200106_СДФ1_ПрИС

cos ϕ =	e jϕ + e − jϕ	=	1	e jϕ −	1	e − jϕ
2		2		2

Из этой формулы видно, что вещественную функцию косинус можно представить комплексной экспонентой, а точнее как сумму комплексной экспоненты вместе с ее комплексно-сопряженной величиной. Используя полученное соотношение, элементарную гармонику можно записать как

s(t ) =	1	Ak e	j(ωkt − ϕk )	−	1	Ak e	− j(ωkt − ϕk )	=
	2				2

= Ck e j ωk t − Ck*e − j ωk t ,

где

Ck = 1 Ak e − j ϕk

2

Обобщая это выражение на сумму всех гармоник ряда Фурье, и вводя отсчёт частот (номеров гармоник) в отрицательную полуось (k = 1, 2, 3... и k = –1, –2,– 3...), получим в результате комплексную форму ряда Фурье:

			∞			j ωk t
	s(t ) = ∑ Ck e
			−∞
			1		T / 2		− j ωk t dt
	Ck	=			∫ s(t ) e
			T
					−T / 2

Примечания:

1)при выводе комплексного ряда Фурье мы использовали формулу Эйлера, которая представляет вещественную величину суммой комплексных экспонент, поэтому комплексный ряд по-прежнему остаётся вещественным числом, точнее функцией s(t), хотя в составе ряда – комплексные числа;

2)значения коэффициентов ряда Фурье Ck уменьшены в два раза (по сравне-

нию со значениями коэффициентов вещественного ряда Фурье Ak), поскольку количество гармоник (из-за введения продолжения нумерации гармоник в отрицательную полуось) увеличено в два раза.

ЛЕКЦИЯ 4

Спектр непериодических сигналов. Преобразование Фурье

Ряд Фурье представляет собой разложение функции s(t) на интервале [0, T], поскольку подразумевается, что функция s(t) – периодическая с периодом T. Однако многие реальные электрические сигналы нельзя назвать периодическими. Вопервых, это одиночные импульсы. Во-вторых, это сигналы с заранее неизвестными и переменными характеристиками, например, это сигналы от некоторого исследуемого объекта (сигналы с датчиков от промышленных установок, природные явления, звуковые колебания на выходе микрофона и т.д.). Для описания таких сигналов необходимо другое математическое представление.

Возьмём некоторый периодический сигнал sпер(t) с периодом T. Если мы будем увеличивать T до бесконечности, то в пределе будем иметь непериодический сигнал. Проделаем это. Запишем комплексный ряд Фурье для sпер(t):

		sпер (t )=			∞	jkω0t
					∑Ck e
					k =−∞
		=	1	T / 2	sпер (t )e − jkω0t dt
	Ck			∫
			T
				−T / 2

Умножим и разделим правую часть первого уравнения на T/2π. Во втором уравнении обе части уравнения умножим на T. Затем устремим T к бесконечности. При этом можно записать, что в пределе:

2π = ω0 dω 0

T

Этот предельный переход позволяет заменить суммирование интегрированием. Далее обозначим T.Ck как S(ω). В результате в пределе получим:

s(t )= 1 ∞∫S (ω)e jωt dω
2π	−∞

S(ω)= ∞∫s(t )e − jωt dt

−∞

Эта пара уравнений называется преобразованием Фурье. Первое уравнение на-

зывается обратным преобразованием Фурье, а второе уравнение – прямым преобра- зованием Фурье. Функцию S(ω) называют спектральной плотностью сигнала s(t),

или просто спектром. По определению, спектральная плотность – комплексная функция. В модуле спектральной плотности |S(ω)| содержится информация об амплитуде элементарных гармоник, а в аргументе arg S(ω) – информация о фазе.

Примечание. По определению, спектральная плотность, так же как и коэффициенты ряда Фурье, пропорциональна амплитудам элементарных гармоник. Однако по своему определению S(ω) пропорциональна также и T . Поскольку T мы устремили к бесконечности, интеграл S(ω) имеет конечное значение только для ограниченных во времени, т.е. непериодических сигналов s(t). Для периодических сигналов интеграл расходится. Для представления также и периодических сигналов с помощью формул преобразования Фурье, вводится понятие обобщенной спектральной плотности [см. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы].

