15.5.2. Потенціальне поле

Векторне поле називаєтьсяпотенціальним (або безвихровим, або градієнтним), якщо у всіх точках поля ротор дорівнює нулю, тобто . Прикладом потенціального поля є електричне поле напруженості точкового заряду (і інші).

Наведемо основні властивості потенціального поля.

1. Циркуляція потенціального поля по будь-якому замкненому контуру в цьому полі дорівнює нулю.

Це безпосередньо випливає з формули (3.14). Отже, . Зокрема, для силового потенціального поля це означає, що робота сили по будь-якому замкненому контурі дорівнює нулю; у полі швидкостей рідини, що тече, рівністьозначає, що в потоці немає замкнених струйок, тобто немає водоворотів.

2. У потенціальному полі криволінійний інтеграл вздовж будь-якої кривоїз початком у точціі кінцем у точцізалежить тільки від положення точокіі не залежить від форми кривої.

Рис. 15

Ця властивість випливає з властивості 1. дійсно, взявши в полі дві точки і, з'єднаємо їх двома кривимиітак, щоб контурлежав всередині поля (див. рис. 15)

Тоді, внаслідок властивості 1, маємо

.

Враховуючи властивості криволінійного інтеграла, отримуємо:

,

тобто

.

3. Потенціальне поле є полем градієнта деякої скалярної функції , тобто якщо, то існує функціятака, що.

З рівності випливає, що,,тобто виразє повним диференціалом деякої функції. Цю функцію називають потенціалом векторного поля;.

Звідси: ,,, Отже,

,

тобто вектор поля є градієнтом скалярного поля.

Зауваження. З рівності випливає обернене твердження – поле градієнта скалярної функціїє потенціальним.

З рівності випливає, що потенціальне поле визначається заданням однієї скалярної функції- його потенціалу. Потенціал векторного поля може бути знайдений за формулою

(5.1)

де - координати фіксованої точки,- координати довільної точки. Потенціал визначається з точністю до довільного постійного доданку (тому що).

Довільне ж векторне поле вимагає задання трьох скалярних функцій (,,- проекції вектора поля на осі координат).

Зауваження. Означення потенціального поля може бути дане інакше – векторне поле називається потенціальним, якщо воно є градієнтом деякого скалярного поля, тобто. (Іноді пишуть; знак “мінус” пишуть для зручності, звичайно векторні лінії направлені вбік спадання: потік рідини направлений туди, де тиск менший; теплота переміщується від більш нагрітого місця до менш нагрітого і т.д.)

Приклад 5.1. Встановити потенціальність поля

і знайти його потенціал.

○Маємо:

.

Отже, поле вектора потенціальне.

Знайдемо потенціал за формулою (5.1), вибравши фіксовану точку початок координат, тобто. Тому що,,, то

. ●

15.5.3.Гармонійне поле

Векторне поле називаєтьсягармонійним (або лапласовим), якщо воно одночасно є потенціальним і соленоїдальним, тобто якщо і.

Прикладом гармонійного поля є поле лінійних швидкостей стаціонарного безвихрового потоку рідини при відсутності в ньому джерел і стоків.

Тому що поле потенціальне, то його можна записати у вигляді, де- потенціал поля.

Але оскільки поле одночасно і соленоїдальне, то

,

або, що те ж саме,

,

тобто потенціальна функція гармонійного поляє розв’язком диференціального рівняння Лапласа. Така функція називається, як уже згадували, гармонійною.

27