3 Коаксіальна лінія

Це двозв'язана напрямна система (може протікати сталий струм). В напрямних системах такого типу можливе існування хвиль ТЕМ, Е та Н. Оскільки у хвилі ТЕМ (), то ця хвиля є найнижчою, а тому основ­ною. Розглянемо окремо всі хвилі в коаксіальній лінії.

Рисунок 3.1 - Коаксіальна лінія

Хвиля ТЕМ в коаксіальній лінії

Оскільки E_z=H_z=0, то та задовільняють рівнянню

; . (24)

Із рівності нулю повздовжних і нерівності нулю поперечних складової по­ля виходить, що , тому для хвилі ТЕМ

і стала поширення виражається чисто дійсним числом

, де - фазова швидкість хвилі ТЕМ, співпадаюча зі швидкістю світла у діелектричному середовищі, яке заповнює кабель.

Величина від не залежить, тобто дисперсія відсутня.

Нагадаємо, що (24) - це рівняння Лапласа. В свою чергу

, (26)

де - скалярний потенціал, який теж задовольняє рівнянню Лапласа

. (26)

Розв'яжемо його.

В циліндричній системі координат оператор

Розв'яжемо це рівняння методом розділення змінних.

Підставимо в рівняння і отримаємо

(а), (б)

тут m - ціле число, m=0,1,2... .

Вирішення рівняння (а) запишемо у формі

, або . Візьмемо .

Вирішення рівняння (б) має вигляд

, (в)

Тоді повне вирішення при має вигляд

.

Як неважко перевірити, це вирішення не задовільняє граничним умовам при r = R₁ та r = R₂ на поверхні провідника

і по цій причині його треба відкинути.

Візьмемо форму вирішення при m=0. Тоді

, тоді

; ;

, бо від не залежить, тому (дорівнює тотожньо)

при будь-яких значеннях констант С та D.

Набір констант , характерний для сталого потенціалу, але ми розглядаємо хвильовий процес, тому візьмемо ; . Таким чином маємо

.

, візьмемо похідні і отримаємо

, а звідси

Константу D знайдемо через напруженність поля біля поверхні

внутрішнього провідника. Позначимо її Е₀.

, або . Тоді

,

Рисунок 3.2 - Структура поля хвилі ТЕМ в КК

Потенціальний характер дозволяє говорити про різницю потенціалів між провідниками коаксіалу.

, а звідси .

. (90)

Струм, який протікає по поверхні центрального провідника та внутрішній по­верхні наріжного провідника дорівнює

. (91)

Подробиці: , ; ;

; .

Відношення в режимі біжучої хвилі зветься хвильовим опором ко­аксіальної лінії.

. (92)

Особливості конструкції коаксіального кабеля (КК)

Коаксіальні кабелі використовуються на частотах до 3 ГГц. Конструкції залежать від призначення та діапазону частот.

Внутрішній провідник - мідний провід, який для зменшення втрат покри­вають сріблом. Для гнучких конструкцій використовують провід скручений з 7, 19, 37 проводів.

Зовнішній провідник - мідна стрічка, або сітка. Інколи покривають сріблом.

Вітчизняна промисловість масово випускає кабелі з z_x=15 Ом та z_x=50 Ом. Вибір таких значень z_x зв'язаний з компромісом між втратами, допусти­мою напругою та максимальною потужністю. Кабелі з z_x=75 Ом звичайно оп-тимізовані по втратам, з z_x=50 Ом - це компроміс між всіма оптимумами.

Ізоляція - поліетилен, гума, або навивається із фторопластової стрічки. Інколи виготовляються кабелі з шайбовою ізоляцією - це, як правило, негнучкі кабелі, які використовують в магістральних лініях зв'язку на далекі відстані.

Хвилі вищого типу в коаксіальній лінії

Хвилі типу Е - електричні хвилі

Умова: , .

Запишемо рівняння Гельмгольца відносно E_z в циліндричній системі координат - вираз (50)

. (93)

Розв'язуючи це рівняння методом розділення змінних отримаємо

. (94)

Оскільки точка г=0 знаходиться зовні тої області, де є е. м. п. хвилі, то в вирішенні (62) нема потреби відкидати функцію Неймана N_m, яку не враховують в задачі для круглого хвилеводу. Використаємо граничну умову і отримаємо

. (95)

Ця система однорідних лінійних алгебраїчних рівнянь має нетривіальне вирішення (тобто , ) в тому випадку, коли визначник її дорівнює нулю, (det=0), тобто

. (96)

Знайшовши визначник по правилу Крамера, маємо

. (97)

Це співвідношення уявляє собою трансцендентне рівняння відносно по­перечного хвильового числа .

Якщо задати m та R₂/R₁, рівняння може бути вирішене чисельно, або графічно. При цому може бути знайдено n його коренів, тому хвиля позна­чається Е_mn.

Аналіз показує, що найнижчим типом хвиль серед хвиль типу Е для ко-аксіалу є хвиля Е₀₁.

Хвилі типу Н коаксіальної лінії - магнітні хвилі.

Вирішення рівняння Гельмгольца знаходяться аналогічно

. (98)

Гранична умова (31) для H_z .

Тут напрямок нормалі n - це напрямок r, тому

.

Підставляючи вирішення в граничну умову, отримаємо систему лінійних ал­гебраїчних рівнянь

,

.

Знайдемо визначник цієї системи і прирівняємо його нолю

і звідси отримаємо трансцендентне рівняння для знаходження значень .

. (99)

Хвилі типу Н також позначаються Н_mn. Найнижчою хвилею є хвиля Н₁₁.

Аналіз показує, що .

та можливо знайти по приблизним формулам:

; . (100)

Структура поля хвилі Н₁₁ де в чому нагадує аналогічну структуру хвилі Н₁₁ колового хвилеводу

Рисунок 3.3 - Структура е. м. п. хвилі Н₁₁ для коаксіалу

Знаючи критичну довжину хвилі типу Н₁₁ (а це найнижча з хвиль вищого типу для коаксиальної лінії) з'являється можливість визначити критичну час­тоту коаксіальної ЛП з точки зору виникнення вищих по відношенню до ТЕМ типів хвиль.

, звідси

Підставимо сюди з (100)

с - швидкість світла мМ/с.

Приклад: кабель R₁=4мM, R₂=11мМ, заповнення - поліетилен, :

.

В той же час, зменшивши R₁=3мМ, R₂=7мM, отримаємо .