Итак, главный вывод, который мы можем сделать, следующий. Сигнал s(t) и его спектральная плотность S(ω) взаимно-однозначно связаны между собой прямым и обратным преобразованием Фурье. Один и тот же сигнал можно представить двумя совершенно равноправными способами: как функцию во временной области s(t) или как функцию в частотной области S(ω). Спектральное представление часто бывает более удобным способом описания сигнала, чем временное представление. Это относится, прежде всего, к задаче анализа прохождения сигналов через различные электрические цепи, устройства и системы (фильтры, усилители, модуляторы и демодуляторы и т.д.).

Свойства преобразования Фурье

Рассмотрим основные свойства преобразования Фурье.

1. Линейность.

Пусть мы имеем соотношения сигналов s1(t), s2(t) и их спектральных плотно-

стей

s1 (t ) « S1 (w) s2 (t ) « S 2 (w)

Тогда справедливо

s1 (t ) + s2 (t ) « S1 (w) + S 2 (w)

a × s1 (t ) « a × S1 (w)

2. Смещение сигнала во времени (задержка).

Пусть s(t ) « S(w). Сместим сигнал s(t ) по времени вправо на t0: s(t - t0 ), тогда справедливо:

s(t - t0 ) « S (w) × e − jωt0

При смещении сигнала s(t) во времени его амплитудный спектр остаётся прежним, а фазовый спектр изменяется на множитель – линейную функцию от ω. Этот множитель зависит от сдвига t0. Другими словами, если некоторое преобразование сигнала заключается в умножении его спектра на комплексный множитель вида e− jϕ , где j = cw , c = const, то это означает задержку сигнала во времени.

3. Изменение масштаба измерения времени.

Изменение масштаба измерения времени, по другому, означает сжатие и растяжение сигнала во времени. Из формул преобразования Фурье вытекает справедливость следующих соотношений

s(t ) ↔ S(ω)

	s(kt) «	1	w
			S ,
		k
			k

где k > 1 – соответствует сжатию сигнала во времени, а 0 < k < 1 – растяжению сигнала во времени. Таким образом, если сжать сигнал во времени, то его спектр растягиваются по оси частот при соответствующем пропорциональном уменьшении его амплитуды.

4. Симметричность спектральной плотности – чётность модуля и нечётность аргумента S(ω).

В формуле обратного преобразования Фурье

s(t ) = 1 ∞∫ S(w)× e jωt dw

2p −∞

спектральная плотность S(ω) – комплексная функция, а сигнал s(t) – вещественная функция. Представим комплексную величину S(ω) в декартовой форме, т.е. как сумму ее вещественной и мнимой частей:

S(ω) = A(ω) + jB(ω)

Для того, чтобы обратное преобразование Фурье от комплексной функции S(ω) давало вещественный результат s(t), вещественная и мнимая части функции S(ω) должны удовлетворять следующим условиям:

A(ω) = A(− ω)	–	свойство чётности функции
B(ω) = B(− ω)	–	свойство нечётности функции

Отсюда следует, что и модуль спектральной плотности S (ω) является чётной

функцией, т.е. амплитудный спектр сигнала симметричен относительно оси ординат; а аргумент спектральной плотности arg S(ω) является нечётной функцией, т.е.

фазовый спектр симметричен относительно точки начала координат.

5. Спектр после дифференцирования сигнала.

Пусть дан сигнал s(t). Можно показать, что дифференцирование сигнала s′(t ) означает справедливость следующих соотношений

s(t ) ↔ S(ω) s′(t ) ↔ jωS (ω)

Из этих соотношений следует два вывода:

1)После дифференцирования спектр исходного сигнала умножается на линейную функцию от ω. Это означает, что с увеличением ω значения спектра линейно увеличиваются.

2)Дифференцирование сигнала во времени эквивалентно простому умножению спектра на мнимый множитель jω, который называют оператором дифферен-

цирования в частотной области

d ↔ jω dt

Другими словами, если мы умножим спектр сигнала на jω, то это означает, что мы продифференцировали сигнал.

6. Спектр после интегрирования сигнала.

Пусть дан сигнал s(t). Можно показать, что интегрирование сигнала означает справедливость следующих соотношений

s(t ) ↔ S(ω)

∫ s(t ) ↔ S (ω) jω

Множитель jω1 является оператором интегрирования частотной области.

