200106_СДФ1_ПрИС

i = a0 + a1 cosω1t + a2 cosω2t + a2 (cos2 ω1t + 2 cosω1t cosω2t + cos2 ω2t)

После простых тригонометрических преобразований получим выходной сигнал:

i = a	0	+ a	cosω t + a		cosω	t +	1	cos 2ω t +	1	cos 2ω	t + a	2	cos(ω	+ ω )t +
		1	1	1	2	2		1	2	2			1	1

+ a2 cos(ω1 + ω1)t

Итак, выходной сигнал отличается от входного сигнала тем, что к прежним исходным гармоникам ω1 и ω2 добавляются новые гармоники с частотами, являющимися линейными комбинациями частот ω1 и ω2.

Добавление кубического члена к ВАХ

i = a0 + a1u + a2u 2 + a3u3

приведет к увеличению количества линейных комбинаций частот ω1 и ω2 и соответственно к увеличению числа дополнительных спектральных составляющих:

степень полинома	дополнительные частоты в спектре
	выходного сигнала
1	ω1 и ω2
2	ω1, ω2, 2ω1, 2ω2, ω1 + ω2, ω1 - ω2
3	ω1, ω2, 3ω1, 3ω2, 2ω1 ± ω2, 2ω2 ± ω1
и т.д.	и т.д.

Рассмотрим теперь, как можно использовать свойства нелинейных цепей для конкретных практических цепей. Затем рассмотрим нежелательные искажения сигнала, которые могут возникать при их прохождении через нелинейные системы.

Получение модулированного сигнала

Рассмотрим конкретный случай амплитудной модуляции. Формула АМ сиг-

нала:

sАМ (t) = [1 + M × u(t)] cos w0t (*)

где u(t) – модулирующий (полезный) сигнал, а cos w0t – несущее гармоническое колебание. Получить такой сигнал можно несколькими способами (все они используют свойства нелинейности характеристик элементов). Рассмотрим их по порядку.

1. Амплитудная модуляция – это изменение во времени амплитуды несущего колебания.

sАМ (t) » A(t) cos w0t

Из формулы видно, что получить АМ-сигнал можно, используя элементы, параметры которых меняются во времени в зависимости от внешнего воздействия, т.е. параметрические электрические цепи.

Измеряющимся параметром может быть либо резистор, либо емкость, либо индуктивность параметрического элемента.

Рисунок1

u R = i(t) × R(t) = R(t) cos w0t

Рисунок2

uC = Z (t) cosω0t

Рисунок3

На последнем рисунке приведена упрощенная схема модулятора с использованием диода в качестве параметрического элемента. Эта схема может применяться для модуляции в случае больших значений частоты несущей (≈ 1ГГц). На таких высоких частотах паразитная емкость p–n- перехода полупроводниковых элементов начинает зависеть от приложенного к нему напряженияСп = f (u) . Если u – это моду-

лирующий сигнал, то, в конечном счете, получим

Сп » u(t)

2.Из формулы (*) следует, что получить АМ-сигнал можно также перемноже-

нием двух сигналов: гармонического колебания cosω0t и функции времени [1+M× u(t)]. Таким образом, модулятор можно реализовать с помощью устройства перемножения сигналов.

3.Третий способ состоит в использовании свойства нелинейных электрических цепей порождать линейные комбинационные частоты. Рассмотрим этот способ

подробнее.

Пусть ω1 = ω0 – это ВЧ несущая, а ω2 = Ω – это НЧ сигнал.

Пусть далее ВАХ имеет вид:

y = 0.5(x + 1)2 − 0.5 = 0.5x2 + x .

Отсюда получим коэффициенты полинома:

a0 = 0 a1 = 1

a2 = 0.5 = 1 a1 2

В соответствии со спектром выходного сигнала для суммы двух гармонических сигналов ω1 и ω2 получим (см. формулу (*)):

Из спектра видно, что если пропустить такой сигнал через полосовой фильтр (ПФ) с резонансной частотой ω0, то на выходе ПФ, мы получим АМ сигнал.

Более оптимальную ВАХ для целей получения линейных комбинационных частот, по сравнению с диодом, имеет транзистор. Ниже приведена схема модулятора на транзисторе (это упрощенная схема; в реальных схемах необходимо дополнительные резисторы для установки смещения рабочей точки на ВАХ транзистора – так называемый «режим отсечки»).

Демодуляция

Демодуляция, или детектирование (обнаружение) – процедура, обратная мо-

дуляции. Соответственно видам модуляции различают виды детектирования (демодуляции): амплитудное детектирование, частотное детектирование и фазовое детектирование. Рассмотрим подробнее демодуляцию АМ сигналов:

Для АМ сигналов процедура детектирования заключается в выделении огибающей модулированного сигнала:

sАМ (t ) = [1 + M × u(t )]× cos w0t

sдет(t ) = 1 + M × u(t )

Исходя из приведённых на графиках последовательностей преобразования АМ сигнала при его детектировании, сразу вытекает вид устройства детектора – это последовательность нелинейного элемента (например, диода) и фильтра нижних частот (например, обычной интегрирующей, или сглаживающей RC-цепочки)

На схеме R1 должно быть много больше, чем сопротивление диода. Постоянная времени RC-цепочки τ = R2C должна выбираться из следующих условий:

1) τ < Ω1 – основные частоты огибающей должны пропускаться фильтром.

