Решение.

Зависимость между температурой и объёмом при адиабатном сжатии выражается уравнением Пуассона:

= (1)

где Т₁,V₁– соответственно абсолютная температура и объём до сжатия воздуха;

Т₂,V₂– те же величины после сжатия воздуха;

 = – отношение теплоёмкости газа при постоянном давлении С_р к

теплоёмкости газа при постоянном объёме С_V.

Из теории теплоёмкостей газов известно, что

=,

где i– число степеней свободы молекулы газа.

Так как воздух – газ двухатомный, то i= 5 и, следовательно,

= = 1,4.

Из формулы (1) получим Т₂=Т₁

Выразим числовые значения величин в СИ: Т= 273 К, V₁/V₂= 3

Подставим числовые значения и вычислим

Т₂= 273 · 3^{(1,4 – 1)} = 273 · 3^0,4 (К).

Прологарифмируем обе части полученного равенства:

lgT₂ = lg273 + 0,4 lg3 = 2,436 + 0,4 · 0,477 = 2,6268.

По значению lgT₂, пользуясь таблицей антилогарифмов, найдём:

Т₂= 424 К, илиt₂= (T₂– 273)C= (424 – 273)C= 151C.

Ответ: 151C.

Пример 2.10. Гелий массойm= 321г, находившийся первоначально при температуреt₁= 20Cи давлениир₁= 1,0010⁵Па, сжимают адиабатически до давленияр₂= 10010⁵Па. Определить температуруТ₂газа в конце сжатия; работуА, совершаемую газом; во сколько раз уменьшится объём газа.

m= 321г

t₁= 20C

р₁= 1,0010⁵Па

р₂ = 10010⁵Па

Т₂= ?; А = ?;V₁/V₂= ?

Решение.

Из уравнения Пуассона для адиабатического процесса имеем:

, (1)

где Т₁иТ₂– начальная и конечная температуры газа;

p₁иp₂– начальное и конечное давление газа;

– отношение удельных теплоемкостей газа.

Т.к. гелий одноатомный газ, то i= 3. Тогда.

Из один получим . (2)

Выразим значения величин в СИ: Т₁= (20+273) = 293 К,m= 0,321кг

Подставим числовые значения в (2) и вычислим:

Работа, совершаемая при адиабатическом изменении давления газа, может быть найдена по формуле

.

Подставим данные условия:

m= 0,321кг;М= 410^–3 кг/моль;R= 8,31; γ = 1,67;Т= 293К.

.

Чтобы найти, во сколько раз уменьшится объём газа, снова применим уравнение Пуассона

.

Откуда .

Ответ: Т₂= 1848,7 К; А = -1,56 ∙ 10⁶Дж; в 15,8 раз.

Пример 2.11. Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно, совершает за один цикл работу 93,6кДж. Температура нагревателяТ₁= 400К, температура холодильникаТ₂= 273К. Найти к.п.д. η машины; количество теплоты, получаемое машиной за один цикл от нагревателя; количество теплоты, отдаваемое за один цикл холодильнику.

А = 93,6 кДж

Т₁= 400К

Т₂ = 273К

η = ?; Q₁= ?;Q₂= ?

Решение.

К.п.д. идеального цикла Карно определяется выражением:

, (1)

где Т₁иТ₂– температуры нагревателя и холодильника

К.п.д. тепловой машины:

, (2)

где Q₁– количество теплоты, переданное рабочему телу,

Q₂– количество теплоты, отданное холодильнику,

А– работа цикла,А=Q₁–Q₂.

Выразим значения величин в СИ: А = 93,6 ∙ 10³Дж

Из (2) получим:

Q₁=

Q₂ = Q₁ – A = 294,810³ – 93,610³ = 201,310³ (Дж) = 201,3 (кДж).

Ответ: η = 0,32; Q₁ = 294,8 кДж; Q₂ = 201,3 кДж.

Пример 2.12. Найти изменение энтропии при превращенииm= 0,1кгльда приt₁= –5Cв пар приt_п = 100С.

m= 0,1кг

t₁= –5C

t_п = 100

∆S= ?

Решение.

Изменение энтропии определяется формулой

,

где S₁– энтропия в первом состоянии,S₂– энтропия во втором состоянии.

Общее изменение энтропии складывается из изменения её в отдельных процессах.

1. Сначала нагревают лёд от температуры t₁до температуры плавления льда (t₂= 0C= 273K=T₂). При этом

dQ=mс₁dT,

где с₁– удельная теплоёмкость льда.

Тогда .

2. Плавление льда происходит при постоянной температуре Т₂, при этом количество теплоты, затрачены на плавление льда:

,

где λ – удельная теплота плавления.

Тогда изменение энтропии при плавлении льда:

.

3. Нагревание воды происходит от Т₂доТ₃, гдеТ₃= 283К– температура кипения воды. При этом

dQ=mс₂dT,

где с₂– удельная теплоёмкость воды.

Изменение энтропии при нагревании воды

.

4. Испарение воды происходит при температуре Т₃. Количество теплоты, затраченное на испарение:

,

где r– удельная теплота парообразования.

Изменение энтропии при испарении

.

Общее изменение энтропии

ΔS= ΔS₁+ ΔS₂ +ΔS₃+ ΔS₄=m.

Подставив данные условия M = 0,1кг; с₁ = 2,110³Дж/(кгК); Т₁ = 268К; Т₂= 273К; Т₃ = 373К; с₂ = 4,1910³Дж/(кгК); λ = 3,3510⁵Дж/кг; r = 2,2610⁶ Дж/кг.

получим:

=863,3 (Дж/К).

Ответ: ∆S= 863,3Дж/К.