2.2 Круглий хвилевід

В Круглому хвилеводі, як і в прямокутному, можливе поширення окремо хвиль типу Н та типу Е, але хвилі ТЕМ неможливі. Для аналізу скори­стаємося циліндричною системою координат r, , z. Сумістимо вісь z циліндричної системи координат з повздовжньою віссю хвилеводу, тоді r, -поперечні координати.

Рисунок 2.13 - Круглий хвилевід

В циліндричній системі координат рівняння типу (13) має вигляд: . (73)

Тут може бути або для хвиль типу Е, або для хвиль типу Н,

причому як і для ПХ.

Це рівняння розв'язується методом розділення змінних. Особливістю ви­користання цього методу для рівняння (73) є те, що по застосовується

Рисунок 2.14 - Графіки функцій J_m(x) - а) та N_m - б)

вирішення у вигляді лінійної комбінації гармонійних функцій, а по r - функцій Беселя J_m та Неймана N_m, графіки яких зображені на рис. 2.14.

Хвилі типу Е в круглому хвилеводі

Умова існування хвиль типу Е: , .

Представимо вирішення у вигляді добутку двох функцій

.

Підставим цей вираз у (73) і після ділення на дістанемо два незалежних рівняння

а)

б) (74)

Рівняння (74) ідентичне рівнянню (46) і тому його вирішення

, (75)

де ; ; m - ряд цілих чисел.

Рівняння (74 б) - це рівняння Бесселя. Його вирішення

. (76)

Зауважимо, що функція Неймана при . Для того, щоб використа­ти N_m, як вирішення (76) необхідно сподіватися, що амплітуда ,

що не відповідає фізичному змісту, тому приймемо, що А₃=0.

Тоді вирішення буде

. (77)

Позначимо добуток A₁A₂=E_0z, тоді

. (78)

Геометрія хвилеводу така, що він має циліндричну симетрію, тому струк­тура E_z не повинна залежати від величини початкового куту , тому приймемо

.

Тоді (78) прийме вигляд

. (79)

Знайдемо К_кр за допомогою граничної умови , або для КХ

при r=R.

З (79) виходить, що E_z(R)=0, якщо J_m(K_кpR)=0, тобто треба знати такі значення аргументу K_кpR, при яких функція J_m(K_кpR) перетинає вісь аргументу. Такі зна­чення аргументу, як відомо, звуться коренями відповідного рівняння. Позначи­мо їх . Тут m - порядок функції Бесселя, n - номер кореня. Далі ми будемо використовувати вирази (11) та (12), а при цьому доведеться брати похідні , тобто буде необхідно знати також корені похідної від функцій Бесселя - ; приклад для функції J₀ зображений наhbc.2.15.

Рисунок 2.15 - Функція J₀ та її похідна J₀^’

Таблиця 1 - Значення коренів функції Бесселя та їх похідних

n	1	2	3	1	2	3
m
0	2,405	5,520	8,65	3,832	7,016	10,17
1	3,832	7,016	10,17	1,841	5,332	8,57
2	5,135	8,417	11,62	3,054	6,705	9,97
3	6,379	9,761	13,02	4,201	8,015	11,34

Кожному значенню відповідає своє значення К_кр, позначим його, тому , а звідси отримаємо

. (80)

Хвиля буде розповсюджуватися, коли , або , звідки . Знайдемо .

- підставимо сюди з (80) і отримаємо

. (81)

З (81) отримаємо умову поширення хвиль типу Е в круговому хвиле­воді з радіусом R

(82)

Структуру поперечніх складових знайдемо з використанням (11) та (12). За­уважимо, що в циліндричній системі координат оператор має вигляд

і з його використанням отримаємо вирази для попереч-ніх складових е.м.п. хвиль типу Е в круглому хвилеводі

(83)

В (83) штрих позначає похідну від функції Бесселя по всьому аргументу. Висновки:

1. вирази (78) та (83) показують, що поле в поперечному перерізі зале-­ жить від та r, причому m - число стоячих півхвиль по азимуту, n - по радіусу.

