5.1.2 Дослідження впливу дискретного під-регулятора

Проаналізуємо вплив дискретного регулятора на характеристики всієї системи. Нехай передатна функція безперервного об’єкту керування має вигляд:

.

де k_ок=20 – коефіцієнт передачі, T₁=0.6, Т₂=0.5 – постійні часу.

Передатна функція безперервного ПІД-регулятора має вигляд:

,

де k_p , k_i , k_d – коефіцієнти передачі пропорціональної, інтегруючої та диференційної складових, що дорівнюють k_p= 1.2, k_i = 2.18, k_d = 0.165; _k – постійна часу диференційної складової ПІД-регулятора (_k=0.015).

Перетворимо безперервні об‘єкт та регулятор в дискретні з різними періодами дискретизації, скориставшись екстраполятором нульового порядку.

Якщо визначити частоту зрізу розімкнутої системи з ПІД-регулятором, то можна визначити період дискретизації за формулою T_s  0,15…0,5/_с. Для нашої системи _с =12.547, T_s =0.012…0.04.

При перетворенні аналогового регулятора в цифровий рекомендується обирати період дискретизації з урахуванням коефіцієнтів передачі пропорційної та диференційної складової регулятора T_s =0.1…0.5k_d /k_p . Для нашої системи T_s =0.014…0.069.

Обираємо два періоду дискретизації T_s1 = 0.025, T_s2 = 0.0125 та промоделюємо систему з різними періодами дискретизації.

За допомогою m-файл-сценарію можна отримати передатні функції регулятора та всієї системи, в якому запускаємо пакет LTI Viewer.

%Отримання загальної передатної функції системи;

clc;

K1=20; T1=0.6;

K2=1; T2=0.5;

kp=1.2; ki=2.18; kd=0.165; tk=0.015;

W1=tf([0 K1],[T1 1]); % 1-а передатна функція;

W2=tf([0 K2],[T2 1]); % 2-а передатна функції;

W12=W1*W2; %перед.функція розімкнутої системи;

Wpid=kp+tf([0 ki],[1 0])+tf([kd 0],[tk 1]); %перед. ф-ція

%ПІД-регулятора;

W12pid=W12*Wpid; %передатна функція розімкнутої системи

%з ПІД-регулятором;

[Am,Pm,Wca,Wcp]=margin(W12pid);%обчислення запасів

%стійкості та частоти зрізу

Wcp %Виведення на екран частоти зрізу

Wo=feedback(W12pid,1); %передатна функція замкненої

%системи з ПІД-регулятором;

%Перетворення безперервної системи в дискретну Ts=0.025

Ts1=0.025; %завдання періоду дискретизації

W12_d1=c2d(W12,Ts1,'zoh'); %перетворення безперервної

%розімкнутої системи в дискретну

Wpid_d1=c2d(Wpid,Ts1,'zoh') %перетворення

%безперервного ПІД-регулятора в дискретний;

[num,den]=tfdata(Wpid_d1,'v') %чисельник, знаменник Wpid_d1

W12pid_d1=W12_d1*Wpid_d1; %дискретна передатна функція

%розімкнутої системи з ПІД-регулятором;

Wo_d1=feedback(W12pid_d1,1) %дискретна передатна ф-ція

% замкненої системи з ПІД-регулятором;

%Перетворення безперервної системи в дискретну Ts=0.0125

Ts2=0.0125; %завдання періоду дискретизації

W12_d2=c2d(W12,Ts2,'zoh');

Wpid_d2=c2d(Wpid,Ts2,'zoh')

[num,den]=tfdata(Wpid_d2,'v') %чисельник, знаменник Wpid_d2

W12pid_d2=W12_d2*Wpid_d2;

Wo_d2=feedback(W12pid_d2,1)

ltiview %Виклик функції LTI Viewer;

Після моделювання отримаємо такі передатні функції дискретних регуляторів:

, (5.1)

, (5.2)

та такі передатні функції систем :

(5.3)

(5.4)

З результатів моделювання (рис.5.1) бачимо, щоб при зменшенні періоду дискретизації перехідна характеристика дискретної САК наближається до перехідної характеристики безперервної САК.

Рисунок 5.1 – Результати моделювання безперервної системи та дискретних систем з періодом дискредитації 0.025 с і 0.0125 с

Заданий об’єкт керування можна моделювати в пакеті Simulink. При цьому можна в одній моделі поєднувати дискретні та безперервні ланки системи. Наберемо дві моделі: одна безперервна (об‘єкт та регулятор безперервні), друга дискретно-безперервна (об‘єкт безперервний, регулятор дискретний з кроком дискретизації 0.025 с).

Для завдання дискретного регулятора скористаємося блоком Discrete Transfer Fcn (розділ Discrete), де в полі Numerator вводяться коефіцієнти чисельника передатної функції (5.1), що отримані за допомогою m-файл-сценарію, в полі Denominator – коефіцієнти знаменника цієї ж передатної функції (5.1), в полі Sample time – крок дискретизації (в нашому випадку 0.025 с).

Для моделювання зі фіксованим кроком в пакеті Simulink треба в меню Simulation|Configuration Parameters|Solver ввести: в полі Stop time – кінцевий час моделювання (1.0 для нашого прикладу); в полі Type (тип) – Fixed-step (фіксований крок); в полі Solver (метод) – ode4(Runge-Kutta); в полі Fixed step size (величина кроку) – крок дискретизації (0.025).

Для всіх блоків, що мають параметр Sample time, цей параметр повинен співпадати з кроком Fixed step size.

На рис. 5.2 наведена структурна схема систем керування безперервного об’єкту з безперервним та дискретним (крок дискретизації 0.025 с) регуляторами.

Рисунок 5.2 – Структурна схема систем керування безперервного об’єкту з безперервним та дискретним регуляторами

В результаті моделювання отримані наступні результати, що показані на рис.5.3.

Рисунок 5.3 – Результати моделювання об’єкту з безперервним (Wo) та дискретним регулятором (Wo_d1) з періодом дискредитації 0.025 с

Для моделювання зі іншим фіксованим кроком треба створити нову М-модель, де задати в блоці Discrete Transfer Fcn нові значення чисельника та знаменника передатної функції (5.2). Крок дискретизації задати 0.0125 с. В результаті моделювання отримані наступні результати, що показані на рис.5.4.

Рисунок 5.4 – Результати моделювання об’єкту з безперервним (Wo) та дискретним регуляторoм (Wo_d2) з періодом дискредитації 0.0125 с

З результатів моделювання в пакеті Simulink (рис.5.3, 5.4) бачимо, що отримані графіки співпадають з графіками, отриманими при моделювання в пакеті LTI Viewer.