15.3.4. Циркуляція поля

Нехай векторне поле утворене вектором (3.1). Візьмемо в цьому полі деяку замкнену криву і виберемо на ній певний напрямок.

Нехай - радіус-вектор точки на контурі . Відомо, що вектор, напрямлений по дотичній до кривої в напрямку її обходу (див. рис. 10) і , де- диференціал дуги кривої.

Рис. 10

Криволінійний інтеграл по замкнутому контурі від скалярного добутку векторана вектор, дотичний до контуру, називаєтьсяциркуляцією вектора вздовж , тобто

. (3.10)

Розглянемо різні форми запису циркуляції. Оскільки

,

де - проекція векторана дотичну, проведену в напрямку обходу кривої, то рівність (3.10) можна записати у вигляді

, (3.11)

або

(3.12)

Циркуляція , записана у вигляді (3.12) має простий фізичний зміст: якщо криварозташована в силовому полі, то циркуляція – це робота силиполя при переміщенні матеріальної точки вздовж.

Відзначимо, що вздовж замкнених векторних ліній циркуляція відмінна від нуля, тому що в кожній точці векторної лінії скалярний добуток зберігає знак: додатній, якщо напрямок векторазбігаєтьсяз напрямком обходу векторної лінії; від’ємний – у іншому випадку.

Приклад 3.5. Знайти циркуляцію вектора поля лінійних швидкостей тіла обертання (див. приклад 1.2) вздовж замкненої кривої, що лежить у площині, перпендикулярній осі обертання.

○Будемо вважати, що напрямок нормалі до площини збігається з напрямком осі. Відповідно до формули(3.12), маємо:

,

де - площа поверхні, обмежена кривою.

Помітимо, що якщо нормаль до поверхні утворить кутз віссю, то циркуляція буде рівною; зі зміною кутавеличиназмінюється. ●

Приклад 3.6.Обчислити циркуляцію векторного поля

вздовж периметра трикутника з вершинами ,,(див. рис. 11).

○ Відповідно до формули (3.12), маємо:

.

Рис. 11

На відрізку :,, отже,

.

На відрізку :,, отже,

На відрізку :,, отже,

.

Отже, . ●

15.3.5. Ротор поля. Формула Стокса Ротором (або вихором) векторного поля

називається вектор, що позначається й визначається формулою

(3.13)

Формулу (3.13) можна записати за допомогою символічного визначника у вигляді, зручному для запам'ятовування:

.

Відзначимо деякі властивості ротора.

1. Якщо - постійний вектор, то.

2. , де .

3. , тобто ротор суми двох векторів дорівнює сумі роторів доданків.

4. Якщо - скалярна функція, а- векторна, то

.

Ці властивості легко перевірити, використовуючи формулу (3.13). покажемо, наприклад, справедливість властивості 3:

Використовуючи поняття ротора і циркуляції, векторного поля, запишемо відому в математичному аналізі формулу Стокса:

. (3.14)

Ліва частина формули (3.14) являє собою циркуляцію вектора по контуру, тобто(див. (3.11)), тобто

.

Отже, формулу Стокса можна записати у вигляді

Рис. 12

. (3.15)

Таке представлення формули Стокса називають її векторною формою. У цій формулі додатній напрямок на контурі і вибір сторони у поверхніпогоджені між собою так само, як у теоремі Стокса.

Формула (3.15) показує, що циркуляція вектора вздовж замкненого контурудорівнює потоку ротора цього векторачерез поверхню, що лежить у полі векторай обмежену контуром(натягнутий на контур) (див. рис. 12).

Використовуючи формулу (3.14), можна дати інше означення ротора поля, еквівалентне першому і не залежне від вибору координатної системи.

Для цього застосуємо формулу Стокса (3.15) для досить малої плоскої площі з контуром, що містить точку.

За теоремою про середнє для поверхневого інтеграла (властивість 7) маємо:

,

де - якась (середня) точка площі(див. рис. 13).

Рис.13

Тоді формулу (3.15) можна записати у вигляді

.

Звідси:

.

Нехай контур стягається в точку. Тоді, а. Перейшовши до границі отримаємо:

.

Ротором вектора в точці називається вектор, проекція якого на кожний напрямок дорівнює границі відношенню циркуляції вектора по контуру плоскої площадки, перпендикулярної цьому напрямку, до площі цієї площадки.

Як видно з означення, ротор вектора є векторна величина, що утворює власне векторне поле.

Дамо фізичне тлумачення поняття ротора векторного поля. Знайдемо ротор поля лінійних швидкостей твердого тіла, що обертається навколо осі з постійною кутовою швидкістю (приклад 1.2), тобто ротор вектора.

За означенням ротора

.

Ротор цього поля напрямлений паралельно осі обертання, його модуль дорівнює подвоєній кутовій швидкості обертання.

З точністю до числового множника ротор поля швидкостей являє собою кутову швидкість обертання твердого тіла. З цим зв'язана сама назва “ротор” (лат. “обертання”).

Зауваження. З означення (3.13) ротора випливає, що напрямок ротора – це напрямок, навколо якого циркуляція має найбільше значення (густину) у порівнянні з циркуляцією навколо будь-якого напрямку, що не збігається з нормаллю до площадки .

Тому зв'язок між ротором і циркуляцією аналогічний зв'язку між градієнтом і похідною за напрямом.