ПРАВИЛЬНЫЕ ОТВЕТЫ НА ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТЕСТЫ

№ теста	№ темы		Номера вопросов/номера правильных ответов
		1	2	3	4	5	6
1	1.1	B	C	A	B	C	D
2	1.2	C	C	A	C	C	D
3	2.1	C	B	B	A	C
4	3.1	A	B	C	C	A	B
5	3.3	A	B	C	B	C	B
6	3.4	A	B	C	A	B	C
7	3.4	C	A	B	A	B
8	3.5	A	D	D	A	A	A
9	4.1	B	B	C	B	D
10	4.2	C	A	B	D	C
11	4.4	D	B	C	D

4.3.Итоговый контроль

4.3.1.Вопросы для подготовки к экзамену (2 семестр)

1.Теорема Ролля, ее геометрический смысл.

2.Теорема Коши. Формула конечных приращений Лагранжа, ее геометрический смысл.

3.Правило Лопиталя.

4.Формула Тейлора для функции одной переменной с остаточным членом в форме Лагранжа. Формулы Тейлора первого и второго порядков.

5.Формулы Тейлора (Маклорена) для функций y = ex, y = sinx, y = cosx в окрестности точки x = 0.

6.Необходимое и достаточное условия возрастания (убывания) функции y = f (x).

7.Определение экстремума функции y = f (x). Необходимое условие экстремума.

8.Достаточное условие экстремума, использующее первую производную.

9.Достаточное условие экстремума, использующее вторую производную.

10.Определение выпуклости и вогнутости графика функции y = f (x). Признак выпуклости (вогнутости).

11.Достаточное условие точки перегиба графика функции y = f (x).

12.Асимптоты графика функции y = f (x). Правило нахождения вертикальных и невертикальных асимптот.

13.Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции y = f (x) на

отрезке.

14.Комплексные числа. Действия с комплексными числами в алгебраической форме.

15.Геометрическое изображение комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа.

16.Возведение комплексного числа в натуральную степень. Формула Муавра.

17.Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа.

18.Первообразная и неопределенный интеграл. Теорема о структуре множества первообразных для данной функции.

19.Свойства неопределенного интеграла. Инвариантность формул интегрирования.

20.Таблица основных первообразных.

21.Замена переменной в неопределенном интеграле

22.Формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

23.Определение простейших дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие.

24.							A
	Интегрирование простейших рациональных дробей вида							.
							(x a)k
25.	Интегрирование		простейших	рациональных		дробей			вида
Mx N		( p2 4q 0) .
x2 px q
26.	Интегрирование		тригонометрических		выражений				вида

R(sin x, cos x) с помощью универсальной тригонометрической подстановки
t tg		x		.
	2
27.				Интегрирование			тригонометрических			выражений	вида
R(sin x) cos x, R(cos x) sin x .
28.				Интегрирование			иррациональных			выражений	вида
				m1	ax b		mk
	ax b n1						nk
R x,					,...,
	cx d				cx d
										вида R x,	x2 a2 ,
29.				Интегрирование иррациональных					выражений
R x,			a2 x2 ,		R x,	a2 x2 ,			с помощью	тригонометрических

подстановок.

30.Понятие определенного интеграла.

31.Теорема существования определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла.

32.Свойства определенного интеграла.

33.Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Барроу о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом.

34.Связь между определенным и неопределенным интегралами. Формула Ньютона-Лейбница.

35.Замена переменной в определенном интеграле.

36.Формула интегрирования по частям для определенного интеграла.

37.Несобственный интеграл от непрерывной функции по бесконечному промежутку.

38.Несобственный интеграл от неограниченной функции по конечному промежутку.

39.Определение абсолютной сходимости несобственного интеграла. Признак сравнения. Геометрическая иллюстрация признака сравнения.

40.Вычисление площадей плоских фигур в декартовых и полярных координатах.

41.Вычисление объемов тел по известным площадям поперечных сечений. Вычисление объемов тел вращения.

