13.Что нужно делать, чтобы разложить правильную рациональную дробьнапростейшиеспомощьюметоданеопределенныхкоэффициентов?

14.Что нужно делать, чтобы разложить правильную рациональную дробьнапростейшиеспомощьюметодачастныхзначений?

15.Можно ли при определении коэффициентов разложения правильной рациональной дроби на простейшие дроби комбинировать метод неопределенныхкоэффициентовиметодчастныхзначений?

16.Что нужно делать, чтобы представить неправильную рациональную дробь в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби?

3.НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Данный раздел включает в себя пять тем:

3.1.Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Метод непосредственного интегрирования.

3.2.Методы вычисления неопределенных интегралов.

3.3.Интегрирование рациональных, иррациональных и

тригонометрических функций.

3.4.Определенный интеграл, его свойства и приложения.

3.5.Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций.

Врубрике «решение задач» дан подробный разбор типовых примеров. После изучения раздела студентам очно-заочной и заочной форм обучения надо решить три задачи из контрольной работы № 3 и две задачи из контрольной работы № 4 в соответствии со своим вариантом.

3.1.Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Метод непосредственного интегрирования.

При изучении данной темы Вам предстоит ознакомиться со следующими вопросами:

Первообразная и неопределенный интеграл.

Свойства неопределенного интеграла.

Таблица основных интегралов и метод непосредственного интегрирования.

После изучения данных материалов Вам следует ответить на вопросы для

самопроверки и решить тест №4.

Если Вы будете испытывать затруднения в ответах, обратитесь к [2], глава 1, с. 4-9 и к глоссарию – краткому словарю основных терминов и положений.

61

Первообразная и неопределенный интеграл

В разделе “Дифференциальное исчисление функций одной переменной” было введено понятие производной функции и были получены правила ее нахождения. Теперь мы переходим к решению обратной задачи, а именно: известна функция f (x) , требуется найти такую функцию F (x) , производная

которой F (x) совпадает с f (x) . С точки зрения механики это означает, что по известной скорости v(t) движения материальной точки по прямой требуется найти закон ее движения S(t) , учитывая, что S (t) v(t) .

Исходным понятием в интегральном исчислении является понятие первообразной.

Определение. Функция F (x) называется первообразной функцией

для функции f (x) на некотором промежутке, если во всех точках этого

промежутка функция f (x) является производной для функции F(x) , т.е.

F (x) f (x) .

Пример. Функция F(x) x3 является первообразной для функции

f (x) 3x2 на всей числовой оси.

Задача о нахождении первообразной для данной функции имеет не единственное решение. Так, например, для функции cos x первообразными

будут функции sin x, sin x 5, sin x 3 , и вообще любая функция вида

sin x C , где C - произвольное число. Структура множества всех первообразных для данной функции f (x) определяется следующей теоремой.

Теорема. Если F (x) - первообразная для функции f (x) на некотором промежутке, то любая первообразная для f (x) на этом промежутке может быть представлена в виде F (x) C , где C - некоторая постоянная.

Определение. Совокупность всех первообразных для функции f (x) на некотором промежутке называется неопределенным интегралом от f (x) на этом промежутке и обозначается символом

f (x)dx .

Здесь	функция	f (x)	называется подынтегральной	функцией,
произведение	f (x)dx	- подынтегральным выражением, а переменная			x -
переменной	интегрирования.		Итак, если функция F (x)	- одна	из
первообразных для f (x) , то по определению
		f (x)dx F(x) C .			(3.1)
Операцию нахождения неопределенного интеграла (3.1) называют
интегрированием функции f (x)			(взятием интеграла).
Пример. Пусть		f (x) cos x , тогда легко видеть, что
			cos xdx sin x C .

Приведем без доказательства следующую теорему существования неопределенного интеграла.

62

Теорема. Если функция f (x) непрерывна на некотором промежутке, то

на этом промежутке она интегрируема, т.е. имеет первообразную и, следовательно, неопределенный интеграл.

В частности, из этой теоремы следует, что всякая элементарная функция в своей

области определения имеет неопределенный интеграл.

	Свойства неопределенного интеграла
Свойство 1.	Производная	неопределенного интеграла	равна
подынтегральной функции, т.е.
	f (x)dx	f (x).	(3.2)

Справедливость этого свойства следует непосредственно из определения неопределенного интеграла, если под словами “производная неопределенного

интеграла” понимать производную от любой первообразной для функции	f (x) .
Свойство 2. Постоянный множитель k подынтегральной функции можно
выносить за знак неопределенного интеграла, т.е.
kf (x)dx k f (x)dx .	(3.3)
Доказательство. Убедимся, что равны производные обеих	частей
равенства (3.3). В согласии со свойством 1 сможем написать
kf (x)dx kf (x).	(3.4)

Если продифференцировать выражение, стоящее в правой части равенства (3.3), то,

учитывая, что постоянный множитель можно выносить за знак производной и используя равенство (2), сможем написать

k f (x)dx k f (x)dx kf (x).

(3.5)

Из совпадения правых частей равенств (7.4) и (7.5) следует справедливость равенства (3.3).

Свойство 3. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, т.е.

f1(x) f2 (x) fn (x) dx f1(x)dx f2 (x)dx fn (x)dx. (3.6)

Доказательство. Убедимся, что производные обеих частей равенства (3.6) равны, положив для простоты n 2. В согласии со свойством 1 будем иметь

f1(x) f2 (x) dx	f1(x) f2 (x).	(3.7)
	63

Продифференцируем выражение, стоящее в правой части равенства (3.6), потом воспользуемся тем, что производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных, а затем используем равенство (3.2):

f1(x)dx f2 (x)dx f1(x)dx f2 (x)dx f1(x) f2 (x). (3.8)

Из совпадения правых частей равенств (3.7) и (3.8) следует справедливость равенств

(3.6).

Примечание. Из справедливости свойств 2 и 3 следует справедливость

свойства линейности неопределенного интеграла относительно подынтегральной функции: неопределенный интеграл от линейной комбинации конечного числа интегрируемых функций равен соответствующей (т.е. с теми же коэффициентами) линейной комбинации неопределенных интегралов от этих функций, т.е.

k1 f1(x) k2 f2 (x) kn fn (x) dx k1 f1(x)dx k2 f2 (x)dx kn fn (x)dx,

где k1,k2, ,kn - постоянные.

Свойство 4. (инвариантность формул интегрирования). Всякая формула интегрирования справедлива независимо от того, является переменная интегрирования независимой переменной или любой допустимой непрерывно дифференцируемой функцией независимой переменной, т.е. если справедливо равенство

f (x)dx F(x) C,	(3.9)
то справедливо равенство
f (u)du F(u) C,	(3.10)
где u u(x) - любая допустимая непрерывно дифференцируемая	функция
аргумента x .
Доказательство. Запишем равенство (3.10) в виде
	(3.11)
f u(x) u (x)dx F u(x) C

и убедимся, что производные левой и правой частей равенства (3.11) равны. Согласно свойству 1 можем написать

				(3.12)
f u(x) u (x)dx			f u(x) u (x).

Теперь продифференцируем правую часть равенства (3.11), используя правило дифференцирования сложной функции

			(3.13)
F u(x) C	F	u(x) u (x).

64

Из справедливости равенства (3.9) следует F (x) f (x)			и, следовательно,
F u(x)	f u(x) , а тогда равенство (3.13) можно записать в виде
			(3.14)
	F u(x) C	f u(x) u (x).

Из совпадения правых частей равенств (3.12) и (3.14) следует справедливость равенства

(3.11), а значит и (3.10).

Пример. Используя справедливость равенства

x3dx 14 x4 C ,

найти sin3 x cos xdx.

Запишем сначала вычисляемый интеграл в виде

sin3 xd(sin x),

азатем, используя данное равенство и свойство 4, сможем написать

14 sin4 x C.

Таблица основных интегралов и метод непосредственного интегрирования

Вначале следует заметить, что не существует общих правил вычисления неопределенных интегралов (подобных вычислению производных) и сам процесс интегрирования требует изобретательности и хорошего знания предыдущего материала.

Техника вычисления неопределенных интегралов опирается на использование нескольких основных формул, которые получаются обращением формул дифференцирования основных элементарных функций. Эти формулы сводятся в таблицу, которую называют таблицей основных интегралов. Основная трудность при интегрировании состоит в приведении подынтегрального выражения к виду, позволяющему использовать таблицу основных интегралов.

Таблица основных интегралов

	xndx	xn 1		C	при
1.		n 1			2. dx	ln		x		C,
	n 1,				x

65

3.

axdx

ax

C,

a 0,

a 1,

4.

e

x

dx e

x

C,

ln a

5.

sin xdx cos x C,

6.

cos xdx sin x C,

7.

dx

tgx C,

8.

dx

ctgx C,

cos2 x

sin2 x

dx

arcsin

x

C,

10.

dx

1

x

C,

9.

a arctg

a2 x2

a

a2 x2

a

11

dx

1

ln

x a

C

,

12

dx

ln

x

x2 a

C.

x2 a

.

x2 a2

2a

x a

.

Приведенные формулы справедливы при тех значениях x, при которых

определены подынтегральные функции.

Метод непосредственного интегрирования состоит в тождественном преобразовании

подынтегральной функции, в использовании свойств неопределенных интегралов и таблицы

основных интегралов. Рассмотрим несколько примеров.

Примеры: 1. Вычислить x cos x dx.

Решение.

x cos x dx xdx cos xdx x22 C1 sin x C2 x22 sin x C.

Здесь и ниже при отыскании суммы интегралов обычно сразу пишут одну произвольную постоянную C C1 C2.

2. Вычислить

1 4xex

dx.

x

Решение.

1 4xex

dx

1

4e

x

dx

4 e

x

dx ln

x

4e

x

C.

dx

x

x

x

3. Вычислить 1 x2 2 dx.

Решение.

1 x2 2 dx 1 2x2 x4 dx dx 2 x2dx x4dx x 23 x3 15 x5 C.

66

Решение задач

Непосредственное интегрирование

Задача 1. Вычислить

x3

4x 2

dx .

2x

x3 4x

Решение. Так как

2

1

x

2

2

1

,

то

2x

2

x

x3

4x

2

1

2

1

1

2

dx

dx

x

2

x

dx

x

dx

2 dx

x

,

2x

2

2

используем формулы 1 и 2 таблицы интегралов, получим:

x3 4x 2

dx

1 x2dx 2 dx dx

1

x3

2x ln | x | C

x3

2x ln | x | C.

2x

2

x

2 3

6

Задача 2. Вычислить

dx

dx .

sin

2 xcos2 x

Решение. Заменим единицу в числителе подынтегральной функции

выражением sin2 x cos2 x 1

и, применив формулы 7 и 8 таблицы основных

интегралов, получим:

sin2 x cos2 x

dx

dx

dx

dx

dx

tgx ctgx C.

sin2 xcos2 x

sin

2 x cos2 x

cos2 x

sin2 x

Задача 3. Вычислить tg2 xdx .

