2.1 Хвилі типу е в прямокутному хвилеводі

Розв'язок хвильового рівняння для складової

Запишемо рівняння (13) в декартовій системі координат

(42)

Будемо розв'язувати це диференціальне рівняння другого порядку в частинних похідних методом розділення змінних, тобто представимо вирішення у вигляді:

(43)

В (34) X залежить від змінної х, a Y - від у. Підставимо (43) в (42) і отримаємо

Розділимо ліву та праву частини на

(44)

В рівнянні (44) ліва частина уявляє собою суму двох незалежних по координатам х та у частин, тому можливо і праву частину представити у вигляді суми двох незалежних частин

(45)

тоді рівняння (45) розпадеться на два незалежних рівняння

; . (46)

Представимо (46) в іншому вигляді

; . (47)

Рівняння типу (36') добре вивчені. їх вирішення - це суперпозиція

гармонійних функцій

(48)

Підставимо (48) в (43) і отримаємо вирішення рівняння (42)

(49)

Знаходження невідомих К_х, К_у та K

В виразі (49) є шість невідомих: А, В, С, D, К_х, К_у. Для їх визначення

треба скористатися граничними умовами:

при х=0, х=а а)

(50)

при y=0, y=в б).

Підставимо (50а) в (49) і отримаємо два рівняння

а)

(51)

б).

Рівняння (51а) буде задовільнене при будь-яких значеннях змінної у тільки тоді, коли А=0. Підставимо А=0 в (51б) і отримаємо

Це рівняння буде при тій же умові (тобто для будь-яких у) задовільнене лише тоді, коли

BsinK_xa = 0. (52)

Підставляючи (50б) в (49) аналогічно отримаємо а)

б). (53)

Розглянемо сукупність рівнянь (52) та (53б). Вони при А=0 та С=0 можуть бути задовільнені лише тоді, коли

а)

(54)

б).

Якщо ж припустити, що для задовільнення (52) та (53а) величини B=D=0, то при А=С=0 отримаємо з співвідношення (49), що і E_z=0, а це не задовольняє головній умові існування хвилі типу .

Із (54) витікає, що

а)

(55)

б).

В (55) m та п - це натуральний ряд чисел, починаючи з 1, бо при А=С=0, значення m=0, або n=0 знову приводять до E_z = 0, тобто зникає хвиля типу Е. Підставимо А=0, С=0 та (55) в (49) і позначимо добуток BD = E_0z.

. (56)

Таким чином, отримали вирішення хвильового рівняння (43) у вигляді

(56). Для знаходження поперечної сталої поширення підставимо (55)в (45) і отримаємо

(57)

Знаходження поперечних складових та

Для знаходження структури поперечних складових електричного поля та використаємо (11) та (12) при H_z = 0.

(58)

(59)

Відмітимо, що (8') можливо і не користуватися, бо вже маємо співвідношення (32) для хвиль типу Е

Підставимо у вигляді (56) в (58)

З урахуванням ,розпишемо останній вираз покоординатно

(60)

Використавши (32), із (60а), (60б) зразу ж отримаємо (урахувавши, що

(61)

Висновки по (56) та (60): 1. Структура ,, , , в площині поперечнього перерізу відповідає структурі стоячих хвиль. При цьому m - число півхвиль, які вкладаються по широкій стінці, п - число стоячих півхвиль, які вкладаються по вузькій стінці. В відповідності до такої трактовки хвилі типу Е позначаються (або , або ), де кожній парі індексів m та n відповідає своя структура е.м.х. в хвилеводі.

2. В напрямі вісі z всі складові для хвилі типу Е мають характер рухомої хвилі - залежність .

3. Залежність від часу -

4.та зсунуті по фазі відносно на , що в одиницях довжини відповідає , де - довжина хвилі в хвилеводі, яка визначається по (19).

5. Індекс , бо інакше Еz = 0 і зникає хвиля типу Е.