42.Вычисление длины дуги плоской кривой в декартовых координатах и кривой, заданной параметрически.

43.Вычисление площади поверхности вращения.

44.Определение функции нескольких переменных. Функция n переменных как функция точки в n-мерном пространстве.

45.Частные приращения и частные производные. Геометрический смысл частной производной функции двух переменных.

46.Дифференцируемость функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости функции двух переменных. Определение полного дифференциала.

47.Дифференцирование сложной функции одной и двух переменных. Полная производная. Инвариантность формы полного дифференциала.

48.Неявные функции одной переменной. Теорема о неявной функции. Дифференцирование неявной функции одной переменной.

49.Неявные функции двух переменных. Дифференцирование неявной функции двух переменных.

50.Частные производные и дифференциалы высших порядков.

51.Формула Тейлора для функции двух переменных.

52.Определение экстремума функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.

53.Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области.

54.Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала.

4.3.2.Типовые задачи для подготовки к экзамену (2 семестр)

1.Найти пределы, используя правило Лопиталя

a ) lim e x

sin x 1 ,

á ) lim

x1 e 2 x ,

â) lim

ln x

,

ctgx

x 0

ln(1 x )

x 0

x 0

ã) lim (1 x ) tg

x

,

ä ) lim

1

,

å) lim

1 sin x

2

ctgx

x

.

x 1

x 0

x 0

x

2. Провести полное исследование и построить график функции

а) y

x2 1

,

б) y x2e x ,

в) y e x2 ,

x2 1

x3

г) y

x

,

д) y

.

1

x2

3

x2

3. Выполнить действия и изобразить число на комплексной плоскости. Найти модуль и главное значение аргумента.

	а)	1 i	,	б)			2	,	в) (4 i)(3 5i).
		2i			1		3i

4. Найти интегралы

1)		cos x	dx;	2)		arctgx	dx;
	4 sin3 x
						1 x2
5)			dx	; 6)		dx		;
		x2 x 2 x2 4				x x 5 x2

	3) tg2 xdx;				4) sin3xcos5xdx;
	7)			cos xdx	; 8)			tgx	dx;
		1		sin x cos x		1		tgx

9) xarctgxdx;

10) ln(x 1) dx;

x 1

11)

x 4

dx;

12)

xdx

; 13)

2x 1

dx.

x2 2x

5

1 2x x2

x2 4x 13

5. Вычислить определенные интегралы

1 tg 2 x

1

5

3

a)

x arcsin

xdx;

á )

( x 2)dx;

â)

dx .

1 tgx 3

0

1

4

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

		2			y 5
	y x		;		x 0 ;		в) a(1 cos ) .
а)				б)
y x			2		2	5x
				y
7. Вычислить длину дуги				а) кривой y x32 , отсеченной прямой
y 8;
				x a(t sin t)			;
б) одной арки циклоиды
				y a(1 cos t)

в) первого завитка спирали a .

8. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох

	а) дуги кривой	x3	от x 2 до x 2 ;
		3
					от t 0 до t .
	б) линии x a cos3 t,			y a sin3 t

9. Определить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями

а)

xy 4,

x 1,

x 4,

y 0 - вокруг оси Ox ,

б)

y2 4 x,

x 0 - вокруг оси Oy.

10.

Найти несобственные интегралы или доказать их расходимость

2x

dx

1

x 1

e

dx

1)

dx, 2)

,

3)

dx,

4)

.

x2

1 x2

3 x

x ln x

0

1

1

1

11.

Указать область определения функции и сделать чертеж области

a)z x y,

б)z

y

, c)z

1

x2

y2

,

д)z

x y

x

4

9

4

12.

Найти полные дифференциалы первого и второго порядка для функций

a)z x2 y,

b)z x ln y,

c)z arcsin

y

3 z

x

13.

Найти

, если z x3

sin(xy).

x2 y

14.

