- •Учебная программа дисциплины
- •2. Данные о дисциплине:
- •5.График выполнения и сдачи заданий по дисциплине
- •Содержание дисциплины
- •4.1 Тематический план лекций
- •Тематический план семинарских занятий
- •7. График выполнения и сдачи срсп
- •8. График выполнения и сдачи срс
- •9. Перечень литературы
- •Информация об оценке.
- •1.2. Определители квадратных матриц. Обратная матрица.
- •1.3 Ранг матрицы. Линейная независимость строк (столбцов) матрицы.
- •1.4 Задачи с экономическим содержанием
- •2.2 Система m линейных уравнений с n переменными
- •2.3 Метод Жордана—Гаусса.
- •2.4. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений
- •2.5. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •3.1. Векторы на плоскости и в пространстве
- •3.3. Линейные операторы
- •3.4. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы)
- •3.5 Линейная модель обмена (модель международной торговли)
- •4.2. Кривые второго порядка
- •6. Пределы и непрерывность
- •7.1. Определение производной.
- •7.2. Правила дифференцирования.
- •4. Производные высших порядков.
- •7.3. Геометрические и механические приложения производной.
- •7.4. Предельный анализ экономических процессов
- •8. Основные теоремы дифференциального исследования.
- •1. Теорема Ролля.
- •9 Дифференциал функции.
- •13. Материалы для организации срс
- •Зачет№1 по Линейной алгебре.
- •Зачет№3 Задание 1
- •Задание 2
- •Дан вектор в базисе b, найти его координаты в базисее
- •Задание 5
- •Задание 6
4.2. Кривые второго порядка
1. Общее уравнение кривых второго порядка:
Ах2+Вху+Су2+Еу+F=0
2. нормальное уравнение окружности радиуса Rс центром в точках С (х0,у0) и О (0,0) соответсвенно имеют вид:
(х-х0)2+(у-у0)2=R2
X2+y2 =R2
3. Каноническое уравнение эллипса:
х2/a2+y2/b2=1
а,b-оси эллипса: b2=a2-c2, F1(c;0) иF2(c;0)-фокусы эллипса.
Эксцентриситет эллипса ε=с/а
Расстояние точки М(х,у) эллипса до его фокусов:
r1=a-εx, r2=a+ εx.
4. Каноническое уравнение гиперболы
х2/a2-y2/b2=1
Расстояние точки М(х,у) гиперболы до фокусов:
r1=│a-εx│, r2=│a+ εx│
Уравнение обеих асимптот гиперболы у=±b/a x
5. Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат:
У2=2рх
Расстояние от фокуса параболы F(p/2;0) до оси Ох(фокальный радиус):
R=x+p/2.
Уравнение диссектрисы параболы:
х=-р/2
6. Квадратный трехчлен у= Ах2 +Вх+С есть парабола с осью симметрии, параллельной оси Оу, и вершиной в точке (-В/2А,-D/4A), где D=В2 – 4АС—дискриминант.
Прямая и плоскость в пространстве.
Уравнение плоскости:
-- перпендикулярной данному вектору n=(А,В,С) и проходящей через данную точку М0(х0,у0,z0)
А (х-х0)+В (у-у0)+С (z –z0)
-- в отрезках х/а+у/b+z/c=1
-- общее Ах+Вх+Сz+D=0.
2. Даны две плоскости А1х + В1у + С1z + D1 = 0 (1) и А2х+ В2у + С2z + D2 = 0 (2).
Угол φ, образованный двумя плоскостями, находится из соотношения:
А1А2+В1В2+С1С2
соs φ = ± ―――――――――――.
√А12+В12+С12 √А22+В22+С22
Условие параллельности двух плоскостей:
А1 В1 С1
― = ― = ―
А2 В2 С2
Условие перпендикулярности плоскостей: А1А2+В1В2+С1С2 = 0.
