4193

в)

61

б)

в)

13.а)

б)

в)

15.а)

б)

в)

17.а)

б)

в)

19.а)

ìx = 4cos t		;
í
î y = 5sin t
ρ = 7 + cos ϕ
	y =1+ x3,x = 0,		;
	y = 9
ìx =12cos t
ï		;
í y = 5sin t
ï	x £ 0
î
ρ = 2cos 4ϕ .

y = x +1, y = 6×3−x , x = 0

x = 5 cos3 t

;

y = 5 sin3 t, x ³ 0

ρ = a cos 3ϕ

	y = arccos y, x = 0, ;
	y = 0
	ì				3
	ï					t ;
	íx = 6cos
	ï	= 6sin			3	t
	îy
	ρ = sin 4ϕ .
	y =		x3	, y =10x ;
		10

б) ì	3
ï		t ;
íx = 7cos			;
ï	3	t
îy = 7sin

r = 3cos 2j .

æ

x

−

x

ö

14.

а)

3

ç

3

÷

y =

çe

3 + e

÷,

2

;

ç

÷

è

ø

y = 0, x = 3, x = -3

б)

ì x = 2(t - sin t)

ï

í y = 2(1- cos t) ;

ï

£ 2p

îy = 0, 0 £ t

в)

ρ = 2 + cos ϕ .

16.

а)

y = ex, y =

,x = 0,

x

x =1

б)

x = 4(t - sin t)

y = 4(1- cos t)

;

y = 0,0 £ t £ 2p

в)

ρ = 4cos 3ϕ .

18.

а)

y =

4x - x2

, y = 0 ;

б)

3

ìx = 4cos t - 2cos 2t

;

í

= 4sin t - 2sin 2t

î y

в)

r2 = 9cos 2j .

20.

а)

y2 = x - 2, x = 4 ;

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

б)

в)

21.а)

б)

в)

23.а)

б)

в)

25.а)

б)

в)

27.а)

ì	x = a(t − sin t)
ï	y = a(1- cos t) ;
í
ï	y = 0,0 £ t £ 2p
î

ρ = 2cos 5ϕ x2 + y2 =16 x2 =12(y -1)

ìï x = 14 (t - sin t)

ï

ïí y = 1 (1- cos t) ; ïïy = 04,0 £ t £ 2p

ï

î

r = 7(1- cos j) x = arcsin y, x = 0, y = 0

ì		1			(2cos t - cos 2t)
ïx =
		3						;
í
ï y =			1		(2sin t - sin 2t)
		3
î
r =			1 cos 3j
		4
y2 = 8x, x2 = y
ì	=			1		(t	- sin t)
ïx
				3
ï
ï	=			1		(1	- cos t) ;
íy
				3
ï
ï				y = 0,
ï
î

r = 2(1+ cos j). y = ln x, y = ln a, y = ln b, x = 0

62

б)	ì	3
	ï		t;
	íx = cos
	ï	3	t
	îy = sin
в)	ρ = 2cos ϕ .
22. а)	y = ax ,x =1, x = 2, y = 0
б)	ìx = 3cos t			;
	í
	îy = 2sin t

	в)	ρ = 3sin 4ϕ
24.	а)	y = -x2					;
	б)	x + y + 2 = 0
		ì
				2 cos t
		ïx =
		í					;
		ï	= sin t
		î y
	в)	ρ = 7sin 3ϕ .
26.	а)	y = ex , y = e−x ,x =1
	б)	ìx =			cos t
				3
		ï					,
		í y = 4sin t
		ïx ³ 0, y £ 0
		î
	в)	ρ = cos 6ϕ .
28.	а)	xy = 7,
		y =1- x ;

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

30. а)

63

б)

в)

29.а)

б)

в)

	ì	1			(2 cos t	− cos 2t)
	ïx =
		2
	í
			1		(2 sin t − sin 2t)
	ï y =
		2
	î
	;
	ρ = 3cos 2ϕ .
	y = (x +1)2					;
	y2 = x +1
	ì	x = t - sin t
	ï	y =1- cos t ;
	í
	ï	= 0,0 £ t £ 2p
	îy

r = 3(1- cos j).