После приближённого интегрирования сигнала (например, сигнал на выходе интегрирующей RC-цепочки) его спектр изменится следующим образом: высокие частоты будут ослаблены сильнее, чем низкие. Из этого следует, что интегрирование представляет собой также фильтрацию, а само физическое устройство, осуществ-

ляющее функцию интегрирования – интегратор – можно назвать фильтром нижних частот (ФНЧ). Во временной области интегрирование означает сглаживание сигнала и одновременно растягивание его времени, поэтому интегратор называют также сглаживающей цепочкой (фильтром скользящего среднего). Соответственно, дифференцирующую RC-цепочку можно назвать фильтром высоких частот (ФВЧ).

рисунки

7. Спектральная плотность произведения сигналов.

Пусть мы имеем два сигнала u(t) и v(t) и соотношения этих сигналов и их спектральных плотностей

u(t )« U (w) v(t )« V (w)

Тогда произведению двух сигналов s(t )= u(t )× v(t ) соответствует спектральная плотность, равная

∞

S(w)= 1 ∫V (x)×U (w - x)dx

2p −∞

Вматематике такой интеграл называют свёрткой двух функций – U(w) и V(w),

исимволически записывают как V (w)*U (w). Таким образом, можно записать

u(t )× v(t )« 1 U (w)*V (w)

2p

Пример произведения сигналов – это модуляция сигналов (амплитудная балансная модуляция). Формула сигнала с балансной модуляцией:

s(t )= u(t )× cos w0t

Второй сигнал в этой формуле является гармоническим колебанием. В этом случае свёртка будет представлять собой сдвиг спектра первого сигнала по частотной оси на w0 вправо и влево (сдвиг вместе с зеркальной копией). Это подробнее будет рассмотрено в разделе, посвященном модуляции сигналов.

ЛЕКЦИЯ 5

Спектральная плотность одиночных импульсов

Спектральная плотность S(ω) одиночного импульса вычисляется так же, как и коэффициенты ряда Фурье Ak для периодической последовательности, поскольку пределы интегрирования оказываются теми же. Отличие будет заключаться только в замене дискретной частоты ωk на непрерывную ω.

1. Спектральная плотность одиночного прямоугольного импульса

Пусть прямоугольный импульс s(t) имеет амплитуду U, длительность τ и располагается симметрично относительно начала отсчета времени. На основании формулы обратного преобразования Фурье после интегрирования получим

S(ω)=	2U	sin w × t =Uτ	sin x	, где	x = w × t
	ω
		2	x		2

рисунок

При x=0: S(ω)=U .τ. Таким образом, спектральная плотность одиночного прямоугольного импульса вещественная (не комплексная ) функция, следовательно фаза равна 0 или ±π.

2. Спектральная плотность экспоненциального импульса.

S(ω)=				U
				α + jω
S (ω)		=		U
				α2 + ω2

ϕ(ω)= − arctg w

α

3) Гауссовый видеоимпульс:

		× e-	w 2
S(w) = U	p
			4b
	b

Выводы:

1)Спектральная плотность вещественная функция (т. к. j отсутствует);

2)Форма спектра повторяет форму сигнала.

Ещё раз рассмотрим спектр прямоугольного импульса. Видно, что если мы будем уменьшать τ, то спектр будет расширяться. В пределе при τ 0 получим спектр, постоянно и равномерно распределенный на всей бесконечной оси частот

S(w) » const

Сигналы с таким спектром называют белым шумом. Таким образом, белый шум во временном представлении – это последовательность одиночных, очень коротких импульсов, хаотично следующих друг за другом. Обычно такой вид имеют помехи. Значит, помехи имеют широкий спектр. Если наш сигнал узкополосный, то, преобразуя его так, чтобы подавить или ослабить верхние и нижние частоты (пропустить через фильтр) мы избавимся от помех. Это одна из главных целей преобразования сигналов. Одиночный импульс со спектром белого шума (очень короткий импульс) получил в теории сигналов специальное название и математический вид: дельта-функция δ(t).

Преобразование Лапласа

Мы познакомились с тем, что гармоническое колебание

s(t) = A cos(w × t - j)

можно представить в комплексной форме:

y = A × e j(w×t -j),

где y – уже комплексная величина (зеркальную копию в отрицательной полуоси частот мы для простоты не рассматриваем). Физический смысл имеет её модуль и аргумент ( y = A и arg y = w × t - j). Если принять для простоты φ = 0, то гармониче-

ский сигнал в комплексной форме запишется как

y = A × e jw×t

Таким образом, гармонические колебания можно представить простой комплексной экспонентой.