Решение. Так как

tg2 x sin2 x

,

а

sin2 x 1 cos2 x,

то

tg2 x

1 cos2 x .

cos2 x

cos2 x

Подставим

последнюю

формулу

в

интеграл:

tg2 xdx

1 cos2 x dx

1

dx dx tgx x C.

Здесь

использованы

cos2 x

cos2 x

формулы 1 и 7 таблицы основных интегралов.

Задача 4. Вычислить sin

2 x

dx .

2

Решение. Интегралы вида sin2 mxdx и cos2 mxdx , где m - вещественное

число,

вычисляются

при

помощи

тождеств:

sin2 1 cos 2 ;

1 cos 2 .

2

cos2

Тогда

x

2

1 cos x

1

1

1

1

1

sin

2

dx

dx

(1 cos x)dx

dx

cos xdx

x

sin x C.

2

2

2

2

2

2

2

67

При использовании метода непосредственного интегрирования часто используются следующие преобразования дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала»):

1.

d(x b) dx, b число

2.

1 d(kx) dx,k 0, число

k

3.

kdx d(kx b), k 0,

число;

4.

cos xdx d(sin x)

5.

sin xdx d (cos x)

6.

1

dx d(tgx)

cos2 x

7.

1

dx d(ctgx)

8.

1

dx d (arcsin x)

1 x2

sin2 x

9.

1

dx d(arctgx)

10.

1 dx d(ln x),

x 0.

1 x2

x

Вообще

f '(x)dx d ( f (x)), эта формула очень часто используется для

вычисления интегралов.

dx

Задача 5. Вычислить

.

x 3

dx

d(x 3)

Решение. Так как dx d (x 3), то

x 3

; используя свойство

x 3

«инвариантности»

формул

интегрирования (так как

dx

ln | x | C, тогда и

d ( f (u))

dx

d x 3

x

ln

f (u)

C ), получим:

ln | x 3 | C.

f (u)

x 3

x 3

x

Задача 6. Вычислить

dx .

x

3

Решение. Прибавляя и вычитая 3 в числителе подынтегральной функции,

получим

x

(x 3) 3

x 3

dx

d(x 3)

dx

x 3

dx

dx 3

dx

3

x 3 x 3ln | x 3| C.

x 3

x 3

x 3

Мы использовали формулу 1 таблицы основных интегралов и результаты решения примера 5.

1

Задача 7. Вычислить 1 x2 3 xdx .

Решение. Этот интеграл можно привести к табличному (формула 1), преобразовав подынтегральное выражение:

1	1		1
1 x2 3 xdx	12 1 x2 3	2xdx	12 1 x2 3d 1 x2	.

Теперь в качестве переменной интегрирования мы имеем выражение (1 x2 ) и относительно этой переменной получается интеграл от степенной

68

функции

(также

используем

свойство

«инвариантности»

формул

интегрирования. Следовательно,

1

4

1

1

1

1

1 x2

1 1 x2 3 1

1

1 x2 3

3

4

1 x2 3 dx

2

x2 3 d

2 1

C 2

4

C

8

1 x2 3 C.

3

1

3

Задача 8. Вычислить

dx

.

ctg5xsin2 x

Решение.

Используем формулу:

d(ctgx)

1

dx.

Тогда

интеграл

dx

sin2 x

преобразуется:

ctg 5xd (ctgx).

В

качестве

переменной

ctg5xsin2 x

интегрирования имеем выражение ctgx , применяем формулу 1 для интеграла от степенной функции и свойство «инвариантности» формул интегрирования.

	Тогда	dx	ctg 5xd(ctgx)	ctgx) 4	C	1	C.
		ctg5xsin2 x		4		4ctg4x

Задача 9. Вычислить x2e x3 dx .

Решение. Умножим и разделим подынтегральное выражение на (-3) и

постоянный множитель		1		вынесем за знак интеграла, тогда
		3

x2e x3 dx 13 ( 3)x2e x3 dx 13 e x3 d( x3).

Теперь в качестве переменной интегрирования имеем выражение x3 и

относительно этой переменной получаем интеграл от показательной функции (также используем свойство «инвариантности» формул интегрирования). Следовательно,

x2e x3 dx 13 e x3 d( x3) 13 e x3 C.

Полезно запомнить следующий результат: интеграл от дроби, числитель которой есть производная знаменателя, равен натуральному логарифму модуля знаменателя:

ff '((xx))dx d(ff((xx))) ln | f (x) | C.

Задача 10. Вычислить cossin xxdx .

Решение. Так как (sin x) cos x , то cossin xxdx d(sinsin xx) ln | sin x | C.

69

Задача 11. Вычислить

2x 7

dx .

x2 7x 9

d (x2 7x 9) (2x 7)dx .

Решение.

В

этом

примере

Поэтому

2x 7

dx ln | x2 7x 9 | C.

x2 7x 9

Задача 12. Вычислить

sin x

dx .

3cos x

2

Решение.

Так

как

d (3cos x 2) 3sin xdx , то,

умножив

и

разделив

исходный интеграл одновременно на (-3), получим:

sin x

1

( 3)sin x

1

d(3cos x 2)

1

dx

3

dx 3

3cos x 2

3 ln

3cos x

2

C.

3cos x 2

3cos x 2

Задача 13. Вычислить

dx

.

2x2 4x 8

Решение. Выделим сначала полный квадрат в квадратном трехчлене:

2x2 4x 8 2(x2 2x 4) 2(x2 2 1 x 1 3) 2

x 1 2 3 .

dx

1

dx

Тогда исходный интеграл преобразуется

2

. Так

2x2 4x 8

(x 1)2 3

как

dx d (x 1),

то

можно

записать:

dx

1

dx

1

d (x 1)

2

.

Используя

формулу

10

таблицы

2x2 4x 8

(x 1)2 3

2

(x 1)2

3

интегралов и свойство «инвариантности» формул интегрирования, получим:

	dx		1		d (x 1)				1	arctg	x 1		C.
	2x2 4x 8		2		(x 1)2	3		2	3		3

Вопросы для самопроверки по теме 3.1

1.Что такое первообразная функции для данной функции?

2.Что такое неопределенный интеграл от данной функции?

3.Сформулируйте теорему о существовании неопределенного

интеграла.

4.Сформулируйте свойства неопределенного интеграла.

5.Выпишите по памяти таблицу основных интегралов.

6.Докажите свойство инвариантности формул интегрирования.

7.В чем состоит метод непосредственного интегрирования?

3.2.Методы вычисления неопределенных интегралов

При изучении данной темы Вам предстоит ознакомиться со следующими вопросами:

Метод подстановки при вычислении неопределенных

интегралов.

70

Метод интегрирования по частям при вычислении

неопределенных интегралов.

После изучения данных материалов Вам следует ответить на вопросы для самопроверки и решить тест №5. Если Вы будете испытывать затруднения в ответах, обратитесь к [2], глава 1, с. 13-17 и к глоссарию – краткому словарю основных терминов и положений.

Студентам очно-заочной и заочной форм обучения надо решить две задачи в соответствии со своим вариантом из № 121-140.

Метод подстановки при вычислении неопределенных интегралов

Сущность метода подстановки (замены переменной) состоит в том, что с помощью специальным образом подобранной замены переменной интегрирования данное подынтегральное выражение преобразуется к другому подынтегральному выражению, которое является более простым в смысле интегрирования.

Пусть x (t) - строго монотонная и непрерывно дифференцируемая

функция на некотором промежутке изменения t . Если на соответствующем промежутке изменения x функция f (x) непрерывна, то будем иметь

	(3.15)
f (x)dx f (t) (t)dt.

После интегрирования по переменной t следует в полученном результате перейти от переменной t к переменной x при помощи зависимости x (t) .

Заметим, что при использовании метода замены переменной иногда удобней

вводить подстановки вида t (x) или t x .

Примеры:

1.Считая, что x 0 , вычислить интеграл

3x 23 dx.

x1

Сделаем замену переменной по формуле x t 1. Тогда dx dt и,

следовательно,

71

3x 2

dx

3(t 1) 2dt

3t 5dt

3

5

dt 3 t 2dt 5 t 3dt 3t 1

5t 2

C 3

5

C

x 1 3

t3

t3

t2

t3

1

2

t

2t2

где C - произвольная постоянная. Возвращаясь к переменной x , будем иметь

окончательно

3x 2

dx

3

5

C.

x 1 3

x 1

2(x 1)2

2.

Вычислить интеграл

e2x

4 ex 1 dx.

Этот интеграл существует при всех x , так как подынтегральная функция

непрерывна на всей оси. Введем подстановку 4 ex 1 t, тогда t4

ex 1,

4t3dt exdx

и ex t4 1. Перейдем к новой переменной

2x

x x

t4 1 4t3

7

3

e

e e dx

dx

dt 4

t2

t4

1 dt 4

t6

t2

dt 4

t

t

C.

4 ex

t

1

4 ex 1

7

3

Возвратившись к старой переменной, получим

	2x		7	3
	e	dx 74	ex 1 4 34	ex 1 4 C.
	4 ex 1

Метод интегрирования по частям при вычислении неопределенных интегралов

Этот метод является обращением правила дифференцирования

произведения двух функций.

72

Пусть функции u u(x) и v v(x) непрерывно дифференцируемы на

некотором промежутке. Ясно, что

(uv) u v uv .

Произведение uv является первообразной для суммы u v uv ,

следовательно, по определению неопределенного интеграла можем написать

(u v uv )dx uv C,

где C - произвольная постоянная. Последнее равенство равносильно равенству

u vdx uv dx uv C,

или

		(3.16)
uv dx uv vu dx,

где постоянная C не выписывается явно, так как неопределенный интеграл

неявным образом уже содержит произвольную постоянную. Равенство (3.16)

обычно записывают в виде

udv uv vdu.	(3.17)
Формула (3.16) (или (3.17)) называется формулой интегрирования по
частям. Она позволяет свести вычисление интеграла
	uv dx к вычислению

интеграла vu dx . Метод интегрирования по частям применяется тогда, когда подынтегральное выражение предложенного интеграла представляется в виде произведения udv , причем функции u x и v x выбираются так, чтобы

интегрирование выражения vdu было проще интегрирования выражения udv . Следует отметить, что при интегрировании по частям приходится по

дифференциалу dv x находить функцию v x . При этом, так как достаточно

найти только одну какую-нибудь первообразную, то произвольную постоянную обычно опускают.

73

Примеры:

1. Вычислить

x 2 exdx.

