5. Дифракційна гратка та її роздільна здатність

Сукупність великої кількості паралельних щілин, розділених непрозорими проміжками, називається дифракційною граткою (рис.12.8). Вона використовується для спектрального аналізу випромінювання. Відстань d між відповідними точками сусідніх щілин називається періодом дифракційної гратки. Як правило, ширина щілин b і ширина непрозорих проміжків однакова. Тому d=2b.

Дифракційна картина уявляє собою головні максимуми , між якими знаходяться додаткові максимуми і мінімуми. Для того, щоб спостерігались головні максимуми, оптична різниця ходу променів від сусідніх щілин повинна бути цілократною довжині хвилі

, (12.14)

де k =0, 1, 2,… - називається порядком максимуму.

Між головними максимумами знаходиться N мінімумів. Їхнє положення відповідає умові

. (12.15)

Із (12.14) видно, що положення головних максимумів для різних довжин хвиль буде спостерігатись під різними кутами φ, тобто вони будуть на екрані зміщені один відносно одного. Прийнято вважати, що ці максимуми, які перекриваються, можна надійно розділити, коли вони зміщені один відносно одного на відстань не меншу, ніж до першого додаткового мінімуму (рис.12.9). Запишемо умову головного максимуму для довжини хвилі λ₁ і першого додаткового мінімуму для довжини хвилі λ₂.

Для надійного розділення необхідно, щоб . Одержуємо, або.

Вираз (12.16)

називається роздільною здатністю дифракційної гратки.

12.6 Дифракція рентгенівських променів. Формула Вульфа-Бреггів

В розділі 12.4 було відмічено, що для спостереження дифракції необхідно, щоб розмір перешкоди був одного порядку з довжиною хвилі, але більшим за неї. Кристал твердого тіла може бути використаний як просторова дифракційна гратка, але оскільки міжатомна відстань d дорівнює декілька ангстремів (1Å = 10^-10 м), то і довжина хвилі повинна бути такого ж порядку. А це вже діапазон рентгенівських променів. Отже на кристалічній гратці твердого тіла можна спостерігати дифракцію рентгенівських променів. При падінні на поверхню кристалу рентгенівські промені відбиваються від різних атомних площин, які потім накладаються і підсилюють, чи послаблюють один одного (рис.12.10). В рентгеноструктурному аналізі прийнято задавати напрямок падіння променів на поверхню кристалу кутом ковзання θ, тобто кутом між променем і поверхнею кристалу. Із рис.12.10 видно, що оптична різниця ходу променів, відбитих від сусідніх атомних площин дорівнює .Отже максимум буде при умові

. (12.17)

Це і є формула Вульфа-Бреггів, покладена в основу рентгеноструктурного аналізу: по відомим k, θ і λ знаходять міжатомну відстань d.

12.7 Приклади розв’язку задач

Задача 1. Промінь світла падає під кутом 30^о на плоско-паралельну скляну пластинку і виходить із неї паралельно падаючому променю, змістившись на 1,94 см. Показник заломлення скла 1,5. Знайти товщину пластинки.

Розв’язок. Намалюємо хід променів. Із ΔADB . Із ΔAСB . Отже. За законом заломлення

.

.

Задача 2. Промінь світла виходить із скипидару в повітря. Граничний кут повного відбивання дорівнює 42^о23. Яка швидкість світла в скипидарі ?

Розв’язок. За законом повного внутрішнього відбивання . Зауваження: синус завжди менший за одиницю, тому в правій частині беремо відношенняV до с, щоб воно теж було меншим за одиницю. Отже,

Задача 3. У скільки разів збільшиться відстань між сусідніми інтерференційними лініями на екрані в досліді Юнга, якщо зелений світлофільтр (λ₁ = 0,5 мкм) замінити червоним (λ₂ = 0,65 мкм) ?

Розв’язок. За виразом (6) відстань між інтерференційними лініями , , а їхнє відношення .

Задача 4. На скляний клин нормально падає пучок світла (λ_о = 0,582 мкм). Кут клина γ дорівнює 20^″. Скільки темних інтерференційних ліній припадає на одиницю довжини клина? Показник заломлення скла 1,5.

Розв’язок. На поверхні клина будемо спостерігати лінії однакової товщини. Темні лінії будуть знаходитись там, де товщина клина задовольняє умові (8) мінімуму . За умовою задачі α = 0^о (пучок світла нормально падає пучок світла). Для сусідніх ліній маємо , . Віднімаємо із другого рівняння перше . З рисунка видно, що відстань між інтерференційними лініями. На один метр припадає. Для правильного розрахунку кут клина 20^″ необхідно виразити в радіанах . Отже,

Задача 5. В установці для спостереження кілець Ньютона (див. рис.6) простір між сферичною та плоскою поверхнями заповнений рідиною. Визначити показник заломлення рідини, якщо радіус 3-го світлого кільця дорівнює 3,65 мм. Спостереження ведеться у пройшовшиx променях. Радіус сферичної поверхні R=10 м, довжина хвилі світла λ_о = 0,589 мкм.

Розв’язок. За формулою (9) радіус світлих кілець у пройшовши променях ; m = 3. Це вода.

Задача 6. На щілину шириною 2 мкм падає нормально паралельний пучок монохроматичного світла з довжиною хвилі 0,589 мкм. Знайти кути, під якими будуть спостерігатися мінімуми інтенсивності світла.

Розв’язок. За формулою (12) мінімуми інтенсивності при дифракції на щілині спостерігаються при умові . Отже, . Задаємо значення m=1,2,3,…

m=1

m=2

m=3

m=4 Одержали більше одиниці, що неможливо. Отже, дифракційні мінімуми будуть спостерігатись тільки під кутами φ₁ , φ₂ і φ₃ .

Задача 7. На дифракційну гратку нормально падає пучок світла від розрядної трубки. При якому найменшому періоді дифракційної гратки в напрямку φ = 41^о максимуми двох ліній λ₁ = 0,6563 мкм і λ₂ = 0,4102 мкм співпадуть?

Розв’язок. За формулою (14) головні максимуми спостерігаються при умові і , або Так якk₁ і k₂ цілі числа, то очевидно що одержаній умові відповідають числа . Найменші із нихk₁ = 5, k₂ = 8. Отже,

Задача 8. Період дифракційної гратки шириною h = 2,5 см дорівнює d = 2 мкм. Яку різницю довжин хвиль Δλ може розділити ця гратка в області жовтого світла (λ = 0,6 мкм) у спектрі другого порядку?

Розв’язок. Роздільна здатність дифракційної гратки за формулою (16) . k = 2. Загальна кількість щілин . Маємо.