До сих пор мы считали, что A = const. Пусть A изменяется во времени – нарас-

тает или спадает; пусть это изменение происходит по экспоненциальному закону:

A = A0 × es×t ,

где A0 = const . Если σ > 0, то это означает увеличение амплитуды; если σ <0, то это

– уменьшение амплитуды. В этом случае гармоническое колебание запишется: y = A × e jw×t = A0 × es×t × e jw×t = A0 × e(s+ jw)×t = A0 × e p×t

Таким образом, гармоническое колебание и в этом случае можно представить комплексной экспонентой. Только в показателе степени экспоненты будет стоять не чисто мнимая величина jωt, где ω – частота, а полное комплексное число pt, где p по-прежнему имеет смысл частоты, поэтому эта величина получила название ком-

плексной частоты.

Введение понятия комплексной частоты позволяет исследовать (математически описывать) не просто сигналы (гармонические колебания), но и переходные процессы, возникающие при генерации и прохождении сигналов в электрических цепях, то есть процессы нарастания и убывания электрических сигналов.

Для сигналов с комплексной частотой можно также записать пару соотношений преобразований Фурье, которые примут следующий вид.

Пусть сигнал задан функцией f(t), которая определена при t ≥ 0 и равна нулю при t < 0. Тогда можно записать

	¥
	F ( p) = ∫ f (t)e − pt dt
	0		c+ j∞
		1
	f (t) =		∫ F ( p)e pt dp
		2pj
			c− j∞

Эти соотношения получили название преобразование Лапласа. При этом сиг-

нал f(t) называется оригиналом, а функция F(p) – изображением.

Отличие изображения F(p) от спектральной плотности S(ω) состоит в том, что если S(ω) – комплексная функция от вещественного аргумента ω, то F(p) – комплексная функция от комплексного аргумента p. Поэтому если S(ω) представляется

линейным двумерным графиком (функцией зависящей от одного аргумента), а точнее двумя графиками – амплитудным спектром и фазовым спектром, то F(p) представляется поверхностью, т.е. функцией, зависящей от двух переменных – ω и s. Если при этом зафиксировать одно значение коэффициента s = s0, то мы получим линейный двумерный график (сечение поверхности вертикальной плоскостью).

При переходе к дискретным сигналам (цифровым сигналам), преобразования Фурье и Лапласа принимают вид z-преобразования, которое является одним из основных соотношений в теории цифровой обработки сигналов.

РАЗДЕЛ 3. Модуляция сигналов

ЛЕКЦИЯ 6

Модулированные сигналы

Сигналы, поступающие от исследуемых объектов (сигналы от датчиков, электрические сигналы от микрофона, передающей ЭЛТ и т.п.), как правило, не могут быть переданы на большие расстояния, поскольку с расстоянием они быстро убывают. Более высокочастотные колебания ослабляются значительно меньше. Если бы удалось перенести информацию, заключенную в обычных низкочастотных электрических сигналах, в высокочастотные сигналы, то мы смогли бы передавать информацию на большие расстояния. Такой процесс в частотном представлении означает перенос спектра исходного (полезного) сигнала в высокочастотную область. Этот процесс называют модуляцией сигналов. Рассмотрим процесс модуляции подробнее.

Пусть мы имеем некоторый полезный сигнал u(t) и высокочастотный гармонический сигнал s(t) = A×cos(ωt – j). Если преобразовать гармонический сигнал s(t) так, что какой-либо из его параметров будет изменяться по закону u(t), то мы тем самым поместим информацию, заключенную в полезном сигнале, на сигнал s(t), т.е. получим модулированный сигнал. Сигнал u(t) называют модулирующим сигналом, а

гармонический сигнал s(t) – несущим колебанием или несущей частотой, или просто несущей.

В соответствии с числом параметров гармонического сигнала, которые потенциально могут нести информацию о полезном сигнале, мы можем получить три вида модуляции – амплитудную (АМ), частотную (ЧМ) и фазовую (ФМ) модуляцию:

sАМ(t) ~ A(t) cos(ωt– j) sЧМ(t) ~ A cos[ω(t)·t– j] sФМ(t) ~ A cos[ωt– j(t)].

Рассмотрим подробнее амплитудную модуляцию сигналов. Формулу для АМ сигнала можно записать как