характеристики для ее правой ветви (т.е для положительных значений аргумента t > 0). При суммировании будущих значений uвх(τ) используются значения импульсной характеристики для ее левой ветви (т.е для отрицательных значений аргумента t < 0).

Итак, в результате такого взвешенного суммирования мы получаем одно значение – выходной сигнал в точке t. Теперь сдвинем точку времени t вперед, t = 6, и заново проведем всю процедуру суммирования. В результате получим второе значение uвых.(t) и т. д. Каждый раз, проводя такое суммирование (интегрирование), мы в результате определим функцию uвых.(t) на всем протяжении оси времени t.

Теперь становится ясен физический смысл интеграла Дюамеля. Интеграл Дюамеля показывает, что суть преобразования сигнала эквивалентна следующему: линейная стационарная система, выполняя обработку поступающего на вход сигнала, проводит операцию взвешенного суммирования всех его мгновенных значений. Роль весовой функции при этом выполняет импульсная характеристика системы.

Отсюда следует важный вывод: поскольку uвых.(t) в момент времени t не может зависеть значения входного сигнала, который еще не поступил в систему, все значения входного сигнала uвх.(τ), в момент времени τ > t не должны участвовать в суммировании (т.е. формирование значений uвых.(t)). Это можно обеспечить, только если выполняется условие равенства нулю импульсной характеристики при t < 0. Только системы, у которых импульсная характеристика удовлетворяет этому условию, могут физически существовать (быть реализованными):

h(t) = 0 при t<0 – это ограничение на вид допустимых импульсных характеристик (условие физической реализуемости системы). Примерный вид допустимой и недопустимой импульсной характеристик приведен на рисунке ниже.

Исходя из полученного условия физической реализуемости систем, интеграл Дюамеля можно переписать следующим образом (верхний предел интегрирования должен быть ограничен значением t):

t

uвых (t ) = ∫ uвх (τ) h(t − τ) dτ

−∞

Теперь можно сказать точнее смысл интеграла Дюамеля: при формировании отклика uвых.(t) в операциях взвешенного суммирования участвуют все значения входного сигнала, существовавших в прошлом до текущего момента времени. Количество этих значений в прошлом («память» системы) зависит от длины импульсной характеристики системы h(t).

h(t)

недопустимая импульсная характеристика

0

t

h(t)

допустимая импульсная характеристика

0

t

Рис. Вид допустимой и недопустимой импульсной характеристик

Частотный коэффициент передачи

Представим схему процесса преобразования сигнала в электрической системе:

uвх

T

uвых

где uвх – произвольные входные сигналы. Среди множества таких сигналов могут существовать такие, которые, будучи преобразованы системой, сохраняют свою форму, т.е. выполняется равенство:

uвых (t) = T uвх (t) = l × uвх (t) ,

где λ уже не оператор, а некоторое число (в общем случае комплексное). В этом случае такие сигналы uвх.(t) называются собственными функциями оператора системы Т, а множитель λ – собственным значением Т. Такими сигналами для любой стационарной системы являются гармонические сигналы. Покажем это.

Гармонический сигнал в комплексном виде записывается как комплексная экспонента (это следует из формулы Эйлера):

uвх (t) = e jωt .

Подставим uвх.(t) в формулу интеграла Дюамеля:

∞	∞
uвых (t) = ∫e jω(t−τ) h(τ) dτ = e jωt	∫h(τ) e jωτdτ = K ( jω) e jωt
−∞	−∞

Итак, на выходе системы мы получили опять гармонический сигнал с комплексным коэффициентом K(jω), равным

∞

K ( jω) = ∫h(t) e − jωt dt

−∞

Функцию K(jω) называют частотным коэффициентом передачи системы.

Мы получили, что K(jω) и h(t) связанны между собой преобразованием Фурье, поэтому можно записать обратное преобразование Фурье:

		1	∞
	h(t) =		∫ K ( jω) e jωt dω
		2π
			−∞

Отсюда можно сделать следующий важный вывод: любую стационарную систему можно рассматривать либо во временной области (с помощью ее импульсной или переходной характеристик), либо в частотной области с помощью частотного коэффициента передачи. Оба подхода равноценны и выбор одного из них диктуется удобством анализа конкретной электрической системы.

Итак, для гармонических сигналов их преобразование в линейных электрических системах можно записать как:

uвых (t) = K ( jw) ×uвх (t) .

Коэффициент K(jω) показывает, как изменяется амплитуда и фаза гармонического сигнала в зависимости от частоты при его прохождении через линейную стационарную систему. Соответственно,

| K(jω) |	–	называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ),
jК(ω)	–	фазочастотной характеристикой (ФЧХ) системы.

