4193

11

1.3.4 Інтегрування функцій, що містять квадратний тричлен у знаменнику

1

dx

2x - 3 -

ò

Відповідь:

1

× ln

3

+ C

2x2 - 6x + 3

2

2x - 3 +

3

3

2

ò

dx

Відповідь: arctg(2x - 3)+ C

2x

2

- 6x

+ 5

3

dx

ò

1

3

æ

3

ö2

1

2x

2

- 6x + 5

Відповідь:

×ln

x -

+

ç x

-

÷

+

+ C

2

2

è

2 ø

4

4

dx

ò

Відповідь:

arcsin

2x -1

+ C

3 - x2 + x

5

13

ò

3x + 5

dx

Відповідь:

x + 2

x2 + 4× x + 7

3

×ln

x

2

+ 4x + 7

-

1

× arctg

+ C

2

3

3

6

ò

3x + 4

dx

Відповідь:

2x - 3

17

2 + 3x - x2 + C

2 + 3x - x2

× arcsin

- 3×

2

17

1.3.5 Інтегрування дробово-раціональних функцій

6x4

3x2 -12x + ln

x -1

- 3ln

x +1

+

1. ò

(x2 -1)×(x + 2)

dx

Відповідь: + 32 × ln

x + 2

+ C

2.

6x - 2x

2

-1

1

1

3

ò

dx

Відповідь: ln

x

+ ln

x -1

+ 1- x + C

x

3

-

2x

2

+ x

Відповідь:

4x2 + 38

3. ò

(x + 2)(x2 - 2x +10)dx 3×ln

x + 2

+ ln

x2 - 2x +10

+

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

12

+ 5 ×arctg

x -1

+ C

3

3

4.

2x3

- 2x - 5

Відповідь:

ln(x2 + 4)+ 1

ò x

4 + 3x2 - 4dx

× arctg

x

+

ln

x +1

-

2

2

2

-

ln

x -1

+ C

x3

2

5.

ò

+ x +1

dx

Відповідь:

x2

11

3

x

2

+ 4x + 6

2

2 - 4x + 2 ×ln

x

+ 4x + 6

+

×

2

×arctg x +22 + C

1.3.6Інтегрування ірраціональних функцій

1.

ò

x3

dx

Відповідь:

2

×

(x + 2)7

-

12

×

(x + 2)5

+ 8

(x + 2)3

x + 2

7

5

-16

+ C

x + 2

x

2.

ò

dx

Відповідь: 2

+ 24 × 6

+ 24 × ln

6 x - 2

+ C

3

x

x

x - 4 ×

x

2

6

x

+ 2

5

2

x

ò

dx

6

3

3.

× x 6

× x 3 + 2 x + 3 3 x + 6

6 x +

x

- 3

x

Відповідь: x +

+

5

2

+ 6 ×ln

6

-1

+ C

x

dx

4.

ò

Відповідь: 2 ×

x - 4 × 4 x + 4ln(1+ 4 x )+ C

x + 4 x

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

13

1.3.7 Інтегрування тригонометричних функцій

1.òsin 2x × cos5x dx

2.òsin2 3x dx

3.òsin3 x × cos2 x dx

4.òsin2 x ×cos2 x dx

5.òcos4 x dx

6.ò tg5 x2 dx

7.sin x ×cosx

ò2 - sin 4 x dx

	8.	ò		dx
			3 + cosx + sin x
	9.	ò		dx
			7 ×cos2 x +16 ×sin2 x
	10.	ò	sin3 2x			dx
			3 cos2 2x

11.4 - 7tgx

ò2 + 3× tgx dx

Відповідь:

-

cos7x

-

cos3x

+ C

14

6

Відповідь:

x

-

sin 6x

+ C

2

12

Відповідь:

cos5 x

- cos3 x

+ C

x

5

sin 4x

3

Відповідь:

-

+ C

8

32

Відповідь:

3

x +

sin 2x

+

sin 4x

+ C

8

Відповідь:

4

32

1

4 x

2 x

æ

2 x

ö

× tg

- tg

- lnçcos

÷ + C

2

2

2

2

è

ø

Відповідь:

1

×arcsin

sin2 x

+ C

2

2

æ

x

ö

2

ç

2 × tg

+1÷

2

Відповідь:

ç

÷

+ C

7 × arctgç

7

÷

ç

÷

è

ø

Відповідь:

1

×arctg

4 ×

tgx

+ C

4

7

7

Відповідь:

3

æ

2

ö

×3

×

ç

cos

2x

-1÷

+ C

cos2x

2

ç

7

÷

Відповідь:

è

ø

æ

2

ö2

(tg2x +1)- x + C

lnçtgx +

÷

- ln

3

è

ø

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

14

1.3.8 Деякі тригонометричні підстановки

Інтеграли

æ

ö

æ

ö

æ

ö

2

2

2

- x

2

+ x

2

- a

2

ò Rçx, a

÷dx, òRç x, a

÷dx, ò Rçx, x

÷dx

è

ø

è

ø

è

ø

зводяться до інтегралів від раціональних функцій відносно sin t, cost.

Відповідні

підстановки :

для першого

інтегралу

x = a ×sin t, або

x = a × cost;

для

другого

x = a × tgt, або

x = a ×ctgt; для третього

x =

a

, або x =

a

.

cos t

sin t

1. ò

a2

- x

2

dx ;

заміна: x = a ×sin t .

x

t

arcsin

x

a

+ C

Відповідь: a ×ln

tg

+ a ×cost = a ×ln

tg

+

a2 - x2

2

2

dx

2. ò

;

заміна: x = a × tgt .

x ×

a2 + x2

Відповідь:

1

×ln

tg

t

= 1

×ln

1

- ctgt

a

2

sin t

a

3. ò

dx

;

заміна: x =

a

sin t

x ×

x2

- a2

æ

a ö

ç arcsin

÷

p

Відповідь:

ç

x

÷

+ C .

- ln

2

+ 4

tgç

÷

ç

÷

è

ø

=1 ×lnx2 + a2 - a + C a x

.

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

15

1.4Індивідуальні завдання

1.4.1Знайти інтеграли безпосереднім інтегруванням

1.а)

б) в)

3.а)

б) в)

5.а)

б) в)

7.а)

б) в)

ò3×5x + 4x - 2x6 dx;

x4

òcos (7 - 2x)dx ;

ò		3 + x2		- 3 - x2
							dx
		9
				- x4

.

ò5 × x + 9x -1dx; 2x2

òcos (3x + 4)dx

ò7 + x2 - 6 dx . 7 + x2

6×

7

3

-

4

+ 5×

4

9

ò

x

x

x

dx

4 x

òcos (4x - 7)dx ;

ò

4 - x2

-

4 + x2

dx .

16 - x4

ò3x2 - 7 + 5x6 dx; x5

òcos (7x - 2)dx ;

ò3x2 + 6 dx .

x2 + 5

2.а)

б) в)

4.а)

б) в)

6.а)

б) в)

8.а)

б) в)

ò 2x - 8 × 3x + 3x4 dx;

3x

òsin (2x -1)dx ;

ò x2 +14 dx . x2 + 25

	7 6		- 4 +			x5
ò		x
							dx;
				x

òsin (3 - 4x)dx ;

7

ò sin 4x ×cos 4x dx .

ò 9 ×8x3 + x2 - 7x5 dx; x3

òsin (5x + 2)dx ;

8 - 9 - x2

ò 9 - x2 dx .

ò8 + 4x5 + x dx;

3x

òsin (4 - 3x)dx ;

10

ò sin 5x × cos 5x dx .

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

9.а)

б) в)

11.а)

б) в)

13.а)

б) в)

15.а)

б) в)

17.а)

б)

16

5

3

10.

а)

ò

x

6

+

9x

- 4

dx;

x

òcos (3 -10x)dx ;

б)

в)

ò

x2 - 9

+ 5

dx .

x2

- 9

12.

а)

4 ×

3

2

- 3×

3

7

+

3

ò

x

x

x

dx;

3

x

òcos (5x + 3)dx ;

б)

-

в)

ò

5 + x2

5 - x2

dx .