Маючи на увазі цей висновок, для хвиль типу Е вводять позначення .

2. Зіставляючи вирази (82) та (83) можемо прийти до висновку, що індекс m може приймати значення, починаючи з нуля, а індекс n - починаючи з одиниці (n - номер кореня).

3. З даних, що приведені в таблиці 1 видно, що найнижчим типом серед хвиль типу Е є хвиля типу Е₀₁. Її критична довжина хвилі .

Для прикладу розглянемо структуру поля хвилі Е₀₁.

Підставимо m=0, n=1 в (82) та (83) і отримаємо

(84)

Як видно з цих виразів, варіацій по азимуту немає, а по радіусу - закон функції Бесселя, та її похідної -рис.2.16.

Рисунок 2.16- Розподіл - а) та , - 6)

Розглядати будемо, як завжди - спочатку по складовим, а потім повну структуру.

При побудуванні картин розподілення складових хвилі Е₀₁ зауважимо, що, як виходить з (84), ці розподілення не залежать від координати , тобто, якщо розвернути коло в пряму лінію, то , , =const, а не з різними значеннями, наприклад для E_z -рис. 2.17.

Рисунок 2.17 - Розподіл складової

Структура та розподіли складових та зображені на рис. 2.18, а складової - нарис. 2.19

Рисунок 2.18 - Структура та розподіли складових - а) та - б)

Рисунок 2.19 - Структура та розподіл складової

Повна структура е.м.п. хвилі Е₀і зображена на рис.2.20.

Рисунок 2.20 - Повна структура е.м.п. хвилі Е₀₁ для КХ

По причині незалежності структури поля хвилі Е₀₁ від азимутальної коор­динати, ця хвиля використовується в хвилеводних пристроях, що призначені для обертання однієї частини хвилеводу відносно іншої.

Далі розглянемо хвилі типу Н круглого хвилеводу.

Магнітні хвилі (Н) колового хвилеводу

Умова хвиль типу Н - , .

Вирішення хвилевого рівняння для H_z проведемо аналогічно хвилі типу Е і в результаті отримаємо результат:

(85)

Щоб знайти поперечні складові підставимо (85) в (11) та (12) з урахуванням вира-

зу для в циліндричній системі координат і отримаємо

(86)

В (86) штрих позначує похідну , тобто по всьому аргументу.

Для визначення використаємо граничну умову (41) для H_z - ; для колового хвилеводу напрямок нормалі протилежний по напрямку з ортом -

рис. 2.21.

Рисунок 2.21 - Орти та для КХ

Як і для хвилі типу Е, одержимо

, (87)

де - n-тий корень похідної від функції Беселя порядку m.

Як відомо , і підставивши сюди (87), отримаємо

. (88)

Як видно з Таблиці 1 найменше значення серед та має корень , тому хвиля Н₁₁ є основною хвилею круглого хвилеводу.

Звернемо увагу також на те, що , , і т.д. Це є проявою наступної властивості функцій Беселя та їх похідних

якщо , то , тобто , а звідси витікає, що .

Таким чином, в коловому хвилеводі хвилі типу Е_1n та Н_0n будуть вирод­женими.

Розглянемо структуру поля основної хвилі Н₁₁ для КХ - рис. 2.22.

Рисунок 2.22 - Структура поля хвилі Н_п для КХ

Ця структура де в чому нагадує хвилю Н₁₀ в ПХ, але добавляється та .

Серед хвиль типу Н в КХ цікаву та корисну властивість має хвиля типу Н₀₁. Вона полягає в тому, що при збільшені частоти стала втрат зменшується. Це використовується для розробки хвилеводних ліній передачі, а також коли­вальних систем з унікально вузькою АЧХ. Розглянемо структуру поля хвилі H₀₁ – рис. 2.23. Поле цієї хвилі, як і хвилі Е₀₁, не залежить від азимутальної координати φ.

Рисунок 2.23 - Структура поля хвилі Н₀₁ для КХ (в перерізі В-В присутня лише складова H_z)

Дослідимо графічно залежність H_z(r) для хвилі Н₀₁ - рис. 2.24.

