4193

cos3 4x

41

в)

ò

sin x

dx;

в)

(1+ cos x - sin x)2

г)

ò tg78xdx;

г)

д)

ò

dx

.

д)

sin

2

x - 9cos

2

25.

а)

x

26.

а)

òsin 7x ×cos 3x dx;

б)

òcos6 9x ×sin3 9x dx;

б)

в)

ò

sin2 x

dx;

в)

(1+ cos x + sin x)2

г)

òctg-94xdx;

г)

д) ò

dx

д)

3sin2 x - sin 2x + 2cos2 x

27.

а)

òcos5x ×cos xdx;

28.

а)

б)

ò

sin

3 2x

dx;

б)

в)

7 cos5 2x

в)

ò

dx

;

sin x + sin2 x

г)

ò tg

4 x

dx;

г)

д)

5

д)

ò

dx

.

29.

а)

7 - 5sin2 x

30.

а)

òsin 7x ×sin 3xdx;

б)

òsin3 3x ×cos4 3x dx;

б)

cos2 x

ò (1+ cos x - sin x)2 dx;

ò tg62xdx;

dx

ò13sin2 x + cos2 x. òsin 4x ×sin 8x dx;

ò 9sin7 4x dx;

cos2 x

ò (1+ cos x + sin x)2 dx;

ò tg38x dx;

dx

ò 9 - 6cos2 x.

òsin 9x ×cos8xdx;

òsin7 2x cos2 2x dx;

dx

ò (1+ sin x + cos x)2 ;

ò tg54xdx;

dx

ò11sin2 x - 7 cos2 x.

òcos3x ×cos 4xdx;

òsin5 7x ×cos6 7xdx;

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

42

в)	ò	sin x				в)	ò	dx
			dx;							;
		2 + sin x						cos x + cos2 x
г)	ò tg67xdx;					г)	òctg-45x dx;
д)		dx			.	д)	ò	dx			.
ò
	2 sin 2 x − sin 2x + cos2 x							12sin2 x + 9cos2 x
1.4.8		Знайти		інтеграл,		використавши			відповідну

тригонометричну підстановку

1.
	ò		2	- x2	dx
2.				x
	ò		x	2 - 4	dx
				x

3.dx

òx × 2 + x2

4.dx

òx2 × x2 - 9

5.3 + x2

òx dx

6.x2

ò4 - x2 dx

7.x2 + 324

òx dx

8.9 - x2

òx2 dx

11.dx

òx × 16 + x2 dx

12.4 + x2

ò x2 dx

13.dx

òx × 25 - x2 dx

14.x2 + 9

ò x2 dx

15.x2

ò16 - x2 dx

16.2

ò 49 + x dx

x

17.dx

òx × x2 -16

18.x2 + 25

òx2 dx

21.dx

òx2 × x2 - 49

22.49 - x2

òx dx

23.dx

òx × x2 + 7

24.ò x2 × 225 - x2dx

25.x2 - 25

òx2 dx

26.400 - x2

òx dx

27.dx

òx × 5 + x2

28.dx

òx2 196 - x2 dx

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

43

9. ò

dx

19.

dx

29.

dx

ò

x2 -81

ò

x2 × x2 - 36

x × x2 + 81

x2

10

20.

30.

x2

- 25

x2

- 361

100 - x2

.

ò

dx

ò

dx

ò

dx

x

x

x2

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

44

2. ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

2.1 Аудиторні завдання

2.1.1 Користуючись формулою Ньютона-Лейбниця, обчислити наступні інтеграли:

а)	1	1						Відповідь:
				3
	ò x−2 ×e x					dx ;			e	-1
б)	0								3e
	e3	dx						Відповідь:	4
	eò
в)		x ×ln3 x ;							9
	0						1	Відповідь:	7
							7
	ò x2 ×(1+ 2x3)						dx .		24
	−1

2.1.2 Користуючись формулою інтегрування частинами у визначеному інтегралі, обчислити наступні інтеграли:

а)	2ò(2x - 3)exdx ;	Відповідь:	3e - e2
б)	1
	0			2 - p
	òarcsin 2x dx .	Відповідь:
	1		4
	− 2

2.1.3 Користуючись правилом заміни змінної у визначеному інтегралі, обчислити наступні інтеграли:

а)	3		3
	ò		x dx				;					1					5
		(x2 - 3)2
б)	2										Відповідь:	2 ln 6 +					4
	2	ò	3			dx				.			1				1
																-
					x2	x2		+ 4			Відповідь:
		2										2					2
														2				3

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

45

	2.1.4 Обчислити невластиві інтеграли або встановити
їх розбіжність:
а)	∞ln2 x				dx;		Відповідь:	Інтеграл
	2ò		x
б)								розбіжний
	1		x	2				2
	ò					dx .	Відповідь:
								3
	0	1- x3

2.1.5 Обчислити площі фігур, що обмежені наступними лініями:

а)

б)

в)

y = x2 + 2,

y = x, x = 0, x = 3.

	ì
				2			cos3 t
	ïx = 2	×
				3
	ï									;
	í
				2					3
	ï
	ïy = 2	×					sin			t
				3
	î
	r = 4							.
		cos 2j

21

Відповідь: 2 кв.од.

Відповідь: p кв.од.

Відповідь: 16 кв.од.

2.1.6 Обчислити довжину дуги кривої, рівняння якої задано в прямокутній системі координат:

y = arcsin x -			1- x2,	0 £ x £	15 .	Відповідь:	3 2		.
					16		2
2.1.7 Обчислити довжину дуги кривої, рівняння якої
задано параметричними рівняннями:							3
ì	2
							p
ï
íx = (t		- 2)sin t + 2t cos t, 0			≤ t ≤ π / 2 .	Відповідь:		.
							24
ïy = (2 - t2)cos t + 2t sin t
î

2.1.8 Обчислити довжину дуги кривої, рівняння якої задано в полярних координатах: r = 6(1+ sin j), - p2 £ j £ 0 .

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

46

Відповідь: 12

2 .

2

.1.9 Обчислити об′єм тіла, утвореного обертанням

фігури,

яка

обмежена

графіками

функцій

:

2y = x2; 2x + 2y − 3 = 0

навколо вісі ОХ. Відповідь:

18 2 π .

5

2

.1.10 Знайти площу поверхні, утвореної обертанням

навколо вісі ОХ петлі кривої 9y2 = x(3 − x)2 .

Відповідь: 3π кв. од.

2

.1.11 Знайти координати центра мас однорідної

плоскої кривої L: чверті кола

x2 + y2 = 25 ,

розташованої в

третьому квадранті.

Відповідь:

xc = −

10

; yc = − 10 .

π

π

2

.1.12 Знайти координати центра мас плоскої

однорідної

фігури

(платівки),

що

обмежена

параболою

+

=

і осями координат.

Відповідь:

xc = yc = a .

x

y

a

5

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

47

2.2 Індивідуальні завдання

2.2.1 Користуючись формулою Ньютона-Лейбниця, обчислити наступні інтеграли:

1.

а)

3ò(2x + 4)3dx ;

б)

−1

π

4

xdx

в)

0ò

cos2(x2 );

0

x

−ò1

dx .

1+ x4

6

dx

3.

а)

ò

;

3x + 4

1

б)

π / 2

ò

cos x ×sin3 x dx ;

π / 6

в)

−1

ex

ò

dx .

−2 1- e2x

5.

а)

3ò(1+ 2x + 3x2 )dx ;

б)

2

0

ò x ×e−x2 dx ;

−1

в)

5

ò

1+ 5x

dx .

1

2.

а)

1

3x+1

òe

dx ;

б)

0

3 ln(t -1)

ò

t -1

dt ;

2

в)

π

2

cos x

ò

dx .

3sin x + 2

0

x

2

−1

4.

а)

4

ò2

dx ;

б)

0

e ln2 x

ò

x

dx ;

в)

1

5 e

x−1

2ò

dx .

x -1

6.

а)

1ò(3

-

)dx ;

x

x

б)

0

1/ 2 arcsin 2x

ò

dx ;

1- 4x2

−

1

в)

2

1

x +1

ò

dx .

2

+

1

0 x

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

7. а)

б)

в)

9. а)

б)

в)

11. а)

б)

в)

13. а)

б)

48

π / 4

8.

а)

ò sin

(2x - 3)dx ;

0

б)

0

dx

−ò1

;

4x2 - 9

1

x2dx

в)

0ò

.

