- •Учебная программа дисциплины
- •2. Данные о дисциплине:
- •5.График выполнения и сдачи заданий по дисциплине
- •Содержание дисциплины
- •4.1 Тематический план лекций
- •Тематический план семинарских занятий
- •7. График выполнения и сдачи срсп
- •8. График выполнения и сдачи срс
- •9. Перечень литературы
- •Информация об оценке.
- •1.2. Определители квадратных матриц. Обратная матрица.
- •1.3 Ранг матрицы. Линейная независимость строк (столбцов) матрицы.
- •1.4 Задачи с экономическим содержанием
- •2.2 Система m линейных уравнений с n переменными
- •2.3 Метод Жордана—Гаусса.
- •2.4. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений
- •2.5. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •3.1. Векторы на плоскости и в пространстве
- •3.3. Линейные операторы
- •3.4. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы)
- •3.5 Линейная модель обмена (модель международной торговли)
- •4.2. Кривые второго порядка
- •6. Пределы и непрерывность
- •7.1. Определение производной.
- •7.2. Правила дифференцирования.
- •4. Производные высших порядков.
- •7.3. Геометрические и механические приложения производной.
- •7.4. Предельный анализ экономических процессов
- •8. Основные теоремы дифференциального исследования.
- •1. Теорема Ролля.
- •9 Дифференциал функции.
- •13. Материалы для организации срс
- •Зачет№1 по Линейной алгебре.
- •Зачет№3 Задание 1
- •Задание 2
- •Дан вектор в базисе b, найти его координаты в базисее
- •Задание 5
- •Задание 6
2.4. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений
1. Система называется однородной, если все свободные члены уравнений равны нулю:
a 11x1+a12x2+…+a1nxn=0
a21x1+a22x2+…+a2nxn=0
…………………………
am1x1+am2x2+…+amnxn=0
Решение системы записываем в виде строки (вектора)
e=(x1,x2,…,x n).
1 2. Если ранг матрицы системы г (А) = г < n, то система имеет n- r линейно независимых решений e1,e2,…,en-r, причем любое решение системы является линейной комбинацией решений e1,e2,…,en-r. Набор решений (векторов) e1,e2,…,en-r называется фундаментальной системой решений системы. Общее решение системы имеет вид:
c1e1+c2e2+…+cn-r en-r
где c1,c2,…,c n-r - произвольные числа.
3. Для нахождения фундаментальной системы решений системы:
а) r основных (базисных) переменных (с отличным от нуля базисным минором) выражают через неосновные (свободные) переменные;
б) поочередно заменяют (n - r) неосновных переменных элементами каждой строки невырожденной квадратной матрицы порядка n-r, например, единичной Еn-r.
2.5. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
1. Уравнения xi=∑ xij+yi, (i = 1, 2, ...,n) называются соотно-
j=1
шениями баланса, где х1- - объемы валового продукта i-й отрасли для непроизводственного потребления, хij — объем продукции i-й отрасли, потребляемой j-й отраслью в процессе производства (i = 1,2,..., n).
2. Соотношения баланса могут быть записаны:
а) в виде
xi=∑ aijxj+yi (i = 1,2,..., n),
j=1
где aij=xij/xj (i,j = 1,2,..., n).
— коэффициенты прямых затрат, показывающие затраты продукции i-й отрасли на производство единицы продукции j-й отрасли;
б) в матричном виде: X=AX+Y
или (E-A)X=Y,
где
x1 a11 a12 … a1n y1
x2 a21 a22 … a2n , y2
X= … , A= … … … … Y= … .
xn an1 an2 … ann yn
X — вектор валового выпуска, Y — вектор конечного продукта, А — матрица прямых затрат.
3. Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.
Вектор X находится по формуле:
X=(E-A)-1*Y=SY.
4. Матрица S = (Е — А)-1 называется матрицей полных затрат, элемент которой sij показывает величину валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимой для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли yj= 1 (j= 1, 2, ..., n).
5. Матрица А > 0 называется продуктивной, если для любого вектора Y> 0 существует решение Х> 0 уравнения .
Матрица А продуктивна, если aij > 0 для любых i,j= 1,2, ...,n и
max ∑aij< 1 и существует номер j такой, что ∑aij< 1
Чистой продукцией отрасли называется разность между валовой продукцией этой отрасли и затратами продукции всех отраслей на производство этой отрасли.
Семинар №3. Сложение, скалярное умножение векторов. Ранг
системы векторов. Разложение вектора по базису.
ПЗ №3. Элементы векторной алгебры и матричного анализа. Элементы аналитической геометрии.
Разбор домашнего задания №2
1) Даны векторы и. Найти косинус угла между векторамии.
2) При каком значении векторыиортогональны (угол между ними равен)? Векторы и.
3) Вычислить угол между векторами и, если,.