Здесь разумно положить u x 2,

dv exdx, тогда находим, что

du dx, v ex. Применяя формулу (3.16), получим

x 2 exdx (x 2)ex exdx (x 2)ex ex C xex ex C.

2.Вычислить x5 ln xdx.

Вданном примере целесообразно положить u ln x, dv x5dx, тогда

du

1

dx,

v

x6

. Применяя формулу (3.16), будем иметь

x

6

x5 ln xdx

x6

x6 1

x6

1

x5dx

x6

1

ln x

dx

ln x

ln x

C.

6

6 x

6

6

6

6

Решение задач

Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Метод интегрирования по частям

Напомним суть метода подстановки в неопределенном интеграле: пусть

требуется вычислить f (x)dx . Сделаем	подстановку,		положив x (t) ,
следовательно, dx d[ (t)] '(t)dt . Тогда	для исходного интеграла имеем
f (x)dx f [ (t)]d[ (t)] f [ (t)] '(t)dt .
Задача 1. Вычислить 1 3xdx при x 0 .		t 1 3x;
Решение. Введем новую переменную			продифференцируем
левую и правую части, тогда dt ( 3)dx , откуда		dx dt . Заменяя переменную
		3
74

																			dt			1	1
интегрирования в данном интеграле, получим										1		3xdx											t 2 dt.
																	t		3			3
Для переменной t получили табличный интеграл:
				1					3
	1	1	1 t 2 1					1 t 2			2	3		2
		t 2 dt					C					t 2				t t		C.
	3		3	1	1			3	3		9			9
				2					2
															2
Возвращаясь к переменной x , получим:										1 3xdx							(1 3x)				1 3x C.
															9

Задача 2. Вычислить sin(4x 2)dx .

Решение. Сделаем замену t 4x 2, найдем дифференциал левой и правой

частей	dt 4dx;	dx dt	. Подставим в интеграл		sin(4x 2)dx	1		sin tdt.	Но
		4				4
интеграл sin tdt		cost C		(табличный интеграл), поэтому

sin(4x 2)dx 14 sin tdt 14 ( cos t) C 14 cos(4x 2) C.

Задача 3. Вычислить x x 3dx при	x 3.
Решение. Введем подстановку t	x 3 . Возведем обе части в квадрат,

получим t2 x 3, x t2 3, продифференцируем левую и правую части, тогда dx 2tdt . Подставив в интеграл, получим:

x	x 3dx				(t 2	3) t 2tdt					2 (t 2 3)t 2dt					2 (t 4 3t 2 )dt
		2	t	4	dt	6	t	2	dt 2	t5	6	t3	C	2	t	5	2t	3	C.
										5		3		5

Возвращаясь к старой переменной, получим:

						5			3
	x x 3dx			2 (x 3)2				2(x 3)2 C.
			sin 2x	5
Задача 4. Вычислить					dx .
			1 sin2 x
Решение. Введем подстановку t 1 sin2 x , а затем возведем обе части в
квадрат, тогда t2 1 sin2 x . Продифференцируем обе части:										2tdt 2sin x cos xdx ,
с учетом, что	sin 2x 2sin x cos x, получим						2tdt sin 2xdx .			Перейдем к новой
переменной	в интеграле,		получим					sin 2x	dx	2tdt 2 dt 2t C.
								1 sin2 x
										t

Возвращаясь к старой переменной, имеем:

	sin 2x	1 sin2 x C.
	1 sin2 x dx 2

75

Задача 5. Вычислить

exdx

.

4 e2x

Решение.

Введем

подстановку t ex .

Продифференцировав

обе

части,

получим:

dt exdx . Тогда подставляя в интеграл, будем иметь

ex

dx

dt

arcsin

t

C arcsin

ex

C.

4

e2x

4 t2

2

2

Задача 6. Вычислить

ln tgx

dx .

sin xcos x

Решение.

t ln tgx ,

Введем подстановку

продифференцируем обе части,

получим

dt

1 1

dx;

сделаем

упрощения:

dt

cos x

dx ,

после

sin xcos2 x

tgx cos2 x

1

сокращения имеем: dt

dx. Подставим в исходный интеграл, получим

sin xcos x

t2

(ln tgx)2

ln tgx

dx

tdt

C

C.

sin xcos x

2

2

Рассмотрим теперь метод интегрирования по частям.

Задача 7. Вычислить (2x 1)e3xdx .

u 2x 1,

тогда

du 2dx,

Решение. Пусть

3x

dx;v

e

3x

dx

1

e

3x

3dx

1

e

3x

d(3x)

1

e

3x

.

dv e

3

3

3

Следовательно,

согласно

формуле

интегрирования

по

частям:

udv uv vdu , имеем

(2x 1)e3xdx (2x 1) 13 e3x 13 e3x 2dx 13 (2x 1)e3x 23 e3xdx

13 (2x 1)e3x 23 13 e3xd(3x) 13 (2x 1)e3x 92 e3x C.

Задача 8. Вычислить ln xdx при x 0 .

			du	1
Решение.	Пусть	u ln x, тогда		x	dx	поэтому
		dv dx;	v x
ln xdx xln x x	1 dx xln x dx xln x x C.
	x

Задача 9. Вычислить x2 cos xdx .

76

		u x2	;	du		2xdx
Решение.	Пусть							,	тогда
		dv cos xdx;v				cos xdx sin x

x2 cos xdx x2 sin x 2 xsin xdx . Для	вычисления интеграла xsin xdx			снова
применим метод интегрирования по частям:		u x;	du dx		,
		dv sin xdx; v sin xdx cos x

поэтому

xsin xdx x cos x ( cos x)dx x cos x cos xdx x cos x sin x C1.

Окончательно получим:

x2 cos xdx x2 sin x 2( x cos x sin x) C x2 sin x 2x cos x 2sin x C.

Задача 10. Вычислить e x dx при x 0 .

Решение. Сначала введем подстановку

t

x

или

x t2;

продифференцируем

обе части,

получим

dx 2tdt,

подставим в

исходный

интеграл,

получим:

e

x dx et

2tdt 2 tet dt.

Последний

интеграл находим

с

помощью

метода интегрирования

по частям:

Пусть

u t;

du dt

t

dt;v

t

t ,

dv e

e

dt e

тогда, подставляя

в

интеграл,

имеем

2 tetdt 2 tet etdt

2 tet et C.

Окончательно получим:

e x dx 2

xe x e x C.

Вопросы для самопроверки по теме 3.2

1.Какова цель замены переменной в неопределенном интеграле?

2. Сформулируйте условия, при которых справедливо равенство

f x dx f t ' t dt.

3.В чем заключается сущность метода интегрирования по частям при вычислении неопределенного интеграла?

4.Выведите формулу интегрирования по частям в неопределенном

интеграле.

5.Дан интеграл Pn x exdx , где Pn x - многочлен степени « n ». Какой метод интегрирования нужно применить для вычисления этого интеграла?

77

3.3. Интегрирование рациональных, иррациональных

и тригонометрических функций

При изучении данной темы Вам предстоит познакомиться со следующими вопросами:

Интегрирование рациональных функций

Интегрирование рациональных выражений от

тригонометрических функций и некоторых иррациональных выражений

После изучения данных материалов Вам следует ответить на вопросы для самопроверки и решить тест. Если Вы будете испытывать затруднения в ответах, обратитесь к [2], глава 1, стр. 28-36 и к глоссарию – краткому словарю основных терминов и положений.

Интегрирование рациональных функций

Так как всякую неправильную рациональную дробь путем деления числителя на знаменатель можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби, то интегрирование неправильных рациональных дробей сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби. Но интегрирование многочлена проводится элементарно, а теорема о разложимости правильной рациональной дроби на простейшие дроби позволяет свести ее интегрирование к интегрированию простейших дробей. Перейдем к рассмотрению интегралов от простейших дробей.

Интегралы от простейших дробей первого типа вычисляются просто. Действительно, при k 1 имеем

A

dx

A d(x a)

Aln

x a

C,

при k = 2,3, …

x a

x a

A

dx A

d(x a)

A (x a) k d(x a)

A

1

C .

(x a)k

1

k

(x a)k 1

(x a)k

Прежде чем переходить к интегрированию простейших дробей второго

типа, преобразуем квадратичный трехчлен x2 px q , стоящий в знаменателе простейшей дроби второго типа, к сумме квадратов

	x2		p 2			p2		p 2		a2,
		px q x			q		x
			2			4		2

78

где введено обозначение a

q

p2

.

Введя замену переменной по формуле

4

p

t x

, сможем написать

2

Mx N

tdt

p

dt

dx M

N M

.

(3.18)

x2 px q k

t2 a2 k

2

t2 a2 k

В случае k 1 имеем

ln t2

a2

Mx N

tdt

p

dt

M

2N Mp

t

dx M

N M

arctg

C.

x

2

px

q

t

2

a

2

2

t

2

a

2

2

2a

a

Вернувшись к старой переменной, получим требуемый результат.

Если k 2,3, 4,... то первый интеграл в правой части равенства (3.18) вычисляется просто, ибо

tdt

1

t2

a2 k d t2

a2

1

1

C.

t2 a2

k

2

2 1 k

t2 a2

k 1

Для вычисления второго интеграла, стоящего в правой части равенства (3.18), введем обозначение

Jk

dt

t2 a2 k .

Можно показать, что имеет место формула

J

k

t

2k 3

J

.

(3.19)

2a2

k 1 t2 a2 k

1

2a2 k

1

k 1

Эта формула позволяет находить (без интегрирования) интеграл Jk

если

известно выражение для интеграла Jk 1 . Такого типа формулы называются рекуррентными. Например, зная, что

J1

dt

1 arctg

t

C ,

t2 a2

a

a

находим по формуле (3.19) (положив k 2 )

J2

t

1

arctg

t

C.

2a2 t2 a2

2a3

a

Используя полученное выражение для J2 , по той же формуле (3.19) можем найти J3 , затем J4 и т.д. вплоть до нужного значения k . В конце следует

возвратиться от переменной t к переменной x . Пример 1. Вычислить

9x23 2x 8 dx.

x4x

79

Подынтегральная функция - правильная рациональная дробь (в числителе стоит многочлен второй степени, а в знаменателе - третьей). Простыми корнями знаменателя являются числа 0, -2, 2, так что сам знаменатель x3 – 4x может быть

разложен на множители

x3 – 4x = x(x - 2)(x + 2).

Подставив эти числа в числитель дроби, убедимся, что они не являются корнями числителя и, следовательно, дробь несократима. Будем искать разложение подынтегральной функции в виде

	9x2 2x 8		A		B		C		,
	x(x 2)(x 2)		x		x 2		x	2

где A, В, С - неизвестные коэффициенты, подлежащие определению. Освобождаясь от знаменателя, будем иметь

9x2 2x 8 A x2 4 Bx(x 2) Cx(x 2),

или

9x2 2x 8 ( A B C)x2 (2B 2C)x 4A.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа, получим систему трех уравнений с тремя неизвестными

A B C 9,

2B 2C 2,

4A 8.