б)	x =				cos3 t,
			3
	y =			sin3 t ;
			3
	x £ 0, y ³ 0
в)	r =	1 sin 4j .
		2
	x = (y +1)2								;
	x = y + 3
б)	ìx = 2							cos t
						2
	ï
		= 5 2 sin t ;
	í y
	ï	x ³ 0
	î
в)	ρ = cos 7ϕ .

2.2.6 Обчислити довжину дуги кривої, рівняння якої задано в прямокутній системі координат

1.	y = ln x,		£ x £
		3		15

3.y = 1- x2 + arcsin x , 0 ≤ x ≤ 7 / 9

5.	y = −ln cos x , 0 ≤ x ≤ π / 6

7.9y2 = 4(3 - x)3, між

точками перетину з віссю ОУ

9.y = 1- x2 + arccos x , 0 ≤ x ≤ 8/ 9

11. 3x = y3 , 0 ≤ y ≤ 2

	2.	y =	x2		-		ln x	, 1			≤ x ≤ 2
			4				2
				5
		y = ln					,			£ x £
	4.								3			8
				2x

6.y = ex + 6 ,

ln 8 £ x £ ln 15

8.	y = 4 - x2 , між точками
	перетину з віссю ОХ

10.4x2 + y2 = 4 ,

12. y = 1− ln cos x , 0 ≤ x ≤ π / 6

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

64

y = ex +13 ,

13.

ln 15 £ x £ ln 24

y = 2 - ex ,

15.

ln 3 £ x £ ln 8

17.y = 1− ln sin x , π / 3 ≤ x ≤ π / 2

19.y = x - x2 - arccos x + 5 ,

1/ 9 ≤ x ≤1

21.y = ln sin x , π / 3 ≤ x ≤ π / 2

23. y = chx + 3 , 0 ≤ x ≤1

25.y = ln cos x + 2 , 0 ≤ x ≤ π / 6

	27.	ex + e−x
	y =		+ 3 ,
		2

0 ≤ x ≤ 2

29.y = (e2x + e−2x + 3)/ 4 , 0 ≤ x ≤ 2

14.y = -arccos x + x - x2 , 0 ≤ x ≤1/ 4

y = (1- ex - e−x )/ 2 ,

16.0 ≤ x ≤ 3

18.	y =1- ln(x2 -1), 3 ≤ x ≤ 4

20.y = -arccos x + 1- x2 +1,

0 ≤ x ≤ 9 /16

22.y = ln 7 − ln x , 3 £ x £ 8

24.y =1+ arcsin x - 1- x2 , 0 ≤ x ≤ 3/ 4

26.y = ex + 26 ,

ln 8 £ x £ ln 24

28.y = arccos x - x - x2 + 4 , 0 ≤ x ≤1/ 2

30.y = ex + e ,

ln 3 £ x £ ln 15

2.2.7 Обчислити довжину дуги кривої, рівняння якої задано параметричними рівняннями

1.ìx = 5(t - sin t) íîy = 5(1- cos t)

0 ≤ t ≤ π

3.ìx = 4(cos t + t sin t) íîy = 4(sin t - t cos t) 0 ≤ t ≤ 2

2.ìx = 3(2cos t - cos 2t) íî y = 3(2sin t - sin 2t)

0 ≤ t ≤ 2π

4.	ì	2	- 2)sin t + 2t cos t
	ï
	íx = (t
	ïy = (2 - t2)cos t + 2t sin t
	î

0 ≤ t ≤ π

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

5.	ì		3
	ï			t
	íx =10cos
	ï	3		t
	îy =10sin

0 ≤ t ≤ π / 2

7.ìx = 3(t - sin t) íîy = 3(1- cos t) π ≤ t ≤ 2π

9.ìx = 3(cos t + t sin t) íîy = 3(sin t - t cos t) 0 ≤ t ≤ π / 3

11.	ì	3
	ï		t
	íx = 6cos
	ï	3	t
	îy = 6sin

0 ≤ t ≤ π / 3

13.ìx = 2,5(t - sin t) íîy = 2,5(1- cos t)