25 - x4

14.

а)

ò

5×

4

x

7

+ 3x - 4

dx;

8x2

òcos (3x - 5)dx ;

б)

в)

ò

9 + x2

- 7

dx .

9 + x2

16.

а)

4

4

2 -

9

+ 3 ×

ò

x

x

dx;

4

x

òcos (10x + 7)dx ;

б)

в)

ò

6 - x2

-

6 + x2

dx .

36 - x4

18.

а)

7x ×

-1+ 9x2

ò

x

dx;

x3

òcos (5 - 9x)dx ;

б)

ò10x3 - 2 ×5x + 9×5x6 dx;

5x

òsin (4x + 3)dx

8

ò cos2 6x -sin2 6xdx .

ò x + 7x9 - 9x4 dx; x

òsin (3 − 5x)dx ;

ò 4x2 + 8 dx . x2 + 2

ò 6 ×7x3 - 5 + 2x2 dx; x3

òsin (3x -1)dx ;

5

ò cos 5x ×sin 5x dx .

ò 4×9x5 + x4 - 2x8 dx; 2x5

òsin (7x +10)dx ;

ò 2 - 7 - x2 dx . 7 - x2

ò	8 + 3× x7			-	x5
						dx;
		x5

òsin (9 + 2x)dx ;

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

в)

19.а)

б) в)

21.а)

б) в)

23.а)

б) в)

25.а)

б) в)

27.а)

17

ò

9 + 3x2

dx .

в)

x

2

+ 3

20.

а)

2

8

ò

4x

+

x

5

+ 3

dx;

x3

òcos (8x -1)dx ;

б)

в)

ò

x2 -16

+ 4

dx .

x2

-16

22.

а)

3

3

ò

2 ×

x

7

+ 9x

+ 7

dx;

x4

òcos (3x + 8)dx ;

б)

-

в)

ò

7 + x2

7 - x2

dx .

49 - x4

24.

а)

ò

4

x

9

-

3 + 7x

5

dx;

x6

òcos (2x +1)dx ;

б)

в)

ò

8 + x2

- 3

dx .

8 + x2

26.

а)

7

4

ò

10x

+

6 +

x

3

dx;

x8

òcos (1- 4x)dx ;

б)

в)

ò

8 - x2

-

8 + x2

dx .

64 - x4

28.

а)

7

-3× x−

7

x6

ò

18

+ 2

dx;

9

x

6

ò sin 6x ×cos 6x dx .

ò 5 - 7x4 + 6x dx; x2

òsin (9 - 4x)dx ;

2

ò cos2 3x - sin2 3x dx .

ò 4 - 3x4 + 5 × 9x7 dx; x5

òsin(8x - 7)dx ;

ò 8x2 + 3 dx . x2 + 4

ò 5x6 + 9 - 9x5 dx; x7

òsin (10x + 3)dx;

7

ò cos 7x ×sin 7x dx .

ò 7x8 + 2 + 8 × 6x7 dx; x9

òsin (3x +1)dx ;

ò 9 - 4 - x2 dx . 4 - x2

3

ò14 × 7x8 - 8 + x 4 dx;

7x

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

18

б)

òcos (6x - 7)dx ;

б)

òsin (1 - 9x)dx ;

в)

ò

x2 + 4

dx .

в)

ò

4

dx .

cos 4x ×sin 4x

29. а)

x2 + 5

30. а)

5

8

8

6

3

17

6

- 2

×

+

13

x

x

ò

x

dx;

ò

9 ×

x - x + 5 ×

x

dx;

8 x

6

x

б)

òcos (5 + 2x)dx ;

б)

òsin (7x +10)dx ;

в)

в)

4

x2 - 6

+ 4

dx .

ò

dx .

ò cos2 8x - sin2 8x

x2 - 6

1.4.2 Знайти інтеграли за допомогою внесення сталої, змінної, функції під знак диференціалу або методом підстановки

1.

а)

ò

4xdx

2.

а)

ò

3xdx

;

;

7 - 2x2

б)

3x2 + 2

б)

ò

3 (5x + 4)4 dx;

ò

4 (4x - 5)3 dx;

в)

в)

dx

3

ò

.