Решая эту систему, найдем

A 2,

B 3,

C 4.

Итак,

9x2 2x 8

2

3

4

dx

dx

2 ln

x

3ln

x 2

4 ln

x 2

C,

x3 4x

x

x 2

x 2

где С - произвольная постоянная.

При разложении правильной рациональной дроби на простейшие, могут быть применены различные искусственные приемы.

Пример 2. Вычислить при x 0

2 dx 2 .

x1 x

Вданном случае для разложения подынтегральной функции на простейшие сначала добавим и отнимем в числителе x2, а затем поделим почленно на знаменатель. Получим

dx

1 x2

x2

1

1

1

dx

dx

arctgx C,

x2

1 x2

x2

1 x2

1 x2

x2

x

где С - произвольная постоянная.

80

dx

Пример 3. Вычислить x 1 x при x 0 .

Решение. В данном случае для разложения подынтегральной функции на простейшие сначала добавим и отнимем в числителе x , а затем почленно поделим на знаменатель. Получим:

dx

1

x

x

1

1

1

dx

ln x ln x 1 C.

dx

dx

dx

x 1

x

x 1 x

x

1 x

x

1 x

Рассмотрим теперь некоторые случаи нахождения интегралов от тригонометрических функций. Известно, что вычисление неопределенных

интегралов типа R(sin x,cos x)dx (где R - знак рациональной функции)

осуществляется с помощью универсальной тригонометрической подстановки tg 2x t .

Интегрирование рациональных выражений от тригонометрических функций и некоторых иррациональных выражений

Под рациональным выражением от тригонометрических функций

понимается выражение, в котором тригонометрические функции входят рационально, т.е. над ними выполняется только конечное число арифметических действий.

Так как

tgx cossin xx , ctgx cossin xx ,

то, не умаляя общности, можно ограничиться рассмотрением рациональных выражений от sin x и cos x , которые символически записываются в виде

R( sin x, cos x ), где R означает рациональную функцию от двух аргументов. Для

вычисления интеграла вида R(sin x,cos x)dx	введем подстановку	t tg	x	,
		2

которая называется универсальной и которая позволяет выразить sin x, cos x и dx рационально через переменную t.

Действительно, используя подстановку t tg 2x , можем написать

								x				x										x
		2sin								cos											2tg									2t
sin x							2				2											2									,	(3.20)
	cos		2 x						sin		2 x									1 tg		2 x							1 t2
					2									2										2
		cos		2		x			sin			2			x					1 tg			2		x				1	t2
cos x					2									2										2
																													1	t2 .		(3.21)
		cos		2		x			sin			2			x					1 tg			2		x
					2									2										2

81

Далее из равенства x 2arctgt ,

которое следует из подстановки, получим

после дифференцирования

2

dx

dt.

(3.22)

1 t2

Выполняя подстановку, сможем написать

R(sin x,cos x)dx

R

2t

,

1 t2

2

dt

R (t)dt,

2

2

2

1 t

1 t

1

t

1

где R1(t) - рациональная функция переменной t. Для интегрирования рациональной функции R1(t) следует использовать изложенные выше приемы.

Пример 1. Вычислить

	dx
		.
	1 sin x cos x

Полагая t tg

x

и используя равенства (3.20), (3.21), (3.22), получим

2

2

dx

dt

2dt

dt

x

1 t

2

t 1

C ln

C.

ln

tg

1

1 sinx cosx

1 t

2

1 t

2

2t 1 t

2

t

1

2

2t

1

1 t2

1 t2

x

Подстановка t tg

иногда

приводит к

интегралам от

громоздких

2

алгебраических выражений и с этой точки зрения не всегда бывает наилучший.

Например, в случае интеграла

вида

R(sin2 x,cos2 x)dx,

т.е. интеграла от

рационального

выражения,

содержащего

только

четные

степени

тригонометрических функций, целесообразно применить подстановку

t tgx .

Действительно, при такой подстановке

sin2 x

tg2x

t2

,

cos2 x

1

1

,

dx

dt

(3.23)

1 tg2 x

1

t2

1 tg2x

1

t2

1

t2

и, следовательно, получаем интеграл от рациональной функции переменной t. Пример 2. Вычислить

cos2 x dx4sin2 x .

Применив подстановку t tgx и используя формулы (3.23), получим

			dx						1			dt						dt		1		dt			1		1 arctg(2x) C.
								1 t2																		2arctg2t C
	cos	2	x 4sin	2	x							t	2			1		4t	2			1
								1		4									4			4 t2			4		2
								2				1 t		2
							1 t											R(sin x)cos xdx								R(cos x)sin xdx разумно
Для вычисления интегралов вида																									и
применить соответственно подстановки sin x t																							и cos x t .

82

Иррациональные алгебраические выражения в общем случае не интегрируются в конечном виде. Однако некоторые иррациональные выражения допускают интегрирование в конечном виде. Рассмотрим, например, интегрирование выражений, рационально зависящих от дробно-линейной

функции

ax b

(a,b,c, d - произвольные вещественные числа)

в рациональных

cx d

m

m

m

степенях

n1 ,

2

,...,

k

, т.е.

n

n

1

2

k

m1

m2

mk

ax

b n1

,

ax b

n2

, ...,

ax b

nk

R

dx,

cx d

cx d

cx

d

где R означает рациональную функцию от своих аргументов. В этом случае разумно ввести подстановку

ax b

t p ,

cx d

где p - общее наименьшее кратное чисел n1, n2 ,..., nk .

Пример 3. Вычислить при x 0

dx

.

1/ 2

1/ 3

x

x

Здесь общим наименьшим кратным чисел 2 и 3 является число 6, поэтому

применяем подстановку

x t6,

считая

t

>

0.

Ясно,

что dx 6t5dt и,

следовательно, сможем написать

6t5dt

t3

dx

6

dt.

x1/ 2 x1/ 3

t3 t2

t

1

Для вычисления последнего интеграла сначала добавим и отнимем в

числителе единицу, воспользуемся тождеством

t3 1= (t 1)(t2 t 1) , а затем

почленно поделим числитель на знаменатель. Получим

t3

t3

1 1

2

1

dt

dt

t

t

1

dt.

t 1

t 1

t 1

Выполняя интегрирование и возвращаясь к старой переменной, будем иметь окончательно

dx

6

1

t3

1

t2

t ln

t 1

C 2 x 33

x 66

x 6 ln 6

x 1 C.

1/ 2

1/ 3

3

2

x

x

Решение задач

x4

Задача 1. Вычислить

dx .

x3

1

83

Решение. Подынтегральная функция – неправильная рациональная дробь (в числителе многочлен четвертой степени, а в знаменателе – третьей), поэтому вначале выделим ее целую часть. Разделим числитель на знаменатель, получаем

x4

x3 1

x4 x

x

x4

x

x

Имеем

x

.

x3 1

x3

1

x4

x

x

x2

x

Таким образом

dx x

dx xdx

dx

dx .

x3

2

x3

x3 1

x3 1

1

1

Перейдем теперь к разложению правильной рациональной дроби на

простейшие. Используя формулу суммы кубов:

a3 b3

a b a2

ab b2 ,

получим: x3 1 x 1 x2

x 1 . Тогда

разложение

дроби

x

следует

x

3

1

искать в виде

x

x

A

Bx C

,

x3 1

(x 1)(x2

x 1)

x

1

x2 x 1

где неизвестные коэффициенты A, B,C подлежат определению. Освобождаясь от

знаменателей, получим:

x A x2 x 1 x 1 Bx C ,

x Ax2 Ax A Bx2 Bx Cx C x2 A B x A B C A C.

В полученном тождестве приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях равенства.

Ï ðè x2 : 0 A B

A B 0,

Ï ðè x1 :1 A B C

èëè

A B C 1,

Ï ðè x0 : 0 A C

A C 0.

Мы получили систему трех уравнений относительно коэффициентов

A, B,C . Решая ее, находим A

1 ; B 1

;C

1.

Таким образом, имеем

x

3

3

3

x 1

1

1

.

x3 1

3(x 1)

3 x2 x 1

xdx

1

dx

1

x 1

Интегрируем:

3

dx.

x3 1

3

x 1

x2

x 1

84

Рассмотрим интеграл

x 1

dx.

Чтобы

использовать

правило:

f '(x)

x2 x 1

dx ln |

f (x) | C,

преобразуем выражение в числителе подынтегральной

f (x)

функции:

1(2x 1) 1 1

1(2x 1) 3

x 1

2x 1

dx

dx

dx

2

2

dx

2

2

dx 1

dx 3

1ln| x2 x 1| 3

.

x2 x 1

x2 x 1

x2 x 1

x2 x 1

2

x2 x 1

2

2

2

x2 x 1

В

последнем

интеграле

dx

dx

выделим

полный

квадрат

в

x2 x 1

1 2

знаменателе, получим x

2

x 1

2

2

1

x

1

1

1

3

.

x

2

4

x

2

4

4

d

1

dx

dx

x

2

Тогда

интеграл

примет

вид

x

2

x 1

1

2

3

1

2

3

x

2

4

x

2

4

(использовали:

1

Тогда

на

основании

формулы

10

таблицы

dx d x

2

.

основных интегралов и свойства «инвариантности» формул интегрирования, получим

																																	1																								1
															dx										d x								2											1							x						2
																																																															C.
																																																arctg
											x2				x 1															1		2			3									3									3
																									x
																														2					4									2									2
Тогда будем иметь:
		x				1	dx			1 x 1																1 d(x 1)																1		1					x2 x 1										3 2							2x 1
					dx																dx																									ln																			arctg				C
x3 1						3 x 1				3 x2 x 1																3						x 1										3		2						2x 1									2				3			3
															1		x 1							1				x2				x 1										1											C
															3ln									6ln																					arctg
																																										3								3
			Окончательно:
		x4																x2
					dx xdx					x				dx								1 ln | x 1|														1 ln | x2 x 1|																					1					arctg 2x 1					C.
								x3																																																			3
	x3 1											1			2 3																					6																														3

dx

Задача 2. Вычислить 3 sin x cos x .

85

Решение. Введем подстановку

tg

x

t,

тогда x 2arctgt,

x

2

2 x

2tg

2t

1 tg

1 t2

2dt

sin x

2

;

cos x

2

;

dx

.

2 x

1

t2

2 x

1 t2

1 tg

1 tg

1 t2

2

2

Подставим в интеграл, получим:

					2dt											1 t2 2dt
					1 t2																									2dt								2dt
	3			2t				1 t2					1 t2 3 3t2 2t 1 t2															2t2 2t 4								2 t2 t 2
				1 t2				1 t2
																					1										1
				dt							dt							d t			2				2				t		2					2			2t 1
																										arctg								C				arctg			C.
		t2	t 2								1	2			7				1	2			7		7					7							7		7
									t								t
											2				4				2				4							2

Возвращаясь к старой переменной, получим

dx

2

2tg

x

1

arctg

2

C.