Под Ω здесь имеется ввиду верхняя граничная частота модулирующего сигнала u(t).

2) τ >> 1 . Частота несущей должна подавляться. ω0

Обычно резистор R2 опускают (его роль в формировании τ будет играть сопротивление диода). В результате схема детектора примет вид:

На схеме видно, что ёмкость C будет шунтировать все ВЧ флуктуации сигнала с выхода диода.

Детектор на диоде вполне пригоден для детектирования АМ сигналов большого уровня (единицы Вольт). Для детектирования слабых сигналов более оптимален детектор на транзисторах:

Схема коллекторного детектора на транзисторе n–p–n .

ЛЕКЦИЯ 15

Детектирование сигналов при частотной модуляции (ЧМ)

В ЧМ сигнале информация полезного сигнала заключается в частоте модулированного сигнала:

uЧМ (t ) = U × cos [w(t ) × t]

Другими словами ЧМ сигнал – это сигнал с переменной частотой:

рисунок

Принцип детектирования ЧМ сигналов заключается в предварительном промежуточном преобразовании частотно-модулированного сигнала в амплитудно-частотно- модулированный сигнал. Для этого ЧМ сигнал сначала подаётся на вход четырёхполюсника с крутым и приблизительно линейным спадом АЧХ, то есть, например, обычный полосовой фильтр:

рисунок

В результате на выходе мы будем иметь сигнал с изменяющейся амплитудой, то есть АМ сигнал (частотная модуляция при этом сохраняется). Такой АМ сигнал уже можно продетектировать обычным АМ-детектором.

Для целей ЧМ-детектирования можно выбирать как левую, так и правую ветвь спада АЧХ.

Детектирование сигналов при фазовой модуляции (ФМ)

В сигнале с фазовой модуляцией (ФМ) информация о полезном сигнале заключена в фазе ФМ сигнала:

uФМ (t )= U1 × sin[w0t + j(t )]

Принцип детектирования ФМ-сигнала заключается во взаимодействии ФМ сигнала с дополнительным немодулированным сигналом с внешнего генератора опорного колебания с частотой несущей ω0:

uоп (t )= U 2 × cos w0t

Пропуская сумму этих двух сигналов

u = uФМ (t) + uоп (t )

через нелинейный элемент с квадратичной ВАХ вида i(u )= a	0	+ a u + a	2	u 2	на вы-
		1

ходе нелинейного элемента появится составляющая, пропорциональная произведению этих двух сигналов (см. раздел « Преобразование сигналов в нелинейных электрических цепях »). Итак, на выходе нелинейного элемента получим составляющую:

iпр (t )= 2a 2U1U 2 × sin[w0t + j(t )]× cos w0t

После тригонометрических преобразований получим сумму двух гармонических сигналов: один сигнал будет низкочастотный, а другой высокочастотный:

iпр (t )= a2U1U 2 × sin j(t )+ a2U1U 2 × sin[2w0t + j(t )]

На выходе ФНЧ будет выделена только низкочастотная составляющая:

iНЧ (t )= a2U1U 2 × sin j(t )

В случае небольшой глубины модуляции можно записать:

sin j(t )» j(t )

В результате получим сигнал, повторяющий форму модулирующего сигнала:

iНЧ (t )» a2U1U 2 × j(t )

Упрощенная схема ФМ детектора будет выглядеть следующим образом

рисунок

Преобразование частоты

Преобразование частоты – это смещение спектра сигнала по частотной оси (как в область низких, так и высоких частот). Модуляция и демодуляция – частные случаи такого преобразования.

При демодуляции, например, происходит сдвиг спектра влево на значение частоты несущей ω0., т.е. сдвиг спектра к исходному положению, которое было до модуляции. Иногда возникает задача сдвига спектра не полностью, а частично. Это, например, необходимо в радиоприемных устройствах, работающих на большой частоте несущей, когда ω0 превышает Ω в 1000 и более раз.

На рисунке представлены:

УВЧ – усилитель высокой частоты ПЧ – преобразователь частоты ДМ – демодулятор УНЧ – усилитель низкой частоты

Общий принцип, обеспечивающий преобразование частоты, состоит в том, что подлежащий преобразованию сигнал u(t), умножается на гармоническое колебание с частотой ω0. Это следует из свойств преобразования Фурье: умножение во временной области означает свертку в частотной области. Если один из сигналов – гармоническое колебание cos ω0t, то свертка приводит к сдвигу спектра U(ω) по частотной оси вправо и влево на ω0.

Как мы видели на схеме модулятора, сдвиг спектра, а следовательно и перемножение сигналов, можно реализовать с помощью нелинейного элемента с последующей фильтрацией нужных комбинационных частот с помощью ПФ.