Существуют специальные измерительные приборы «Измеритель АЧХ», которые позволяют экспериментально измерять АЧХ и ФЧХ различных радиотехнических устройств (с отображением графика кривой на экране дисплея измерителя).

ЛЕКЦИЯ 11

Спектральная формула при анализе цепей

Пусть на входе некоторой линейной стационарной системы действует линейный сигнал uвх(t). Запишем обратное преобразование Фурье для этого сигнала:

				1		∞
			uвх (t )=			∫U вх (w)× e jωt dw
				2p
					−∞
	Эта формула предполагает суммирование (интегрирование) входных элемен-
	тарных гармоник e jωt с амплитудами					1	U вх (w) . Для каждого такого гармониче-
		1				2p
	ского сигнала		U вх (w) ×e jωt можно записать выходной отклик системы (см. опре-
		2p

деление частотного коэффициента передачи), который будет равен произведению

K ( jw) × 1p U вх (w) e jωt

2

Следовательно, для суммы гармонических сигналов выходной отклик будет равен (заменяя суммирование на интегрирование)

		1	∞
	uвых (t )=		∫ K ( jw) U вх (w)× e jωt dw
		2p
			−∞

С другой стороны, обратное преобразование Фурье для uвых(t) равно:

		1	∞
	uвых (t ) =		∫U вых (w)× e jwt dw
		2p
			-¥

Сопоставляя эти две формулы, получим:

U вых (w) = K ( jw) U вх (w)

Полученное выражение называется спектральной формулой при анализе це-

пей. Эта формула представляет собой основную формулу спектрального метода в теории анализа электрических цепей (систем): частотный коэффициент передачи системы служит простым множителем пропорциональности между спектрами сигналов на входе и выходе.

Таким образом, анализ систем в частотной области в определённом отношении проще анализа систем во временном представлении, поскольку в частотной области преобразование сигналов выражается простой алгебраической операцией умножения, тогда как во временной области необходимо интегрирование (свёртка двух функций: сигнала и импульсной характеристики).

Примечание. Спектральную формулу можно вывести по другому, используя непосредственно свойства преобразований Фурье, а именно: эквивалентность свёртки во временной области и умножение в частотной. Действительно, интеграл Дюамеля – это свёртка двух функций: uвх(t) и h(t), т.е. можно записать:

uвых(t ) = uвх(t )* h(t )

Из свойств преобразования Фурье следует, что спектральная плотность сигнала uвых(t) есть простое произведение спектральных плотностей сигнала uвх(t) и функции h(t). Если представим теперь соотношения временных функций и их спектральных плотностей как

uвх (t ) « U вх (w)

h(t ) « K ( jw) ,

то в результате мы получим искомую спектральную формулу при анализе систем:

U вых (w) = U вх (w)× K ( jw)

Коэффициент передачи многозвенной системы

Мы получили, что знание частотного коэффициента передачи К(jω) позволяет определить гармонический сигнал на выходе системы:

uвых (t ) = K ( jw) × uвх (t )

Для произвольного сигнала справедлива спектральная формула

U вых (w) = K ( jw) ×U вх (w)

Если объединить отдельно электрические системы в следующие друг за другом звенья (каскады), то знание K(jω) для каждой системы, входящей в цепь, попрежнему позволяет определить сигнал на выходе всей многозвенной системы. При этом результирующий частотный коэффициент передачи всей системы будет равен:

N

K ( jω) = ∏ K n ( jω) n=1

Данная формула справедлива, когда каскады следуют друг за другом через специальные согласующие устройства – развязки между цепями, основное назначение которых состоит в согласовании входных и выходных сопротивлений отдельных каскадов (идеальная развязка должна обладать неограниченно большим Rвх и неограниченно малым Rвых). Примером такой развязки может служить транзисторный каскад с общим эмиттером, у которого коэффициент усиления равен 1 (так называемый «эмиттерный повторитель», или «повторитель напряжения»).

Вход

K1

K2

KN

Выход

развязка между цепями

ЛЕКЦИЯ 12

Использование спектральной формулы при анализе электрических систем

Как правило, нахождение частотных коэффициентов передачи K(jω) линейных стационарных систем проще, чем нахождение их импульсных характеристик, поэтому при анализе систем удобнее применять коэффициент передачи K(jω) вместо h(t). Более того, саму импульсную характеристику удобнее вычислять по её преобразованию Фурье, то есть по K(jω). Рассмотрим вычисление импульсной характери-