3 sin x cos x

7

7

Задача 3. Вычислить

dx

.

1 sin

2 x

tgx t,

x arctgt. Используя

Решение. Применим подстановку

тогда

введенную подстановку, можем написать

sin2 x

tg2x

t2

;

dx

dt

.

1

1

t2

1

t2

tg2x

Используя последние равенства, будем иметь:

	dx						dt						dt					dt					1			dt			1	2arctg	t	C	1	arctg	2t C.
																															1
1 sin2 x						2		t2					2t2 1					2	1				2	t2		1			2				2
					1 t		1										2 t
									2																	2					2
								1 t											2

Возвращаясь к старой переменной будем иметь:

				dx			1	arctg 2tgx C.
		1		sin2 x			2
	Задача 4. Вычислить sin5 x cos4 xdx .
	Решение. Сначала от sin5 x				отделим один множитель sin x, а оставшийся
	sin4 x представим как 1 cos2 x 2 ,				тогда интеграл примет вид:

sin5 x cos4 xdx sin4 x cos4 xsin xdx 1 cos2 x 2 cos4 xsin xdx.

86

Теперь введем подстановку:

cos x t;

тогда sin xdx dt . Подставляя в

интеграл, получим:

sin5 xcos4 xdx 1 cos2 x 2 cos4 xsin xdx 1 t2 2 t4dt

t5

2

t9

1 2t2 t4 t4dt t4 2t6 t8 dt 5

7 t7

9 C

cos5 x

2 cos7 x

1 cos9 x C.

5

7

9

Задача 5. Вычислить sin2 x cos2 xdx .

Решение. Вспомним тригонометрические формулы: sin2x 2sin xcosx,

тогда

2

sin2 xcos2 x sin xcos x

2

1

sin 2x

1

sin2 2x, а

sin2

2x

1 cos 4x

.

2

4

2

Тогда получим:

sin2 xcos2 xdx 1		1 cos4xdx		1 1 cos4x dx										1 dx	1 cos4xdx
4		2		8										8	8
1 x 1 1 cos4xd(4x)						1 x					1		sin4x C.
8		8 4				8				32
Задача 6. Вычислить cos 4xcos5xdx .										1
Решение. Используя формулу			cos mxcos nx									cos(m n)x cos m n x					,
										2
получим		1 cos9x cos x dx								1 cos9xdx 1
cos4xcos5xdx															cos xdx
		2								2				2
1 1 cos9xd 9x 1 sin x							1		sin9x					1 sin x C.
						18
2 9			2											2
Перейдем теперь к рассмотрению некоторых типов интегралов,
содержащих иррациональные функции.
Задача 7. Вычислить		dx			.
		4x2 2x 1														dx
Решение. Данный интеграл относится к интегралам типа																		,
																ax2 bx c

который можно найти если выделить полный квадрат под радикалом и ввести подстановку. Выделим полный квадрат:

	2			2		1		1					1 2			1			1					1 2			3
4x		2x 1 4	x				x			4		x									4		x						.
						2		4					4			16			4					4			16

87

Сделаем			подстановку									x				1 t;								тогда									dx dt .									Переходя										к	новой
переменной, будем иметь															4
				dx												dx												1						dx									1						dt
																												2															2
			4x2 2x 1														1	2					3											1	2					3									t2	3
											4 x																					x																	16
																																		4				16
																	4				16
					1						t2		3							1									1							1	2						3
						ln	t									C							ln			x							x														C.
					2								16							2									4							4							16
Задача 8. Вычислить																	dx												.
											3 x 2 2												x 2
Решение. Данный интеграл можно вычислить путем подстановки.
Заметим, что в знаменателе подынтегральной функции																																												стоит сумма									x 2
соответственно в степенях									32			и			12 . Наименьшее общее кратное знаменателей
дробей	2	и	1	- число							6.			Поэтому												полагаем									x 2 t6 ,														откуда следует
	3		2																				2																								1
															2																					1
x t6 2; dx 6t5dt . Тогда																			t6 3 t4;																							t6 2
									x 2 3																							x 2 2																	t3;			t 6	x 2.

Подставим в исходный интеграл, получим:

dx

6t5

dt 6

t

2

dt.

x 2 2

t4 t3

t

3

x 2

1

Добавим и вычтем в числителе 1. Получим:

6

t2

dt 6

t2 1 1

dt 6

t 1 t 1 1

dt .

t

1

t 1

t 1

После того, как t2 1 в числителе разложили на множители

t2 1 t 1 t 1 , почленно поделим на знаменатель t 1 . Имеем

6 t 1 t 1 1dt 6

t 1 dt 6

dt

t

1

t 1

d t 1

6 tdt 6 dt 6

6 t 2 6t

6 ln | t

1 | C.

t 1

2

Возвращаясь к старой переменной, будем иметь

dx

33 x 2 66 x 2 6 ln

6 x 2 1

C.

3 x 2 2

x 2

88

Вопросы для самопроверки по теме 3.3

1.Какие виды простейших рациональных дробей Вы знаете?

2.Как интегрируются простейшие рациональные дроби?

3.Изложите метод нахождения интеграла вида R sin x,cos x dx , где R -

рациональная функция. Приведите примеры.
4.	Какова цель применения универсальной тригонометрической
подстановки tg		x	t ?
	2
5.	Изложите метод нахождения интеграла вида R sin2 x,cos2 x dx , где
R - рациональная функция. Приведите примеры.					R sin x cos xdx;	R cos x sin xdx ?
6.	Как		находятся	интегралы

Приведите примеры.

7. Какой метод применяется при нахождении интеграла от дробнолинейной функции? Приведите примеры.

3.4. Определенный интеграл, его свойства и приложения

При изучении данной темы Вам предстоит ознакомиться со следующими вопросами:

Определение определенного интеграла.

Основные свойства определенного интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница.

Формула замены переменной в определенном интеграле.

Формула интегрирования по частям для определенного

интеграла.

Вычисление площади плоской фигуры.

Вычисление объема тела вращения.

Вычисление длины дуги кривой.

Вычисление площади поверхности вращения.

После изучения данных материалов Вам следует ответить на вопросы для самопроверки и решить тесты №6 и №7. Если Вы будете испытывать затруднения в ответах, обратитесь к [2], глава 2, с. 40-54 и 62-67 и к глоссарию – краткому словарю основных терминов и положений.

Студентам очно-заочной и заочной форм обучения надо решить две задачи в соответствии со своим вариантом из № 141-150 и из № 161-170.

Определение определенного интеграла

Прежде чем дать определение определенного интеграла, рассмотрим одну задачу (определение площади криволинейной трапеции), которая естественным образом приведет к понятию определенного интеграла.

y

f

x2

f x3

Пусть на промежутке [а, b]

дана неотрицательная непрерывная

f x1

f

xn

функция

f x .

Рассмотрим

фигуру,

ограниченную

графиком

этой функции,

осью

Ox

и

y f ( x)

прямыми

x a, x b

(рис.

3.1).

Такая

фигура

называется

криволинейной

трапецией,

ограниченной

графиком

x

x

x

x

n x

b

функции

f x . Требуется

найти

ax0

1 x1

2 x2

3 x3

xn

1

x

площадь

S этой

трапеции.

Для

n

Рис. 3.1.

этого разобьем промежуток a, b

произвольным

образом

точками

x0 , x1, x2 , xn

на

n

частей,

считая

a x0

x1 x2

xn 1

xn b ,

и проведем через них вертикальные прямые

x xk 1

k 1, 2, , n, n 1 . Тогда

рассматриваемая

криволинейная

трапеция

разобьется на п частичных трапеций, построенных на частичных промежутках

xk 1, xk k 1, 2, , n 1, n .			Выберем		на каждом	из	частичных		промежутков
xk 1, xk по произвольной точке xk , вычислим значения							f xk	функции f x в
этих точках и введем обозначения				xk xk xk 1 .		Легко видеть, что каждое из
произведений	f	x1 x1,	f x2 x2 ,		f x3 x3, , f xn xn ,			равно площади
прямоугольника,		опирающегося		соответственно		на	частичные		промежутки
x0 , x1 , x1, x2 , x2 , x3 , , xn 1, xn					и	имеющего			высоты
f x1 , f x2 ,	f x3 , , f xn . Сумма

n

Sn f xk xk

k 1

равна площади ступенчатой (заштрихованной) фигуры, составленной из указанных прямоугольников. При неограниченном увеличении числа точек

дробления промежутка a, b на частичные промежутки и притом так, чтобы длина самого большого частичного промежутка стремилась к нулю, естественно считать, что величина Sn будет стремиться к S независимо от способа разбиения

промежутка a, b на частичные промежутки и от выбора точек x1, x2 , x3,..., xn, так что

n

S lim f xk xk . (3.24)

max xk 0 k 1

Итак, искомая площадь криволинейной трапеции равна пределу (3.24). Решение многих практических задач (определение массы стержня

переменной плотности, определение работы силы при прямолинейном движении точки и др.) сводится к вычислению пределов вида (3.24). Это обусловило введение понятия определенного интеграла - одного из фундаментальных понятий математики. Перейдем к его определению, отвлекаясь от конкретного содержания задачи.

Пусть

на конечном замкнутом

промежутке a, b ,

где a b

определена

ограниченная функция f x . Проделаем пять операций:

1) разобьем промежуток a, b произвольным образом на п частей точками

x0 , x1, x2 , xn 1, xn ,

следующими

друг

за

другом

так,

что

a x0 x1 x2 xn 1 xn b

(для удобства записи точки а и b обозначены

соответственно

через

x0

и

xn )

и

введем

обозначения

xk xk xk 1 k 1,2, , n 1, n .

Назовем

рангом

(шагом) дробления число

max xk ;

k

xk 1 , xk

k 1, 2, , n 1, n

2) в каждом частичном промежутке

выберем

произвольно по точке xk ;

x1 , f x2 , f x3 ,..., f xn

f x

3) вычислим

значения

f

функции

в

выбранных точках;

4) составим сумму

n

n

f xk xk ,

k 1

f x

называемую

интегральной

суммой

(суммой Римана) функции

на

промежутке

a, b ,

отвечающей

данному

разбиению промежутка

a, b на

n

частей и данному выбору точек xk ;

5) вычислим предел (при этом число частичных промежутков неограниченно возрастает)

		n
	lim	f xk xk .	(3.25)
	0 k 1

Если существует конечный предел (3.25), который не зависит ни от способа разбиения промежутка [а, b] на части, ни от выбора промежуточных точек xk , то

он называется определенным интегралом от функции f x на промежутке [а, b] и обозначается символом

b	x dx .
f			(3.26)
a
Таким образом, по определению
b		n
f x dx		lim f xk xk .
a		0 k 1
В обозначении определенного		интеграла (3.26) приняты	следующие

наименования: f x - подынтегральная функция, f x dx -подынтегральное выражение, x - переменная интегрирования, a - нижний предел интегрирования, b - верхний предел интегрирования. Промежуток a, b

называется промежутком интегрирования. Если для функции f x существует

интеграл по промежутку a, b , то ее называют интегрируемой на этом

промежутке.