π / 2 ≤ t ≤ π

15.ìx = 6(cos t + t sin t) íîy = 6(sin t - t cos t)

0 ≤ t ≤ π

17.	ì	3
	ï		t
	íx = 8cos
	ï	3	t
	îy = 8sin

0 ≤ t ≤ π / 6

19.ìx = 4(t - sin t) íîy = 4(1- cos t)

π / 2 ≤ t ≤ 2π / 3

21.ìx = 8(cos t + t sin t) íîy = 8(sin t - t cos t) 0 ≤ t ≤ π / 4

65

6.	ì			t		(cos t + sin t)
	ï
	íx = e			t
	ï					(cos t - sin t)
	îy = e
8.	0	≤ t ≤ π
	ì		1			cos t -		1	cos 2t
	ïx =		2					4
	í
			1 sin t -					1 sin 2t
	ï y =
	î		2					4
	π / 2 ≤ t ≤ 2π / 3
10.	ì		(t		2		- 2)sin t + 2t cos t
	ï
	íx =
	ïy =		(2 - t2 )cos t + 2t sin t
	î	≤ t ≤ π / 3
12.	0
	ì			t		(cos t + sin t)
	ï
	íx = e			t
	ï					(cos t - sin t)
	îy = e

π / 2 ≤ t ≤ π

14.ìx = 3,5(2cos t - cos 2t) íî y = 3,5(2sin t - sin 2t) 0 ≤ t ≤ π / 2

16.	ì		2
				- 2)sin t + 2t cos t
	ï
	íx = (t
	ïy = (2 - t2 )cos t + 2t sin t
	î	≤ t ≤ π
18.	0
	ì	t		(cos t + sin t)
	ï
	íx = e
	ï	t
	îy = e (cos t - sin t)
	0	≤ t ≤ 2π

20.ìx = 2(2cos t - cos 2t) íî y = 2(2sin t - sin 2t)

0 ≤ t ≤ π / 3

22.	ì	2	- 2)sin t + 2t cos t
	ï
	íx = (t
	ïy = (2 - t2 )cos t + 2t sin t
	î

0 ≤ t ≤ 2π

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

23.	ì		3
	ï			t
	íx = 4cos
	ï	3		t
	îy = 4sin

π / 6 ≤ t ≤ π / 4

25.ìx = 2(t - sin t) íîy = 2(1- cos t) 0 ≤ t ≤ π / 2

27.ì x = 2(cos t + sin t) íîy = 2(sin t - t cos t) 0 ≤ t ≤ π / 2

29.	ì	3
	ï		t
	íx = 2cos
	ï	3	t
	îy = 2sin

0 ≤ t ≤ π / 4

66

24.	ì	t	(cos t + sin t)
	ï
	íx = e	t
	ï		(cos t - sin t)
	îy = e

0 ≤ t ≤ 3π / 2

26.ìx = 4(2cos t - cos 2t) íî y = 4(2sin t - sin 2t)

28.	0	≤ t ≤ π
	ì		2
				- 2)sin t + 2t cos t
	ï
	íx = (t
	ïy = (2 - t2)cos t + 2t sin t
	î
30.	0	≤ t ≤ 3π
	ì	t		(cos t + sin t)
	ï
	íx = e
		t

ïy = e (cos t - sin t)

