11.2 Дисперсія хвиль. Фазова швидкість хвиль

Нехай маємо одномірну плоску хвилю, яка поширюється вздовж осі х. Рівняння цієї хвилі

.

Знайдемо швидкість переміщення точок однакової фази, яка називається фазовою швидкістю. Це швидкість переміщення фронту хвилі, рівняння якої має вид

.

Візьмемо першу похідну із цього рівняння за часом

.

Фазова швидкість . (11.7)

Теорія пружності дає для фазової швидкості поперечних і повздовжніххвиль вирази

, , (11.8)

де G –модуль зсуву, Е – модуль Юнга середовища.

Дисперсія – це залежність фазової швидкості хвиль від довжини хвиль (рис.11.2).

Коли із зростанням довжини хвилі λ фазова швидкість зростає, тобто при, дисперсія називається нормальною (ділянкаа). При протилежних співвідношеннях, тобто коли , – аномальною (ділянкаб).

11.3 Швидкість передачі енергії хвилями. Групова швидкість

При поширенні пружної хвилі речовина не переноситься, а передається лише стан деформації середовища, а отже передається енергія. Знайдемо об’ємну густину енергії середовища, в якому поширюється хвиля .

Ця енергія складається із кінетичної енергії dW_К руху об’єму середовища dV в коливальному русі навколо свого положення рівноваги і потенціальної енергії dW_П деформації цього об’єму.

Кінетична енергія

Можна показати, що потенціальна енергія

дорівнює кінетичній

Отже, густина енергії

(11.9)

пропорційна квадрату амплітуди і частоти.

З’ясуємо, з якою швидкістю хвиля переносить енергію. Логічно прийняти її за швидкість переміщення точок, у яких густина енергії максимальна, тобто коли , або.

Візьмемо першу похідну із останнього виразу за часом. Одержимо

, тобто . Отже гармонічна монохроматична (однієї частоти) хвиля переносить енергію з фазовою швидкістю.

Реальні хвилі немонохроматичні, а уявляють собою суму гармонічних хвиль різних частот (гармонік), які можна знайти розкладанням негармонічної хвилі на гармоніки згідно в ряд Фур’є

.

Другими словами, кожна хвиля уявляє собою пакет гармонічних хвиль з різними частотами. У цьому випадку мова йде про швидкість перенесення енергії групою хвиль. Ця швидкість називається груповою. Так як енергія хвиль пропорційна квадрату амплітуди, то логічно за групову швидкість U прийняти швидкість переміщення максимуму амплітуди пакету хвиль.

Нехай маємо найпростіший пакет двох хвиль із близькими частотами і хвильовими числами та однаковими амплітудами

і . (11.10)

Тут .

Знайдемо результуюче рівняння пакету хвиль. Для цього скористаємось формулою суми косинусів

. Одержимо, враховуючи (11.10),

.

Це рівняння одномірної хвилі з частотою ω та хвильовим числом k, амплітуда якого залежить від координати х і часуt і уявляє рівняння хвилі з частотою і хвильовим числом. Так як енергія пропорційна квадрату амплітуди, знайдемо швидкість переміщення максимуму амплітуди пакету, тобто коли, або. Звідки одержуємо групову швидкість . (11.11)

Встановимо зв’язок між фазовою та груповоюU швидкостями.

. Так як .

. Одержимо .

Отже . (11.12)