В определении интеграла (3.26) предполагалось, что а < b. Снимем это ограничение, положив по определению

			b	a	x dx ,
если	b < а,	то		f x dx f
			a	b
			b	f x dx 0 .
если	b = а,	то
			a
Определение. Функция		f x		называется	кусочно-непрерывной на

некотором промежутке, если она непрерывна на этом промежутке за исключением конечного числа отдельных точек, каждая из которых является точкой разрыва первого рода.

Геометрически кусочно-непрерывная функция изображается линией, состоящей из конечного числа непрерывных участков. Очевидно, что непрерывная функция является частным случаем кусочно-непрерывной функции.

Теорема. Если функция f x кусочно-непрерывна на промежутке a, b , то

она на нем интегрируема.

Из изложенного следует, что формула (3.24), дающая выражение для площади S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком

неотрицательной непрерывной функции

y

O			y f (x)
	a			b
			Рис. 3.2

f x , может быть записана в виде

b

S f x dx .

a

x В этом состоит

геометрический	смысл
определенного	интеграла	от
неотрицательной	непрерывной
функции f x	на промежутке

a, b . Чтобы дать геометрическую интерпретацию определенному интегралу от

непрерывной функции, принимающей положительные и отрицательные значения, достаточно площадям криволинейных трапеций, ограничиваемых графиком функции, приписывать знак, а именно: положительными считать площади тех трапеций, которые расположены над осью Ox , а отрицательными - под осью Ox

(рис. 3.2)

Геометрический смысл определенного интеграла теперь можно сформулировать следующим образом: определенный интеграл от непрерывной функции равен алгебраической сумме площадей криволинейных трапеций, ограниченных графиком этой функции, осью абсцисс, а так же прямыми x a и x b , причем площади трапеций, расположенных над осью абсцисс, берутся со знаком +, а площади трапеций, расположенных под осью абсцисс - со знаком .

Основные свойства определенного интеграла

Перейдем теперь к рассмотрению основных свойств определенного интеграла.

Свойство 1. Если функция			f x интегрируема на промежутке a, b и c -
некоторая постоянная, то функция			cf x		также интегрируема на a, b , причем
		b				b
		cf x dx c f x dx .								(3.27)
		a				a
Свойство 2.	Если функции			f1(x)	и	f2 (x) интегрируемы на промежутке
a,b , то их сумма	f1(x) f2 (x) также интегрируема на a,b , причем
	b	f x f			b	f x dx	b	f		x dx.
				x dx
	a	1	2		a	1	a		2

Заметим, что свойства 1 и 2 выражают свойство линейности

определенного интеграла относительно подынтегральной функции:

определенный интеграл от линейной комбинации конечного числа интегрируемых функций равен соответствующей (т.е. с теми же коэффициентами) линейной комбинации определенных интегралов от этих функций:

b

c f

x c f

x c f

x dx c

b

f

x dx c

b

x dx .

f

a

1 1

2

2

n

n

1a

1

n a

n

Свойство 3. (Аддитивность относительно промежутка интегрирования).

Если функция f(x) интегрируема в наибольшем по длине промежутке, определяемом любыми числами а, b, с, то имеет место равенство

b	c	b
f x dx f x dx f x dx .
a	a	c

Свойство 4. Если а < b и на промежутке [а, b] функция f(x) интегрируема, причем всюду в [а, b] выполняется неравенство f (x) 0 f (x) 0 , то

b	b	f x dx 0
f x dx 0			.
a	a

Свойство 5. Если а < b и на промежутке [а, b] функции интегрируемы, причем всюду в [а, b] выполняется неравенство f x

(3.28)

f(x) и g(х) g x , то

b	b
	f x dx g x dx .	(3.29)
a	a

Свойство 6. Если a b и на промежутке a,b функция f (x)								интегрируема,
причем всюду в a,b выполняется неравенство
			m f (x) M ,						(3.30)
где т и М - некоторые постоянные, то							b
									b a .
					m b a f (x)dx M
y		y f (x)					a		(3.31)
				Свойство 7. (Теорема о среднем).
f (c)				Если	функция		f (x) непрерывна на
				промежутке	a,b , то в этом промежутке
				найдется хотя бы одна такая точка с, что
		f (c)		будет иметь место равенство
				b
					f (x)dx f (c)(b a) .
O			x						(3.32)
a		Рис. 3.3 c b		a
				Теорема		о	среднем	в	случае
				неотрицательной		функции		f (x)	имеет

простой геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f (x) , равна площади прямоугольника с основанием длины

b a и высотой длины f (c) (рис. 3.3).

Свойство 8. Изменение значений функции f (x) в любом конечном числе

точек промежутка интегрирования не влияет ни на интегрируемость функции, ни на значение интеграла.

В заключение сделаем еще одно замечание: определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.

b b b

f (x)dx f (t)dt f ( )d .

a a a

Формула Ньютона-Лейбница

Рассмотрим основной способ вычисления определенного интеграла, основанный на связи определенного интеграла от данной функции с ее неопределенным интегралом.

Пусть функция f (x) интегрируема на промежутке a,b .	Возьмем
произвольное значение x a,b и рассмотрим определенный интеграл
x
f (t)dt ,	(3.33)
a

где переменная интегрирования обозначена через t , чтобы не путать ее с выбранным значением х. Очевидно, что величина интеграла (3.33) зависит от выбранного значения x , т.е. является функцией x . Обозначив эту функцию через F (x) , будем иметь

x

F(x) f (t)dt .

a

Функцию F (x) называют определенным интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема. (Барроу).

Если функция f (x) непрерывна на промежутке a,b , то интеграл с переменным верхним пределом

x

F(x) f (t)dt

a

имеет производную, равную значению подынтегральной функции при верхнем пределе, т.е.

		x
				f (x) .
F (x)			f (t)dt
	a

		Доказательство. Вычислим производную		функции F x , исходя		из
определения производной. Для этого зафиксируем произвольное значение					x	из
	a,b	, дадим ему некоторое приращение		найдем соответствующее	ему
			x и

приращение функции F x , используя свойство аддитивности определенного интеграла относительно промежутка интегрирования,

Ньютон Исаак (1643-1727) – английский физик и математик, Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646-1716) – немецкий математик, физик, философ.Барроу Исаак (1776-1862) – английский математик.

F x F x x

F x

x x

x

f t dt f t dt

a

a

x

x x

x

dt

x x

f t dt

f t dt f t

f t dt.

a

x

a

x

Применяя к последнему интегралу теорему о среднем, получим

F x f c x,

где c - некоторая точка между x и x x . Из последнего равенства следует

F x

f c .

x

Замечая, что при

x 0

точка c

стремится

к

точке

x ,

и учитывая

непрерывность функции

f x , получим окончательно

F ' x

lim

F x

lim

f c f x .

x

x 0

c x

f (x)

Эту теорему можно сформулировать иначе: если функция

непрерывна

на промежутке a,b , то определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из ее первообразных на этом промежутке. Отсюда следует, что

x
f (x)dx f (t)dt C .
a
Теорема (основная теорема интегрального исчисления). Если функция
f (x) непрерывна на промежутке a,b и x - ее любая первообразная на этом
промежутке, то имеет место равенство
b
f x dx b a .	(3.34)

a

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

		функций x	x
Доказательство.	Каждая из		и f t dt		является
			a
первообразной для f x	на промежутке a,b и, следовательно,			они различаются
		x
друг от друга на некоторую постоянную C1 , так что f t dt x C1 .
		a
Для определения	C1 положим	в этом равенстве	x a;	тогда	получим

C1 a . Используя это, предыдущее равенство запишем в виде

x

f t dt x C1 x a .

a

Положив теперь x b , и возвращаясь к прежнему обозначению переменной интегрирования, получим:

b

f x dx b a .

a

Примечание. Для краткости записи часто употребляют обозначение (знак двойной подстановки)

b a x ba .

Учитывая это, формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде

b	f		x dx	x		b
							(3.35)
						a .

a

Примеры: 1. Вычислить

1

x2dx.

0

Функция x3 является первообразной для х2 на промежутке [0,1]. По

3

формуле Ньютона-Лейбница имеем

	1	x3			1	1
	x2dx						.
		3				3
	0				0

2. Вычислить

sin xdx.

0

Функция cos x является первообразной для sin x на промежутке [0, ] и, следовательно, по формуле (3.35)

sin xdx cos x 0 cos cos 0 1 1 2.

0

3. Вычислить

								1 dx
								1		.
									1 x2							1
	Функция arctgx является первообразной для функции																				на промежутке
																1 x2
	1,1
	и, следовательно,
	1		dx	arctgx		1		arctg 1
						1	arctg1																	.
			x2
	11										4			4			4		4				2

Формула замены переменной в определенном интеграле

Одним из эффективных методов вычисления определенных интегралов является метод замены переменной интегрирования (метод подстановки).

Приведем формулу замены переменной в определенном интеграле.

	Теорема. Если функция f (x)		непрерывна на промежутке a,b , а функция
t	непрерывно дифференцируема на промежутке							, ,	причем промежуток
,	отображается функцией		t		в	промежуток			a,b , так что
a, b , то
	b	f (x)dx						dt.
									(3.36)
	a

Эта формула называется формулой замены переменной интегрирования

(подстановки) в определенном интеграле.

Пример 1. Вычислить при x 0

4

dx

.

0

1 x

Сделаем

подстановку x t2 , считая

t 0 . Найдем

новые пределы

интегрирования:

при x 0 имеем

t 0 ,

при

x 4

имеем t 2 .

Таким образом,

имеем

4

2

2

dx

2tdt

tdt

2

.

