15.3.3. Дивергенція поля. Формула Остроградського – Гаусса

Важливою характеристикою векторного поля (5.1) є так звана дивергенція, що характеризує розподіл і інтенсивність джерел і стоків поля.

Дивергенцією (або розбіжністю) векторного поля

у точці називається скаляр виглядуі позначається символом, тобто

(3.6)

Відзначимо деякі властивості дивергенції.

1. Якщо - постійний вектор, то.

2. , де .

3. , тобто дивергенція суми двох векторних функцій дорівнює сумі дивергенції доданків.

4. Якщо - скалярна функція,- вектор, то.

Ці властивості легко перевірити, використовуючи формулу (3.6). Доведемо, наприклад, справедливість властивості 4.

Оскільки , то

.

Використовуючи поняття потоку і дивергенції векторного поля, запишемо відому в аналізі формулу Остроградського – Гаусса

(3.7)

у так званій векторній формі.

Розглядаючи область , обмежену замкненою поверхнею, у векторному полі (3.1), можна стверджувати, що ліва частина формули (3.7) є потік векторачерез поверхню; підінтегральна функція правої частини формули є дивергенція вектора. Отже, формулу (3.7) можна записати у вигляді

(3.8)

(у якій вона найчастіше і зустрічається).

Формула Остроградського-Гаусса означає, що потік векторного поля через замкнену поверхню (у напрямку зовнішньої нормалі, тобто зсередини) дорівнює потрійному інтегралу від дивергенції цього поля по об’єму, обмеженому даною поверхнею.

Використовуючи формулу (3.8), можна дати інше означення дивергенції векторного поля в точці(не зв'язане з вибором координатних осей).

За теоремою про середнє для потрійного інтеграла маємо:

,

де - деяка (середня) точка області. Тоді формулу (3.8) можна переписати у вигляді. Звідси

.

Нехай поверхня стягується в точку. Тоді, і ми отримаємо вираз дляв точці:

. (3.9)

Дивергенцією векторного поля в точці називається границя відношення потоку поля через (замкнену) поверхню, що оточує точку, до об’єму тіла, обмеженого цією поверхнею, за умови, що вся поверхня стягується в точку.

Означення (3.9) дивергенції еквівалентно (можна показати) означенню (3.6).

Як видно з означення, дивергенція векторного поля в точці є скалярною величиною. Вона утворює скалярне поле в даному векторному полі.

Виходячи з фізичного змісту потоку (звичайно умовно вважають, що є поле швидкостей фіктивного стаціонарного потоку нестискаючої рідини), можна сказати, що: приточкаявляє собою джерело, звідки рідина витікає, приточкає сток, що поглинає рідину. Як випливає з рівності (3.9), величинахарактеризує потужність (інтенсивність, щільність) або джерела, або стоку в точці. У цьому полягає фізичний зміст дивергенції.

Зрозуміло, що якщо в об’ємі , обмеженому замкненою поверхнею, немає ні джерел, ні стоків, то.

Векторне поле, у кожній точці якого дивергенція поля дорівнює , тобто, називаєтьсясоленоїдальним (або трубчастим).

Приклад 3.4. Знайти дивергенцію поля лінійних швидкостей рідини, що обертається як тверде тіло навколо нерухомої осі із сталою кутовою швидкістю.

○ Приймемо за вісь обертання рідини вісь . Тоді, як показано раніше (див. приклад 3.2), . Маємо:

.

Поле – соленоїдальне.●