ò

arcsin8xdx .

cos2 4x ×

tg34x

1- 64x

2

3.

а)

4.

а)

3xdx

4xdx

ò

;

ò

;

5x2 + 2

б)

2 - 3x2

б)

ò

(4 + 5x)3 dx;

ò

4 (3 - 7x)5 dx;

в)

в)

dx

ò

.

ò

arctg53x

dx .

sin2 3x ×ctg43x

5.

а)

6.

а)

1+ 9x2

4xdx

2xdx

ò

;

ò

;

9 - 7x2

б)

5x2 +1

б)

ò

5 (7x - 3)4dx;

ò

3 (4 - 5x)2 ×dx;

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

в)

7.а)

б)

в)

9.а)

б)

в)

11.а)

б)

в)

13.а)

б)

в)

15.а)

б)

ò		5 - sin x								dx .
	(5x + cos x)3
ò		8xdx				;
		1− 5x2
ò	7	(3x − 8)4							dx;
ò	cos 7x			dx .
	sin4 7x
ò		7xdx						dx;
		3x2 + 4

ò9(8x + 5)4 dx;

òx ×59 - x2 dx .

9xdx

ò 6 − 2x2 ;

ò 5(7 − 4x)3dx;

5x

ò 16 + 52x dx.

4xdx

ò 5x2 − 2 ;

ò (2 − 7x)5 dx;

ò 8ln7(6x +1) dx . 6x +1

8xdx

ò 4 − x2 ;

ò 6(3 − 4x)7 dx;

19

в)

8.а)

б)

в)

10.а)

б)

в)

12.а)

б)

в)

14.а)

б)

в)

16.а)

б)

ò tg6x - ctg6x dx . sin2 6x

5xdx

ò 6x2 + 7 ;

ò 4(8 − 3x)7 dx;

sin 8x

ò (4 - 5cos8x)2 dx .

6xdx

ò 7 − 8x2 ;

ò 5(5 − 9x)3 dx;

3

ò x−2 ×ex dx .

5xdx

ò 9 + 4x2 ;

ò 8(3x +1)9 dx;

sin 2x

ò 4cos 2x + 6 dx.

7xdx ò 2 − 3x2 ;

ò 35x − 6 dx;

ò arccos3 2x dx . 1- 4x2

8xdx

ò 2x2 + 7 ;

ò 7(1+ 4x)5 dx;

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

в)

17.а)

б)

в)

19.а)

б)

в)

21.а)

б)

в)

23.а)

б)

в)

25.а)

20

dx

.

в)

ò

(1 + 25x2 )× arcctg4

5x

ò

3xdx

;

18.

а)

7x2 + 2

б)

ò

3 (8x − 5)2 dx;

в)

ò

cos 7x

dx .

(3 - 4sin 7x)3

ò

9x

dx;

20.

а)

1- 7x2

б)

ò

5

dx;

1+ 6x

dx

в)

ò

3

×(1+ 4x2 ) .

arctg42x

ò

7x

dx;

22.

а)

8x2 + 3

б)

ò

3

dx;

6x + 5

в)

ò

x × 4 3 + x2 dx .

ò

xdx

;

24.

а)

3 -8x2

б)

ò

9

dx;

4 − 8x

ò

7x

dx .

в)

7

2x

+ 25

ò

5xdx

dx;

26.

а)

9 + x2

ò

ctg5x - tg5x dx .

sin2 5x

ò

6xdx

;

1− 4x2

4

dx;

ò

(8 − 9x)7

ò

cos 2x

dx .

sin6 2x

ò

9xdx

dx;

3 + 7x2

ò

(4 − 5x)7

dx;

5

ò

8 + tg3x

dx .

cos2 3x

ò

3xdx

;

4 − 6x2

ò

4

dx;

3x − 7

5

x-2 ×e

dx .

ò

x

ò

4xdx

;

5x2 +1

ò

(6x + 8)3

dx;

dx

ò 3ln5 (2x - 7) × (2x - 7) .

3xdx

ò 9 − 5x2 ;

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com