Рисунок 2.24 - до пояснення розподілу H_z(r) хвилі Н₀і для КХ

Тут розподіл H_z(r), як виходить з (85), диктує функція , але не до значення (перший корень фуцнкції J₀), а до значення (пер­ший корень функції , бо це хвиля типу H₀₁). По цій причині H_z(r) для хвилі Н₀₁ має два максимуми:

• при г=0, тобто у центрі хвилеводу ;

• при r=R, тобто на поверхні хвилеводу .

Враховуючи, що , можна зробити висновок, що

H_z(R)<H_z(0), причому зі збільшенням частоти цей ефект посилюється, тобто е.м.п. начебто "відтісняється" від поверхні хвилеводу. Таким чином, зі збільшенням частоти зменшується густина поверхневого струму на поверхні хвилеводу, що призводить до зменшення втрат.

Розглянемо діаграму хвиль круглого хвилеводу.

Діаграма хвиль колового хвилеводу

Для побудування діаграми хвиль знайдемо та

декількох перших хвиль типів Е та Н. Значення та візьмемо з Таблиці 1. Побудуємо таблицю хвиль колового хвилеводу.

Таблиця 2 - Таблиця хвиль колового хвилеводу

Тип хвилі	Е01	Е11	Е21	E02	H11	H21	H01	H31	H41
	2,613R	1,64R	1,223R	1,138R	3,41R	2,06R	1,64R	1,5R	1.182R

а по ній і діаграму хвиль - мал. 2.25

Рисунок 2.25 - Діаграма хвиль для КХ

Як видно з цієї діаграми, щоб хвиля Н₀₁ розповсюджувалася одноосібно, треба розробити деякі технічні пристрої, щоб ліквідувати хвилі Н₁₁, Е₀₁, Н₂₁ та

Е₁₁.

Струми на стінках прямокутного та колового хвилеводів.

Хвилеводи використовуються на частотах f>1ГГц, для зменшення втрат у стінках використовуються здебільше метали з високою провідністю: мідь та її сплави, срібло (або покриття сріблом) і, у крайньому випадку, алюміній та його сплави, тому глибина проникнення є. м. п. в провідник буде не більше, як декілька мікронів, тобто м. При таких умовах струми, які протікають по стінкам хвилеводів, можливо вважати поверхневими і для знаходження їх

напрямку і величини щільності поверхневого струму використати співвідношення

, (89)

де - вектор щільності поверхневого струму,

- орт нормалі до поверхності,

- вектор напруженості тангенціальної (до розглядуваної поверхні) скла­дової магнітного поля.

Зауваження:

1. Складова створює ту складову поверхневого струму, яка співпадає по напрямку з однією з поперечних координат хвилеводу, а складова - скла­дову , напрямок якої співпадає з напрямком повздовжньої вісі хвилеводу. При цьому в формулу треба підставляти те значення , яким воно буде безпо­середньо біля розглядуваної стінки.

2. Струми провідності в місцях видуги повинні замикатися на протилеж­ну стінку хвилеводу струмами зміщення.

Рисунок 2.26 - Поверхневі струми хвилі Ні о прямокутного хвилеводу.

Рисунок 2.27 - Поверхневі струми хвилі Н₁₁ і круглого хвилеводу.

Біля стінок , є тільки H_z, тому струми мають тільки складову .

Рисунок 2.28 - Поверхневі струми хвилі Н₀₁ круглого хвилеводу.

Рисунок 2.29 - Поверхневі струми хвилі Е₀₁ круглого хвилеводу.

Магнітне поле має тільки складову , максимум якої відповідає коор­динаті r=R, тобто якраз біля стінки, тому у вектора буде тільки складова .

З точки зору мінімізації втрат внутрішню поверхню хвилеводів треба шліфувати, або навіть полірувати. Напрямок руху обробки залежить від на­прямку поверхневого струму. Наприклад, для використання колового хвилево­ду в режимі хвилі Н₀₁ треба шліфувати рухом по колу, а в режимі хвилі Е₀₁ - ру­хом по вісі z.