î

π / 6 ≤ t ≤ π / 4

2.2.8 Обчислити довжину дуги кривої, рівняння якої задано в полярних координатах

					3ϕ														4ϕ
	1.							, - p £ j £			p					2.				3 , - p			£ j £		p
		r = 3e			4												r = 2e
									2	2									2				2
									p				p						5ϕ
		r = 2 eϕ
	3.								, - 2	£ j £						4.						, - p	£ j £	p
																			12
												2					r = 5e
																			2				2
					12ϕ														3ϕ
	5.					5 , - p							p			6.	r = 3e				, 0 £ j £ p
		r = 6e								£ j £									4
					4ϕ				2			2											3
																							p
	7.	r = 4e 3 , 0 £ j £ p														8.	r = 2 eϕ, 0 £ j £ 3
					5ϕ					3										12ϕ
	9.								0 £ j £ p							10.	r =12e 5 , 0 £ j £ p
		r = 5e			12			,
										3													3
	11.	ρ =1− sin ϕ, - p £ j £ - p														12.	r = 2(1- cos j),						- p £ j £ p
										2		6											2

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

67

13.	ρ = 3(1+ sin ϕ),		−	π		≤ ϕ ≤ 0		14.	ρ = 4(1− sin ϕ), 0 ≤ ϕ ≤										π
				6															6
15.	ρ = 5(1− cos ϕ),		−	π		≤ ϕ ≤ 0		16.	r = 6sin j,	0 ≤ ϕ ≤						π
				3												3
17.	ρ = 7(1− sin ϕ),		−	π		≤ ϕ ≤	π	18.	ρ = 8(1− cos ϕ), −				2π					≤ ϕ ≤ 0
				6			6						3
19.	r = 2j, 0 ≤ ϕ ≤		3π					20.	r = 2j, 0 ≤ ϕ ≤			4π
		4								3
			5π								12π
21.	r = 2j, 0 ≤ ϕ ≤	12						22.	r = 2j, 0 ≤ ϕ ≤ 5
23.	r = 4j, 0 ≤ ϕ ≤		3π					24.	r = 3j, 0 ≤ ϕ ≤		4π
		4								3
25.	r = 5j, 0 ≤ ϕ ≤	12π						26.	r = 2cos j,	0 ≤ ϕ ≤						π
		5														6
27.	r = 8cos j, 0 ≤ ϕ ≤					π		28.	r = 6cos j,	0 ≤ ϕ ≤						π
						4										3
29.	r = 2sin j, 0 ≤ ϕ ≤ π							30.	r = 8sin j,	0 ≤ ϕ ≤ π
				6												4

2.2.9 Обчислити об′єм тіла, утвореного обертанням фігури,

яка обмежена графіками функцій. В варіантах 1-15 вісь обертання ОХ, в варіантах 16-30 - вісь обертання ОУ

1	y = −x2 + 5x − 6, у=0

2.2x − x2 − y = 0, 2x2 − 4x + y = 0

3.y = 3sin x, y = sin x, 0 ≤ x ≤ π

4.y = 5cos x; y = cos x, x = 0, x ³ 0

5.y = sin2 x, x = π / 2, y = 0

6.y = tgx, x = π4 , y = 0

7.y = xex , y = 0, x =1

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

				68
8.	y = 2x - x2, y = -x + 2 , x=0
9.	ìx = t - sin t		, 0	£ t £ p
	í	- cos t
	îy =1

10.y = e1−x , y = 0,x = 0,x =1

11.y = x2, y2 - x = 0

12.ìx = 3cos t íîy = 2sin t

13.y =1- x2,x = 0, x = y - 2, x =1

14.y = x2, y =1, x = 2

15.y = x3, y = x

16.y = x3, x = 2, y = 0

17.3x2 + 4y2 =12

18.xy =1, y = 1, y = 2, x = 0

19.y = x2, x = 2, y = 0

20.y = x2 +1, y = x, x = 0, x =1

21.y = x -1, y = 0, y =1, x = 0,5

22.y = ln x, x = 2, y = 0

23.y = (x -1)2, y = 1, x = 1

24.y2 = x - 2, y = 0, y =1, x = 0

25.y = x3, y = x2

26.y2 = 3 - x, x = 0

27.y =1+ x2, x = y = 0, x =1

28.y = 5x; x = 5

29.y = x3, y = x

30.y = e3x , y = 2, x = 0

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

69

2.2.10 Обчислити площу поверхні, що утворилася в результаті обертання дуги кривої. (В непарних номерах варіантів вісь обертання ОХ, в парних – вісь обертання ОУ)