Аналогично осуществляется и преобразование сигналов к промежуточной частоте. В этом случае генератор гармонического колебания, с помощью которого осуществляется сдвиг по частоте, называют гетеродином.

Схема преобразователя частоты будет выглядеть следующим образом:

Далее преобразованный сигнал с промежуточной частотой ωпр можно подать непосредственно на детектор или на еще один каскад преобразователя частоты (в этом случае мы получим вторую промежуточную частоту). Такое ступенчатое преобразование применяется при использовании очень высоких частот несущих, когда

прямое детектирование принятого сигнала проводить сложно (это связанно со слишком большими потерями и нелинейными искажениями сигнала).

ЛЕКЦИЯ 16

Дискретизация и восстановление сигнала. Теорема Котельникова и частота Найквиста

Теоретической основой возможности дискретизации аналогового сигнала и последующего его полного восстановления по дискретным отсчётам без потери информации служит теорема Котельникова, которая формулируется следующим образом: произвольный сигнал, спектр которого не содержит частот выше некоторого значения fв (Гц), может быть полностью восстановлен, если известны дискретные значения (отсчёты) этого сигнала, взятые через равные промежутки времени

= 1 . 2 fв

Рассмотрим простой гармонический сигнал. Согласно теореме Котельникова гармонический сигнал может быть адекватно представлен дискретными отсчётами, если его частота f0 не превышает половины частоты дискретизации:

f0

≤

fД

, где

fД =

1

2

Рассмотрим три возможных случая:

1) f0 <

fД

или fД > 2 f0 .

2

1

T

Примем для определенности fД

= 4 f0 ; учитывая T =

, получим

=

. Та-

f0

4

ким образом, дискретные отсчеты расположатся через четверть периода

t

	2) f0	=	fД	; отсюда	fД	= 2 f0	, в результате получим =	T
			2					2

t

	3) f0	>	fД	→ fД < 2 f0 . Примем для определенности fД =	4	f0	, отсюда полу-
			2		3

чим = 3 T

4

t

Таким образом, можно сделать следующие выводы:

1) fД > 2 f0 – дискретные отсчёты позволяют правильно восстановить анало-

говый сигнал;

2) fД = 2 f0 – дискретные отсчёты позволяют восстановить аналоговый гармо-

нический сигнал с той же частотой, но амплитуда и фаза восстановленного гармонического сигнала могут быть искажены. В худшем случае, если дискретные отсчёты легли на нулевые значения синусоиды, амплитуда будет равна нулю.

3) fД < 2 f0 – восстановленный аналоговый сигнал будет иметь другую,

меньшую частоту. Таким образом, мы получили гармонику с несуществующей, ложной частотой. Это приводит к эффекту наложения (aliasing) – присутствующие в спектре сигнала гармоники с частотами, больше fД 2 будут влиять («накладывать-

ся») на гармоники с меньшими частотами.

Подытоживая сказанное, отметим, что дискретизация будет корректна в том случае, если в спектре сигнала верхняя граничная частота не превышает fД 2 . Эту

частоту называют частотой Найквиста

fN = fД = 1 . 2 2

Математическое описание цифровых последовательностей и их преобразований. Спектр дискретного сигнала

Дискретные (цифровые) сигналы являются последовательностью чисел {xk}. Для получения спектра дискретной последовательности и сравнения его со спектром непрерывного исходного сигнала, необходимо сопоставить этой последовательности некоторую непрерывную функцию времени. В результате такого сопоставления мы сможем воспользоваться обычными математическими методами, такими, например, как интегрирование.

Логичным решением такого сопоставления является представление последовательности отсчётов в виде суммы дельта-функций с соответствующими множителями и временными задержками. Для последовательности отсчётов {xk} в результате сопоставления получим следующий сигнал:

∞
sД (t )= ∑ xk δ(t − k	).	(***)
k =−∞

Эта непрерывная функция имеет ненулевые значения только в моменты времени tk = k , где (k=0, ±1, ±2, …). Такой сигнал можно представить как результат

стробирования (умножения) непрерывного аналогового сигнала x(t) непрерывной дискретизирующей последовательностью дельта-импульсов:

x(t) sД(t)

δ(t – k )

Представим последовательность дельта-импульсов как функцию η(t).

η(t)

δ(t–k )

t

Тогда дискретный сигнал можно представить как произведение x(t )× h(t ). Из свойств преобразования Фурье следует, что произведению двух сигналов соответствует свёртка их спектральных плотностей:

	SД (w) = D ×	1	∞∫ Sη (w) Sx (w - x)d x,	(***)
		2p
			−∞

где ξ – переменная интегрирования, имеющая смысл частоты.

Проведём теперь следующие математические рассуждения (более строгие математические выкладки см. в Баскакове С.И.). Рассмотрим периодическую последовательность коротких прямоугольных импульсов с очень большой скважностью (с очень малой длительностью при фиксированном периоде):

U

τ

T

Cпектр такого сигнала (амплитудная диаграмма коэффициентов ряда Фурье |Cn|) будет равен:

|Cn| 2π

t

	0	2π	4π	wn
		t	t

2π

T