Тема 15.2. Скалярне поле

15.2.1. Поверхні і лінії рівня

Розглянемо скалярне поле, що задається функцією . Для наочного уявлення скалярного поля використовують поверхні і лінії рівня.

Поверхнею рівня скалярного поля називається геометричне місце точок, у яких функція має постійне значення, тобто

.(2.1)

Надаючи в рівнянні (2.1) величині різні значення, отримаємо різні поверхні рівня, що у сукупності ніби розрізають поле. Через кожну точку поля проходить тільки одна поверхня рівня. Її рівняння можна знайти шляхом підстановки координат точки в рівняння (2.1) .

Для скалярного поля, утвореного функцією ,поверхнями рівня є безліч концентричних сфер з центрами в початку координат : . Зокрема, приотримаємо, тобто сфера стягається в точку.

Для рівномірно розкаленої нитки поверхні рівня температурного поля (ізотермічні поверхні) являють собою кругові циліндри, загальною віссю яких служить нитка.

У випадку плоского поля рівністьявляє собою рівняннялінії рівня поля, тобто лінія рівня – це лінія на площині , у точках якої функціязберігає постійне значення.

У метеорології, наприклад, сітки ізобар і ізотерм (лінії однакових середніх температур) є лініями рівня і являють собою функції координат точок місцевості.

Лінії рівня застосовуються в математиці при дослідженні поверхонь методом розрізів.

15.2.2. Похідна за напрямом

Для характеристики швидкості зміни поля в заданому напрямку введемо поняття “ похідної за напрямом ”.

Візьмемо в просторі, де задане поле , деяку точкуі знайдемо швидкість зміни функціїпри русі точкиу довільному напрямку. Нехай вектормає початок у точціі напрямні косинуси.

Приріст функції , що виникає при переході від точкидо точкиу напрямку векторавизначається так

,

або (див. рис. 2). Тоді

Рис. 2

.

Похідною від функції в точці за напрямомназивається границя

Похідна за напрямом характеризує швидкість зміни функції (поля) у точціза цим напрямом. Якщо, то функціязростає в напрямку, якщо, то функціяу напрямкуспадає. Крім того, величинаявляє собою миттєву швидкість зміни функції у напрямку в точці: чим більше, тим швидше змінюється функція. У цьому полягає фізичний зміст похідної за напрямом.

Виведемо формулу для обчислення похідної за напрямом, вважаючи, що функція диференційована в точці. Тоді її повний приріст в цій точці можна записати так :

,

де - нескінченно малі функції при.

Оскільки ,,, то

.

Перейшовши до границі при , отримаємо формулу для обчислення похідної за напрямом:

(2.2)

У випадку плоского поля маємо:,. Формула (2.2) набуває вигляду:

.

Зауваження. Поняття похідної за напрямом є узагальненням поняття частинних похідних . Їх можна розглядати як похідні від функціїза напрямом координатних осей. Так, якщо напрямок збігаєтьсяз додатнім напрямком осі , то поклавши у формулі (2.2) , отримаємо.

Приклад 2.1. Знайти похідну функції в точців напрямку від цієї точки до точки.

○Знаходимо вектор і його напрямні косинуси :

, ,,.

Знаходимо частинні похідні функції й обчислюємо їхнє значення в точці :

, ,,

, ,.

Отже, за формулою (2.2) маємо :

.

Оскільки , то задана функція в даному напрямку спадає. ●