4. Уравнение прямой в пространстве:
-- как линии пересечения двух плоскостей:
А1х1+В1у+С1z+D1 = 0,
А2х2+В2у+С2z+D2 = 0;
-- проходящей через данную точку М (х1,у1,z1) с направляющим вектором s = (m,n,p):
х – х1 у – у1 z – z1
―― = ―― = ――
m n p
5. Даны две прямые с направляющими векторами s1 = (m1,n1,p1) и s2 = (m2,n2,p2).
Угол φ между двумя прямыми находится из соотношения:
m1m2+n1n2+p1p2
соs φ = ± ―――――――――――
√m12+n12+p12 √m22+n22+p22
Условие параллельности двух прямых в пространстве:
m1 n1 p1
― = ― = ―
m2 n2 p2
Условие перпендикулярности двух прямых в пространстве:
m1m2 + n1n2 + p1p2 = 0.
6. Дана прямая х – х1 у – у1 z – z1
―― = ―― = ―― и плоскость Ах + Ву +Сz + D = 0.
m n p
Угол φ между прямой и плоскостью определяется из соотношения:
│Аm + Bn + Cp│
sin φ = ――――――――――
√А2+В2+С2 √m2+n2+p2
Условие параллельности прямой и плоскости:
Аm + Вn + Cp = 0.
Условие перпендикулярности прямой и плоскости:
А В С
― = ― = ― .
m n р
Семинар№5. Предел функции. Непрерывность функции.
ПЗ № 5. Введение в анализ. Пределы и непрерывность.
Разбор домашнего задания №3
Найти пределы: 1) ; 2)
3) ; 4); 5)
6) ; 7)
Функция
1. Если каждому элементу (значению) х множества X поставить в соответствие определенный элемент (значение) у множества Y, то говорят, что на множестве X задана функция у = f(х); при этом множество X называется областью определения функции у, а множество Y— областью значений функции y.
2. Функцияy =f(х) называется четной, если для любых значений х из области определения функции f(-х) =f(х), и нечетной, если/(-х) = = -f(x). В противном случаеf(х) — функция общего вида.
3. Функция у =f(х) называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке X, если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции f(х). Возрастающие или убывающие функции называются монотонными.
4. Функция f(х) называется ограниченной на промежутке X, если существует такое число М > О, что |f(х)| < М, для всех х Є X. В противном случае функция называется неограниченной.
5. Если функция у = f(u) есть функция переменной и (определенной на множестве U с областью значений Y), а переменная и, в свою очередь, также является функцией и = φ(х) (определенной на множестве X с областью значений U), то заданная на множестве X функция у =f[φ(х)] называется сложной функцией.
6. Основные элементарные функции:
а) степенная функция у = хn;
б) показательная функция у = ах, а > 0, а ≠ 1
(Х = (-∞;+∞); Y = (0;+∞));
в) логарифмическая функция у = log ax, а > 0, а ≠ 1
(Х = (0;+∞); Y = (-∞;+∞));
г) тригонометрические функции у=sin х, у = cos х, y= tg х, у = ctg x д) обратные тригонометрические функции у = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.
7. Функции, построенные из основных элементарных функций при помощи конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.
S. Функция у = f(x) называется периодической с периодом Т ≠ 0,
eсли f(x+Т) =f(x) для любых х е X.
9. Преобразования графиков:
a) y=f(x+a)- сдвигает график у =f(x) параллельно оси Ох на a единиц, (а > 0 — влево, а < 0 — вправо);
б) у f(x) + b - сдвигает график у = fix) параллельно оси Оу на b единиц (b>0 — вверх, b < 0 — вниз);
в)у = cf(x) (с ≠ 0) - растягивает в с раз (с > 1) или сжимает (0 < с < 1) графику =f(x) относительно оси Оу; при с < 0 симметрично отображает график относительно оси Ох;
г) у =f(kx) (k≠0) — растягивает в k раз (k > 1) или сжимает (0 <k < 1) график у =f(x) относительно оси Ох; при k < 0 симметрично отображает график относительно оси Оу. 10. Абсолютная величина (модуль) действительного числа х:
x,если х≥0 |x|= х,если х<0.