Структура поля для хвиль типу Е

Для прикладу розглянемо структуру е.м.п. для е.м.х. типу Е_п (це найнижча хвиля типу Е); спочатку окремо по її складовим.

1. Структура E_z - співвідношення (56), рис. 2.2.

Хай умовно вектор E_z в перерізі z = z₀ має напрям, який протилежний напряму вісі z - рис.2.2а.

Якщо розглянути переріз z = z₀+,то E_z міняє напрям на

протилежний, бо = -1 (дивись мал.2.2в).

Рисунок 2.2 - Структура складової E_z хвилі Е_п

2. Структура Е_х - (60а) та Н_у - (60г), рис. 2.3а. та рис. 2.3б., відповідно, де позначкою (•) умовно зображено, що складова Е_х переходить в складову

Рисунок 23 - Структура складових Е_х та Н хвилі Е_и

3. Структура Еg - (60б) та Н_х - (60в), рис. 2.4а та 2.4б, відповідно.

Для побудування повної структури врахуємо, що:

1. Силові лінії вектора Е не перериваються, тобто силова лінія вектору E_z повинна замикатися силовими лініями ;

2. Силові лінії вектора H_s повинні бути замкненими, тобто Н_х повинно замикатися Н_у;

3. В будь-якій точці поперечнього перерізу для отримання сумарного вектору треба скласти два вектора (векторно);

4. Максимуми (або мінімуми) поперечних та поздовжніх складових вектору зсунуті по вісіz на .

Рисунок 2.4 - Структура складових Е та Н_х хвилі Е_п

Розглянемо відрізок хвилеводу з умовною довжиною та введемо характерні перерізи 1, 2, 3 - рис. 2.5.

Рисунок 2.5 - Характерні перерізи

Приймемо, що в розглядуваний момент часу t = t₀ в перерізі z₀ = 0 спостерігається максимум E_zJ тобто Е₂ = E_zmax .

Тоді з урахуванням зроблених зауважень (про побудування силових ліній для сумарних векторів) отримаємо повну структуру поля хвилі типу Е_п - рис.2.6.

Рисунок 2.6 - Структура поля хвилі Е₁₁ в перерізах

Далі розглянемо хвилі типу Н в прямокутному хвилеводі.

Хвилі типу Н в прямокутному хвилеводі

Для хвиль типу Н ввели умову:

Поздовжня складова магнітного поля Н₂ задовільняє рівнянню (13)

Розпишемо оператор тоді рівняння буде

(62)

Приймемо, що і проведемо розділення змінних. Отримаємо вирішення

(63)

Для визначення невідомих А, В, С, D, К_х, К_у використаємо граничну умову (41) для Н_z: =0.

З його використанням отримаємо: B = 0; D = 0

(64)

(65)

Невідомі , бо щезне хвиля Н приB=D=0 і звідси

(65)

З виразу (65) знайдемо

(66)

З виразу (66) виходить, що у хвиль типу Н при однакових з хвилями типу

Е значеннях індексів m та n значення параметрів співпадають

з аналогічними величинами для хвиль типу Е. Це явище зветься виродженням, а хвилі Н та Е при однакових m та n звуться виродженими хвилями. Позначаючи AC=H_oz і підставляючи знайдені невідомі в співвідношення (63), для H_z отримаємо

Для визначення поперечних складових використаємо (11) та (12)

(68)

Висновки по (67), (68).

1, 2, 3, 4 - тіж самі, що і для хвиль типу Е.

5. Індекси m та n можуть приймати значення m=0 або n=0, тобто хвиля типу Н може існувати і без півхвильових варіацій по вісям х або у для відповідних складових е.м.п. Таким чином, якщо a>b, то найнижчим типом хвилі серед хвиль типу Н є хвиля типу Н1о. Для неї . У найнижчої хвилі типу Е - хвилі Е11 . Як видно , томухвиля Н10 є найнижчою не тільки серед хвиль типу Н, а й серед хвиль типу Е, тобто серед всіх ймовірних типів хвиль прямокутного хвилевода.