1

x

1 t

1 t

0

0

0

Добавим и вычтем в числителе 1, получим:

	2		tdt				2		t 1 1							2					1
	2						2								dt 2		1					dt
		1		t					1 t												1 t
	0						0									0
	t					02	ln(1 t)					02	2 2 ln 3 4 ln 9.
Пример 2. Вычислить										2
												ex2 x dx.
										0
Чтобы упростить подынтегральное выражение, положим x2 t , т.е. сделаем
замену переменной	x t ,			считая					t 0 ;				при этом							2xdx dt , т.е.			xdx	1 dt . С
	x2 t																							2
помощью формулы				найдем новые пределы интегрирования: при																					x 0
имеем t 0 , при x 2 имеем t 4 . Используя формулу (3.36), получим
	2						4	dt		1			4			1 et				4	1	e4 1 .
	ex2 x dx et												etdt
	0						0		2	2			0			2				0	2

В заключение заметим, что подбор удачной подстановки бывает не так очевиден, как в простейших случаях. Все зависит от навыка и изобретательности того, кто выполняет интегрирование, ибо общих правил отыскания удачных подстановок не существует.

Формула интегрирования по частям для определенного интеграла

Одним из основных методов вычисления определенных интегралов является метод интегрирования по частям. Приведем формулу интегрирования по частям

для определенного интеграла.
Теорема. Если функции u u(x)	и v v(x) непрерывны вместе со своими
производными на промежутке a,b , то
b				b	b
						(3.37)
u(x)v (x)dx u(x)v(x)					v(x)u (x)dx .
a				a	a
Эта формула называется формулой интегрирования по частям для
определенного интеграла.
Примечание. Часто равенство (3.37) записывается в виде
b			ba		b
udv uv					vdu .
a					a

В этом случае следует иметь в виду, что в обоих определенных интегралах интегрирование производится по переменной x , а не v и u , как это формально следует из формы записи интегралов.

Пример. Вычислить

2

xln xdx .

1

	Полагаем	u ln x,			dv xdx; тогда							du			1	dx,		v	x2	, следовательно,					по
															x				2
	формуле (3.37) имеем
																								2
	2	x2		2	2 x2			1		22			1				1	2			x2				3
	x ln xdx		ln x	1				x	dx		ln 2			ln1				xdx 2 ln 2						ln 4		.
		2								2			2				2				4				4
	1				1 2													1						1

Вычисление площади плоской фигуры в прямоугольных координатах.

Ранее было показано, что площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графиком неотрицательной функции f (x) ,

осью	Ox	и вертикальными прямыми
x a,	x b	a b определяется формулой

y

y f (x)

	y (x)
O		x
a	Рис. 3.4	b

b

S f (x)dx.

a

Если фигура ограничена сверху графиком функции y f (x) ,а снизу графиком функции y (x) (рис. 3.4), то ее площадь S находится по формуле

b	f (x) (x) dx ,
S		(3.38)
a

так как она представляет собой разность площадей криволинейных трапеций,

ограниченных графиком функции y f (x)	и y (x) . Формула (3.38)
справедлива при любом расположении кривых	y f (x) и y (x) относительно
оси Ox (естественно, при сохранении условия	f (x) (x) ). Вычисление площади

более сложной фигуры может быть выполнено при помощи формулы (3.38) путем предварительного разбиения фигуры на соответствующие части и суммирования их площадей.

	y			x	Пример. Вычислить площадь S
O	1	2			фигуры,	ограниченной		гиперболой
				1	y 1 и прямыми y x,			x 2 .
			y
				x	x
					Сделаем сначала чертеж, на
	A
1			x 2		котором изобразим данные линии (рис.
					3.5).
	y x				Из чертежа видно, что данная
2					фигура	ограничена	сверху		линией
	Рис. 3.5				y 1x ,	а снизу -	линией		y x .

Найдем сначала абсциссу точки А - точки пересечения указанных линий. Имеем в точке А 1x x , откуда x2 1 и,

следовательно, x 1, так как точка А имеет положительную абсциссу. В согласии с формулой (3.38) можем написать

	2			1				2		1		x2				2	3
S					( x)		dx		x			dx		ln x				ln 2	.
				x						x			2				2
	1							1								1

Вычисление объема тела вращения

Если тело образовано вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной

кривой y f x и прямыми x a; x b

	y	B
	A
O	a	x
		b

Рис. 3.6

числитель на знаменатель в подынтегральном выражении:

(рис. 3.6), тогда объем тела вращения определяется по формуле (3.39):

b

V f 2 x dx

(3.39)

a

Пример. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox дуги

кривой y tgx от x 0

до x / 3 (рис. 3.7).

Решение. Объем тела

y

/ 3

/ 3

V

y2dx tg2 xdx . Представим

0

0

подинтегральную функцию tg2 x в виде

tg2 x sin

2

x

1 cos

2

x

, тогда объем

O

x

cos2 x

cos2 x

/ 3

1 cos2 x

3

2

V

dx.

Разделим почленно

cos2 x

Рис. 3.7

0

/ 3		1					/ 3											3 3
V					1 dx tgx x		0	tg						3					.
			2	x					3		3				3			3
0	cos

Вычисление длины дуги кривой

Если плоская дуга AB задана параметрическими уравнениями:

x t ; y t t ,

(3.40)

где функции t и t имеют непрерывные частные производные, не

обращающиеся в нуль одновременно, тогда формула для вычисления длины дуги имеет вид:

l

' t 2

' t

2 dt

.

(3.41)

Если же дуга задана в явном виде y f x

y

B

a x b , то длина дуги будет вычисляться по формуле:

l

b

1 f '

x

2 dx

.

(3.42)

a

Рассмотрим теперь вычисление дуги плоской

кривой, которая задана в

полярных координатах

с

O

x

помощью

уравнения

,

где функция

-

Рис. 3.8

непрерывно дифференцируема на промежутке

; , а

начальная и конечная точки имеют полярные углы и

соответственно.

Формула для вычисления длины дуги в полярных координатах имеет вид

'

2

2 d .

l

(3.43)

2

Пример 1.

Найти длину дуги кривой

y

x3

от начала координат до

3

8;

32 2

точки B

(рис.3.8)

3

2

2

x3 2

2

3

Решение.

Так

как

x3

x1 2 x , то

y

3

3

3

2

1 y x 2

1

x 2

1 x . Поэтому

8

8

x 1 d x 1

2

x 1 3 2

8

2

27 1 17 1 .

l 1

x dx

y

0

0

3

0

3

3

Пример 2. Вычислим длину одной арки циклоиды

x t sin t

0

t 2 (рис. 3.9).

1 cos t

x

y

O

Решение. Найдем производные xt

и yt .

Рис. 3 .9

2

Найдем

xt 1 cos t;

yt

sin t .

xt 2

yt 2 1 cos t 2

sin2 t

1 2 cos t cos2 t sin2 t 2 2 cos t 2

1 cos t ..

Применим тригонометрическую формулу 1 cos t

2sin

2

t

. Следовательно,

2

xt 2 yt 2 2 2sin2 2t . А корень из этого выражения будет равен:

xt 2 yt 2 4 sin2 2t 2 sin 2t .

Тогда длина дуги одной арки циклоиды

	2	xt	2	yt				2		2		t			2		t	t
l									dt 2		sin	2	dt 2	2		sin	2	2
																		d
	0									0					0
	4cos			t			2 4 cos cos0 4 1 1 8.
				2			0

	Пример 3.		Вычислить длину дуги логарифмической спирали ae от
0	до 0 .
	Решение. Найдем производную ae . Тогда длина дуги
		0		0				0
	l		2 ( ') 2 d				a 2 e 2 a 2 e 2 d		2 a 2 e 2 d
		0			0			0
			0					2 e 0 e 0 a	2 e 0 1 .
	a	2 e d a		2 e			0 a
						0
			0
			Вычисление площади поверхности вращения
	Пусть на плоскости дана дуга						AB (рис. 3.6), уравнение которой y f x
a x b , причем функция f x					неотрицательна на a, b				и имеет непрерывную

производную. Тогда площадь Q поверхности, получающейся при вращении дуги AB вокруг оси Ox (рис. 6) может быть вычислена по формуле

		Q 2 b	f x 1 f ' x 2 dx.			(3.44)
		a	Решение задач
		2	4 x2 dx .
	Задача 1. Вычислить x2
		0
	Решение. Введем подстановку x 2 sin t , тогда dx 2 cos tdt . Если x 0 , то
t 0 ; если x 2 , то t		. поэтому
2	/2	2	/2			/2
x2	4 x2dx 4sin2 t	4 4sin2 t2costdt 8		sin2 t 2	1 sin2 xcostdt 16 sin2 tcos2 tdt .
0	0		0			0

Используя формулу двойного угла: sin 2t 2 sin t cos t , продолжим решение

/ 2	sin2 t cos2 tdt 16	/ 2	1 sin2	2tdt 4	/ 2
16					sin2 2tdt .
0		0	4		0

Известно, что sin2 2t 1 cos 4t . Тогда подставляя в последний интеграл,

2

окончательно получим

/ 2	sin2	/ 2	1 cos4t		/ 2			/ 2		1	sin 4t		/ 2				0		.
4		2tdt 4	2	dt 2		1 cos4t dt 2 t		0		4			0		2	2
0		0		ln 2	0
					ex 1dx .
Задача 2. Вычислить

0

Решение. Положим							ex 1 t , тогда ex 1 t2;																ex t2 1 и, следовательно,
x ln t2 1 , dx			2t	dt . Найдем новые пределы интегрирования: при x 0
	1		2
			t
имеем t 0 , при x ln 2					имеем t 1. Тогда
							ln 2							1				2t				1		t2
									ex 1dx t										dt 2									dt.
																		2					1 t			2
						0								0		1 t						0
Добавим и вычтем 1 в числителе последнего интеграла, получим
					1		t2			1		t2	1					1			1				1
				2					dt 2							2		dt		2 1									dt
						1 t		2				1 t															2
					0					0											0		1 t
					1			1	dt						1					1
						dt								t
										2					0					0
			2								2						arctgt					2		1		4				2	2	.
								0 1 t
				0

1

Задача 3. Вычислить xarctgxdx .

0

Решение. Данный интеграл можно вычислить с помощью метода

																																								1
																								u arctgx, du																					dx
																																						1		x			2
интегрирования							по		частям,						положив																																		.		Тогда в
																																														2
																																												x
																								dv xdx;v xdx
																																												2
соответствии с формулой (3.37) будем иметь:
							1						x2						1 1 x2								dx						1					1		1		x2
							xarctgxdx								arctgx																																		dx .
												2											2 1				x2						2			4		2				x2
							0												0 0																					0 1
	Для вычисления последнего интеграла сначала добавим и отнимем в
числителе по единице, затем произведем почленное деление
			1		x2				1 x2 1 1										1								1							x arctgx													1
								dx								dx				1									dx																				1			.
				1 x2						1 x2														1 x2																											4
			0						0										0																												0
	В результате имеем:
						1						1					1												1											1				2						.
							xarctgxdx					2			4		2	1			4						8		2					8			4			2						4
							0
	Задача 4. Вычислить ex sin xdx .
	Решение.						Данный			0	интеграл									берется									по							частям								дважды. Пусть
	u sin x, du cos xdx
		x	dx;v		e	x	dx e		x .	Тогда в соответствии с формулой (3.37) получим:
dv e

ex sin xdx ex sin x

ex cos xdx ex cos xdx

0

0

0

0

(так как sin 0 0

и sin 0 ).

