- •Учебная программа дисциплины
- •2. Данные о дисциплине:
- •5.График выполнения и сдачи заданий по дисциплине
- •Содержание дисциплины
- •4.1 Тематический план лекций
- •Тематический план семинарских занятий
- •7. График выполнения и сдачи срсп
- •8. График выполнения и сдачи срс
- •9. Перечень литературы
- •Информация об оценке.
- •1.2. Определители квадратных матриц. Обратная матрица.
- •1.3 Ранг матрицы. Линейная независимость строк (столбцов) матрицы.
- •1.4 Задачи с экономическим содержанием
- •2.2 Система m линейных уравнений с n переменными
- •2.3 Метод Жордана—Гаусса.
- •2.4. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений
- •2.5. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •3.1. Векторы на плоскости и в пространстве
- •3.3. Линейные операторы
- •3.4. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы)
- •3.5 Линейная модель обмена (модель международной торговли)
- •4.2. Кривые второго порядка
- •6. Пределы и непрерывность
- •7.1. Определение производной.
- •7.2. Правила дифференцирования.
- •4. Производные высших порядков.
- •7.3. Геометрические и механические приложения производной.
- •7.4. Предельный анализ экономических процессов
- •8. Основные теоремы дифференциального исследования.
- •1. Теорема Ролля.
- •9 Дифференциал функции.
- •13. Материалы для организации срс
- •Зачет№1 по Линейной алгебре.
- •Зачет№3 Задание 1
- •Задание 2
- •Дан вектор в базисе b, найти его координаты в базисее
- •Задание 5
- •Задание 6
1.4 Задачи с экономическим содержанием
Понятие матрицы используется в практической деятельности. Например, данные о выпуске продукции нескольких видов в каждом квартале года или нормы затрат нескольких видов ресурсов на производство продукции нескольких типов удобно записать в виде матриц.
Семинар№2. Решение систем линейных алгебраических уравнений.
Метод Крамера. Метод обратной матрицы. Метод Гаусса.
ПЗ№2. Методом Гаусса найти матрицу, обратную матрице
5) Вычислить матрицу А-1, обратную матрице
6) Найти общее или единственное решение однородых систем:
7) Вычислить определители заданных матриц:
Теоретический материал.
Системы линейных уравнений.
Общий вид системы m линейных уравнений с n переменными:
а11х1+а12х2+…+а1jxj+…+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+…+a2jxj+…+a2nxn=b2
………………………………………..
ai1x1+ai2x2+…+aijxj+…+ainxn=bi
……………………………………......
am1x1+am2x2+…+amjxj+…+amnxn=bm
2. В матричной форме система имеет вид:
АХ=В,
где
a11 a12 … a1n x1 b1
A= a21 a22 … a2n , X= x2 , B= b2
… … … … … …
am1 am2 … amn xn bm
Здесь А – матрица системы; Х- матрица-столбец переменных;В-матрица-столбец свободных членов.
3. Если определитель матрицы системы n линейных уравнений с n переменными ∆= A=0 (т.е. матрица А-невырожденная), то единственное решение системы определяется:
А) методом обратной матрицы по формуле:
Х=А-1В
В) по формулам Крамера: х1=∆j/∆,
где ∆ј-определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой ј-ого столбца столбцом свободных членов В.
4. Методом Гаусса можно решить любую систему уравнений.Для этого составляют расширенную матрицу коэффициентов (А|В), приписывая к матрице А столбец свободных членов В, затем матрицу (А|В) с помощью элементарных преобразований приводят к ступенчатому виду; далее по полученной матрице выписывают новую систему и решают её методом исключения переменных:начиная с последних переменных находят все остальные (так называемый «обратный ход»).
2.2 Система m линейных уравнений с n переменными
1. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы А равен рангу расширенной матрицы (А|В) (теорема Кронекера-Капелли).
2. Пусть r(A)=r,r<n; r переменных х1,х2,…,хr называются основными (базисными) ,если определитель матрицы из коэффициентов при них (т.е. базисный минор) отличен от нуля. Остельные n-r переменных называются неосновными (или свободными).
Решение системы, в котором все n-r неосновных переменных равны нулю, называется базисным.
Совместная система имеет:единственное решение, если n-r, и бесконечное множество решений, если r<n; число базмсных решений конечно и не превосходит Сrn.
2.3 Метод Жордана—Гаусса.
Метод Жордана—Гаусса решения систем линейных уравнений состоит в преобразовании расширенной матрицы системы (А\В) к ви-
ду, при котором r переменных системы (где г = rang (A\B)) образуют диагональную матрицу с точностью до перестановки строк или столбцов, что позволяет сразу, без дополнительных преобразований, получить решение системы.
На каждом шаге решения выбирается разрешающий элемент ars = 0 (любой элемент матрицы А, отличный от нуля); r-я строка называется разрешающей строкой, xs —разрешающей переменной. Для перехода к следующему шагу разрешающая переменная xs исключается из всех остальных уравнений; элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент, а элементы других строк заменяются на новые по следующему правилу {правилу прямоугольника):
aij *ars-ais*arj
a′ ij= ars
В формулах исключения в числителе стоит произведение заменяемого и разрешающего элементов минус произведение элементов, стоящих в оставшихся углах прямоугольника:
Заменяемый элемент aij ais <—Разрешающая переменная
Разрешающая строка arj ars
Разрешающий элемент
После получения новой матрицы выбирается новый, отличный от нуля, разрешающий элемент в другой строке, вычисляется новая матрица и т.д., пока матрица А не будет приведена к диагональному виду.