Діаграма хвиль прямокутного хвилеводу

Розглянемо наступну хвилю типу Н – Н₂₀. її критична довжина хвилі

. Якщо взяти такий хвилевод, де b а/2 , то для такого хвилеводу,

а навіть при b =

Як бачимо , тобто наступною хвилею за основною буде не Е11,Н11, а хвиля Н_20. На основі цього аналізу можливо побуду­вати

діаграму хвиль прямокутного хвилеводу (),

Рисунок 2.7 - Діаграма хвиль ПХ

З діаграми видно, що діапазон хвиль з довжиною а < < 2а відповідає розповсюдженню основної хвилі Н₁₀.

Хвиля Н₁₀ в ПХ

Розглянемо окремо хвилю Н₁₀ - основну хвилю прямокутного хвилеводу. Підставимо m=1 і n=0 в (67), (68).

(69)

Знайдемо параметри для хвилі Н₁₀

(70)

; ;(71)

; для вакууму (72)

Структура поля хвилі Н₁₀ для ПХ

Розглянемо структуру поля хвилі типу Н₁₀ с початку окремо по складовим.

Рисунок 2.9 - Розподіл складових Н_х - а), Е_у - б) для хвилі Н₁₀ ПХ

Для побудування повної структури зробимо деякі зауваження:

1. Силові лінії магнітного поля повинні бути замкнені, тому складова Н_х зами­кається складовою H_z.

2. Максимуми (або мінімуми) та зсунуті відносно один-одного на

.

3. Розглянемо відрізок хвилеводу з умовною довжиною та введемо

характерні перерізи (рис. 2.10).

Рисунок 2.10 - Характерні перерізи

Поперечний переріз № 3 умовно візьмемо при тому значенні координати z, де буде максимум у складових E_s та H_s (в цьому перерізі H_z=0).

Рисунок 2.11 - Структури та розподіли складових е. м. п. хвилі типу Н₁₀ ПХ в перерізах 1- а), 2- б) (в перерізі 2 H_z=0)

Рисунок 2.12- Структура Е_у та Н_х хвилі Н₁₀ ПХ в перерізі 3 (тут H_z=0)

Поляризаційні властивості хвиль типу Н

Необхідно відмітити одну обставину щодо поляризаційних властивостей магнітної компоненти е. м. п. хвиль типу Н, яку можливо продемонструвати на прикладі хвилі Н₁₀.

Розглянемо деякий переріз А-А, що розташований між умовною коорди-натаю z=0 та z= , тобто між тими перерізами, де є максимум та мак­симум . Як виходить з (68):

а) різниця фаз між цими складовими .

б) В той же час ці два вектори ( та ) взаємно перпендикулярні.

Як відомо, при виконанні цих двох умов (, ) магнітне поле в електромагнітній хвилі буде мати обертову поляризацію, в загальному випад-

ку - еліптичну. Для того, щоб еліптична поляризація

стала круговою, треба щоб виконувалася умова . Хай це

буде виконуватися в повздовжньому перерізі В-В. Знайдемо ту координату С₁,

при якій магнітне поле буде мати колову поляризацію. Ці координати знайдемо,

прирівнявши амплітуди .

Поділимо ліву та праву частину на ; ;

;

Підставимо та в праву частину і отримаємо

, звідси маємо

.

Приклад: хвилевод . Для нього діапазон хвилі Н₁₀

. Візьмемо середину діапазону

.

Тоді .

Якщо взяти симметричну відносно площини координату С₂, то

отримаємо , але, оскільки при вектор має протилежний на­прям (до попереднього, тобто при С₁=0,25а), то напрямок обертання зміниться на протилежний. Це явище використовується в пристроях НВЧ з феритами для розробки пристроїв невзаємного типу.

Для завершення загальних питань розглянемо хвилеводи колового пе­рерізу, а потім більш ретельно дослідимо ті характеристики хвилеводів, які ма­ють технічні застосування.