Найти

dz

,

если z uv , где u arcsin x,

v tgx.

dx

dz

15.

Найти

z

и

,

если z x2 y, где y cos x.

x

dx

16.

Найти

z

и

z

, если функция z z(x, y) задана неявно уравнением

x

y

2 sin(x 2 y 3z) x 2 y 3z.

17. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

x2 y2 (z 5)2

0 в точке A(4, 3, 0).

18.Найти экстремумы функции z x3 8y3 6xy 1.

19.Найти наибольшее и наименьшее значение функции

а) z xy в треугольнике, ограниченном прямыми x 1, y 1, x y 1;

б) z x2 2 y2 4xy 6x 1в области, ограниченной прямыми

x 0,

y 0,

x y 2.

20. Используя метод множителей Лагранжа, найти условный экстремум функции z 1x 1y при условии x y 2.

Содержание

1.	Информация о дисциплине	3
1.1.	Предисловие	3
1.2.	Содержание дисциплины и виды учебной работы	4
2.	Рабочие учебные материалы	5
2.1.	Рабочая программа	5
2.2.	Тематический план дисциплины	7
2.3.	Структурно-логическая схема дисциплины	12
2.4. Временной график изучения дисциплины		13
2.5.	Практический блок	13
2.6.	Балльно-рейтинговая система оценки знаний	14
3.	Информационные ресурсы дисциплины	15
3.1.	Библиографический список	15
3.2. Опорный конспект лекций по дисциплине		16
	1. Дифференциальное исчисление функции одной	16
	переменной
	1.1. Основные теоремы о дифференцируемых функциях	16
	1.2. Применение производной для исследования	29
	функции	44
	2. Элементы высшей алгебры
	2.1. Основные сведения о комплексных числах	44
	2.2. Основные сведения о рациональных функциях	51
	3. Неопределенный и определенный интегралы	60
	3.1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его
	свойства. Метод непосредственного интегрирования	60
	3.2. Методы вычисления неопределенных интегралов	69
	3.3. Интегрирование рациональных, иррациональных и
	тригонометрических функций	75
	3.4. Определенный интеграл, его свойства и
	приложения	86
	3.5. Несобственные интегралы с бесконечными
	пределами и от неограниченных функций	106
	4. Функция нескольких переменных	113
	4.1. Функции нескольких переменных	114
	4.2. Дифференцирование функций нескольких
	переменных	125
	4.3. Некоторые приложения частных производных	143
	4.4. Дифференциальная геометрия поверхностей	151
3.3.	4.5. Основы функционального анализа	154
	Учебное пособие	155
3.4.	Глоссарий	155

3.5.Технические и программные средства обеспечения

дисциплины

164

3.6.Методические указания по проведению практических

занятий	165
4. Блок контроля освоения дисциплины	165

4.1.Методические указания по выполнению контрольных

работ и задания на контрольные работы		165
4.1.1. Методические указания по выполнению к.р.№3		166
4.1.2.	Методические указания по выполнению к.р.№4	184
4.1.3.	Задания на контрольные работы	195
4.2. Текущий контроль (тестовые задания)		203

4.3Итоговый контроль (вопросы и типовые задачи для

подготовки к экзаменам)	212
4.3.1. Вопросы для подготовки к экзамену (2 семестр)	212
4.3.2. Типовые задачи для подготовки к экзамену
(2 семестр)	214

Математика Часть 1 2-й семестр

Учебно-методический комплекс

Технический редактор Т.В. Шабанова Сводный темплан 2009 г.

Лицензия ЛР №020308 от 14.02.97

__________________________________________________________________

Подписано в печать		Формат 60х84 1/16
Б. кн.-журн.	П.л.14,25 Б.л. 7,125	Изд-во СЗТУ
Тираж 1000		Заказ

__________________________________________________________________

Северо-Западный государственный заочный технический университет Издательство СЗТУ, член Издательско-полиграфической ассоциации университетов России

191186, Санкт-Петербург, ул. Миллионная, д. 5