3 + x6

0

dx

−ò1

;

10. а)

4x2 - 9

π

òsin x ×cos2 x dx ;

б)

−π

1/ 2

2 - 1- x

2

в)

ò

dx .

1- x2

0

3

ò

x +1

dx ;

12.

а)

0

π / 2

e−cos x ×sin x dx ;

б)

ò

0

в)

e

2

+1 1+ ln(x

-1)

dx .

ò

x -1

e+1

e

14.

а)

1+ ln x

dx ;

ò

x

1

б)

2 e

x

ò

dx ;

x

1

	a	dx
	0ò		;
		a2 + (x + 5)2

òπ x ×sin(x2 )dx ;

0
0			x4dx
ò									.
				8 + x5
−1
4	1+
					x		dx ;
ò			x2
1
1/ 3			dx
ò						;
				3x
−	1 e
	3

π/ 6

òcos3 x ×sin 2x dx .

0

e2	dx
ò	x	;
e
1	x2

0ò1+ x3 dx ;

ò3 arctg x + x dx .

0 1+ x2

π

òcos2 x dx ;

0
e
		1+ ln x
ò			dx ;
		x
1

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

в)

15. а)

б)

в)

17. а)

б)

в)

19. а)

б)

в)

21. а)

49

1

x dx

в)

0ò

.

16x4 +1

3

1/ x

16.

а)

ò e

2

dx ;

2

x

б)

5

dx

1ò

;

1+ 3x

sin1ò

(arcsin x)2

+1dx .

в)

0

1- x2

π2 / 4

sin

x dx ;

18.

а)

ò

0

x

1

−

x3

б)

ò x2 ×e

3 dx ;

0

π / 4

ctgx

πò/ 6

dx .

в)

sin2 x

π / 8

dx

0ò

;

20. а)

1+ 4x2

1

arcsin(1- x)

б)

ò

dx ;

1- (1- x)2

1/ 2

1 x3 + x

в)

ò

dx .

4

+

1

0 x

π / 6

ò ctg3x dx ;

22.

а)

π /12

2	x3
0ò		dx .
	4x4 +1

π/ 2

òcos5 x ×sin 2x dx ;

π/ 4

π / 2

dx

0ò

;

4x2

+16

−1

ex

ò

dx .

−2

1- e2x

−

π

4

cos x

ò

dx ;

3

sin x

−

π

2

2

ln 3x

ò

x

dx ;

1

1/ 2

8x - arctg2x

dx .

ò

1+ 4x2

0

1/ 2

dx

ò

;

1-16x2

0

π/ 2

òsin x ×cos x dx ;

0
1
		(arccos x)3
ò2					-1dx .
0			1- x2
π / 2			sin3 x ×cos2 x dx ;
ò
0

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

б)

в)

23. а)

б)

в)

25. а)

б)

в)

27. а)

б)

в)

2 ln(x +1)

ò

x +1

dx ;

1

tg(x +1)

0

−ò1

dx .

cos2(x +1)

1

x5

ò

dx ;

12

+1

0 x

π / 2

dx

0ò

;

cos2 3x

2

2 arcsin2 x

ò

dx .

1- x2

1/ 2

3

dx

ò

;

2

5x

2 ch

0

ò 41- 2x3 × x2dx ;

−1

e2x

1

ò

dx .

4x

- 3

0 e

π / 2

æ x

p

ö

ò

sinç

-

÷ dx ;

2

4

−

π

è

ø

2

x

1

arcsin

ò

2

dx ;

4 - x2

1/ 2

π / 6 sin2 x

ò

cos x

dx .

0

50

б)

в)

24. а)

б)

в)

26. а)

б)

в)

28. а)

б)

в)

4

3 x2 + 9 dx ;

ò x ×

0

π / 2

1- cos x

πò/ 3

dx .

(x - sin x)2

5

dx

ò

;

x

2

+ 2x

+10

2

3

1

1ò

×arctgxdx ;

1+ x2

2

x ×dx

ò

.

x4 -1

2

π

2x ×dx ;

òsh

0

2

x ×dx

ò

;

0

2x2 +1

2

2

x dx

ò

.

0

1+ 3x2

a

x dx

ò

;

a + bx

0

π / 2

cos x

πò/ 4

dx ;

sin2 x

e

4 + ln x

ò

dx .

x

1

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com