1.	y = cos x, 0 £ x £	p
	2

3.y = 2sin x, 0 £ x £ p

5.	y = 4 + x, x1 = 0; x2 = 2

7.3y = x3, 0 £ x £16

9.	y2 = 4x,		0 £ x £ 3
11.	y2 = 8x,		0 £ x £ 6
13.	y2 = 2 + x,				x=1
15.	y = 7 − x,			2 £ x £ 5
17.	y = -(x + 5),				- 4 £ x £ -1
19.	y = ex , 1£ x £ 3
21.	ì		3
	ï	= 3cos		t	0 £ t £ p
	íx
	ï		3	t
	îy = 3sin

23.ìx = 2cos t

í 0 £ t £ p

îy = 2sin t

25.4x2 + y2 = 4,

27.	y =	1 chx,			0	£ x £ 3
29.		2
	y =		x	, y=x

2.	2y	= x2, y =	3
			2

4.y = x - 3, y1 =1; y2 = 2

6.y = 4x, y1 = 0; y2 =12

8.	y = 3x - 2, 1£ y £ 2
10.	y = 2x − 3,	1≤ y ≤ 2
12.	y = 7 − x,	0 ≤ y ≤ 3
14.	y = -(x + 5), - 4 £ y £ -1
16.	y = ex , 2 £ y £ 4
18.	x2 + (y - 4)= 9, 2 £ y £ 5

20.x × y = 7, y1 = 2; y2 = 5

22.	y = 2x3, 1£ y £ 2

24.y =1+ x2, y1 = 2; y2 = 3

26.9y2 = 4x3, x=1

28.	3x = y3, 0 £ y £ 2
30.	4x2 + y2 = 4,

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

70

2.2.11 Знайти координати центра мас однорідної плоскої кривої L

1.L: чверть кола x2 + y2 = R2, яка розташована у першому квадранті;

2.L: перша арка циклоїди x = a(t - sin t), y = a(1- cos t); 0 ≤ t ≤ 2π

3.		2	2	2
L: дуга астроїди	x 3		+ y3	= a 3	, яка розташована в третьому
квадранті ;

4.L: дуга кола радіуса R, яка стягує центральний кут a;

5.L: дуга ланцюгової лінії y = a ch(x - a),(- a £ x £ a);

6.L: дуга кардіоїди r = a(1+ cos j), 0 £ j £ p ;

7.L: дуга логарифмічної спіралі r = aeϕ, (π2 £ j £ p);

8.L:одна арка циклоїди x = 3(t - sin t), y = 3(1- cos t);

9.L: дуга астроїди x = 2cos3(t / 4), y = 2sin3(t / 4), яка розташована у першому квадранті ;

10.L: кардіоїда r = 2(1+ cos j);

11.L: дуга кривої x = et sin t, y = et cos t; 0 £ t £ p2 ;

12.

æ

p ö

L: крива ρ = 2sin ϕ від точки (0; 0) до точки ç

2;

÷;

4

è

ø

13.

L:

дуга

розгортки

кола

x = a(cos t + t sin t);

y = a(sin t - t cos t); 0 ≤ t ≤ π;

14.

L: крива r = 2

cos j, яка

розташована

між

променями

3

j = 0 i

j =

p

;

4

15.L: крива x = 3t2; y = t - t3; 0 ≤ t ≤1;

16.L: дуга лінії 9y2 = 4x3 - x4, яка розташована над віссю ОХ;

17.L: дуга лінії y2 = x2 - x4 , яка розташована в третьому квадранті;

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com