К последнему

интегралу

снова

применяем

формулу

интегрирования

по

u cos x, du sin xdx

частям, полагая

x

x

x

, следовательно,

e dx e

dv e dx,v

y

ex cos xdx ex cos x

0 ex sin xdx

A

1

x

0

0

O

3

e 1 1 ex sin xdx e

1 ex sin xdx.

1

0

0

B

Подставим в исходный интеграл, получим:

Рис. 3.10

ex sin xdx e 1 ex sin xdx , откуда

0

0

1 .

2 ex sin xdx e 1;

или

ex sin xdx e

0

0

2

y x

Задача 5. Вычислить площадь сегмента, отсекаемого

прямой

от

параболы y 2x x2 .

Решение.

Методом выделения

полных

квадратов

приведем

уравнение

параболы к

виду

y 1

x 1

2

,

отсюда

видно,

что

парабола

симметрична

относительно прямой x 1,

ветвями направлена вниз и вершина ее лежит в точке

1;1

(рис. 3.10).

2

y 2x x

Найдем

абсциссы

x1

и

x2

точек

пересечения

A

и

B :

;

x x 3 0 ;

y x

x 2x x2 ;

3x x2 ;

x2

3x 0 ;

x1 0, x2

3 .

Теперь по формуле

(3.38) вычисляем

3

3

2

3

3

S

2x x2

x

dx

3x x2

dx 3

x

x

0

2

3

0

0

3

9

27

27

27

1

1

27

1

9

кв. ед.

2

3

2

3

27

2

6

2

3

Задача 6. Вычислить длину дуги кривой

y2

x3 ,

отсеченной прямой x

4

в первом квадранте (рис. 3.11).

y

A

3

x 4

Решение. Из условия следует, что уравнение дуги

O

x

OA имеет вид y x3/ 2

; тогда y ' 3 x

12 ; y ' 2

9 x.

3

2

4

B

Рис. 3.11

	Длина дуги кривой в этом случае вычисляется по формуле: l b																																											1 y ' 2 dx ,
																																											a
								4 / 3				94 xdx .
тогда длина дуги						lOA			1									Чтобы взять данный интеграл,																										представим
								0
дифференциал dx					в виде dx					4		d						9	x		, тогда
										9				1				4
								4 / 3							9						4		4 / 3				9			1							9
											1						xdx															2	d
							lOA								4						9			1			4			x				1			4		x .
									0														0
	Используя свойство инвариантности формул интегрирования и табличный
интеграл от степенной функции																xmdx						xm 1				C				, получим
																						m		1
																				9			3
			4/3																				2																					3
							1										1					x															3
		4				9	2			9						4				4					4/3				8					9		2		4/3			8					56
	lOA			1			x	d 1			x															0					1				x				0				42 1				,
		9	0			4				4						9 3/ 2												27						4							27					27
																																													3
	y							Задача 7. Вычислить длину астроиды																																	x a cos3 t					, при
							t 0, 2																																		y asin t
	a										(рис. 3.12).
a	O		a x										Решение.											Дуга								задана								параметрическими
							уравнениями,										в	этом					случае							длина						дуги определяется по
							формуле:					l				t2		dx 2						dy			2
	a																												dt . В данном примере кривая
																t		dt						dt
	Рис. 3.12						симметрична									1	относительно													обеих							координатных									осей,

поэтому вычисляем сначала длину ее четвертой части, расположенной в первом

квадранте: ясно, что							dx 3acos2 t sin t;	dy 3asin2 t cost;	dx 2
										9a2 cos4 t sin2 t;
							dt	dt	dt
dy 2		2	sin	4	t cos	2	t . Для четвертой части длины дуги l		(в первом квадранте)
	9a
dt			изменяется от t 0 до t
параметр t								. Подставляя это в формулу (3.41) длины
							2

дуги, получаем:

	t2	dx 2		dy 2
l						2		2			4		2				2			4		2
						dt	9a		cos			t sin		t		9a		sin			t cos		tdt
4	t	dt		dt		0
	1
	2		9a2 cos2 t sin2 t cos2				t sin2			t dt 3a 2						cos2 t sin2 t
	0														0
																			/ 2
	3a 2 sin t cos tdt					3a 2 sin td sin t 3a sin t 2															3a .
			0			0										2			0		2

Вся длина дуги

a y

2a

O

a

Рис. 3.13

l 4 32a 6a .

Задача 8. Найти длину кардиоиды a 1 cos при 0, 2 .

Решение. Кардиоида	a 1 cos	задана в

xполярных координатах и изображена на рис. 3.13. Она симметрична относительно оси Ox . Найдем половину длины кардиоиды (т.е. будем считать, что угол изменяется от 0 до ) по формуле (3.43):

	2 ' 2 d .
l		Вычислим	производную

' a sin . Подставим в формулу длины дуги, получим:

l	a2 1 cos 2 a2 sin 2 d a			1 2cos cos2 sin2 d
0			0
	a	2 2cos d a	2 1 cos d .
	0			0
	В	последнем		интеграле	используем формулу:
y	1 cos 2cos2 . Тогда			1 cos	2 cos . Подставив это в
		2			2

формулу длины дуги кардиоиды, получим:

	x													d
O	2	l a	2	1 cos d a					2	2 cos
	Рис. 3.14		0								0			2
		2a 2 cos							4asin				4a
						d
				0	2		2				2		0

Таким образом, длина дуги всей кардиоиды равна 8a .

Задача 9. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной параболой y2 6x , прямой x 2 и осью

Ox (рис. 3.14).

Решение. Объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox , находится по формуле (3.39). В нашем случае имеем

Vx

b

y2dx 2

6xdx 6

x2

2

3 x2

2

3 4 12 .

2

a

0

0

0

Задача 10. Найти объем тела, полученного

вращением вокруг оси Oy , криволинейной трапеции,

y

ограниченной гиперболой xy 6

и прямыми

y 1, y 6

6

(рис. 3.15).

24

Решение.

Объем

тела,

полученного

вращением

x

d

1

вокруг оси Oy ,

2

dy .

O

2

4

6

вычисляется по формуле Vy x

c

Рис. 3.15

x

6

x2

36

xy 6

Из уравнения кривой

находим

y

;

y2 .

Тогда получаем

6

6

1

6

6

Vy

362 dy 36 y 2dy 36

y

36

36 36

30 .

1

y

1

1

1

y

1

6

Задача 11. Вычислить площадь шарового пояса,

y

получаемого

вращением

вокруг

оси

Ox

дуги

2

окружности

x2 y2 4

между точками с абсциссами

x 1, x 1 (рис. 3.16).

2

1

1

2

x

Решение. Площадь поверхности S

в этом случае

O

находится

по

формуле

(3.44)

2

b

dy

2

S 2 y 1

dx .

Рис.3.16

a

dx

Из уравнения окружности x2 y2 4 найдем (для

верхней полуокружности)

y

4 x2 , а тогда

dy

2x

x

;

dy 2

x2

.

dx

2 4 x2

4 x

2

Найдем произведение

4 x2

dx

y

1

dy

2

4 x

2

1

x2

4 x

2

2

2 .

4 x

2

dx

4 x2

Тогда площадь поверхности S 2 1

2dx 4 1

dx 4 x

1

8 .

1

1

1

Вопросы для самопроверки по теме 3.4

1.Что называется определенным интегралом от данной функции?

2.В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла от неотрицательной непрерывной функции?

3.Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.

4.Сформулируйте теорему о среднем, какой ее геометрический

смысл?

5.Сформулируйте теорему Барроу, докажите ее.

6.Напишите формулу Ньютона-Лейбница, приведите примеры.

7.Докажите основную теорему интегрального исчисления.

8.Как пересчитываются пределы интегрирования при вычислении определенных интегралов методом замены переменной?

9.Как осуществляется интегрирование по частям в определенном

интеграле?

10.Какие приложения определенного интеграла Вы знаете?

11.Как вычислить площадь плоской фигуры в декартовых координатах?

3.5. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций

При изучении данной темы Вам предстоит ознакомиться со следующими вопросами:

Несобственные интегралы с бесконечными пределами.

Несобственный интеграл от неограниченной функции.

После изучения данных материалов Вам следует ответить на вопросы для самопроверки и решить тест №8. Если Вы будете испытывать затруднения в ответах, обратитесь к [2], глава 2, с. 57-61 и к глоссарию – краткому словарю основных терминов и положений.

Студентам очно-заочной и заочной форм обучения надо решить задачу в соответствии со своим вариантом из № 151-160.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами

При определении определенного интеграла предполагалось, что

промежуток интегрирования конечен и функция на этом промежутке ограничена. Однако, исходя из теоретических и практических соображений, целесообразно обобщить понятие определенного интеграла на случай, когда указанные ограничения не выполняются.

Пусть функция f (x) определена и непрерывна в промежутке a, . Выберем произвольное число А из промежутка a, . Так как функция f (x)

непрерывна на промежутке a, A , то		A
		существует интеграл f (x)dx ,	который
зависит от выбранного значения А.		a
			f (x) no
Определение.	Несобственным	интегралом от функции
промежутку a,	называется предел

A

lim f (x)dx

A a

и обозначается символом f (x)dx . Таким образом, по определению

a

			A
	f (x)dx	lim	f (x)dx .	(3.45)
a		A a

Несобственный интеграл называется сходящимся, если указанный предел конечен, и расходящимся, если он равен бесконечности или не существует.

Факт сходимости интеграла записывается в виде неравенства

f (x)dx .

a

Несобственный интеграл от функции f (x) по промежутку , a определяется аналогично

a	f (x)dx	lim	a
			f (x)dx.
		A A
Наконец, несобственный	интеграл	от	функции f (x) по промежутку

, определяется с помощью следующего равенства

y

y f (x)

	a
	f (x)dx	f (x)dx f (x)dx ,
		a

где а - произвольное число.

Интеграл в левой части равенства считается сходящимся, если сходятся оба интеграла в правой части; если хотя бы один из этих интегралов расходится, то

O
		x	расходится и интеграл	f (x)dx . Можно
	a
		Рис. 3.17
			показать, что сходимость интеграла и его
			значение не зависят от	выбора числа а.

Ниже рассматриваются несобственные интегралы вида f (x)dx , так как теория

		a
	a
несобственных интегралов вида	f (x)dx и	f (x)dx аналогична.
С геометрической точки	зрения несобственный		интеграл f (x)dx	от
		f (x) можно	a
непрерывной неотрицательной	функции		интерпретировать	как

площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f (x) и

простирающейся в бесконечность (рис. 3.17).

Если интеграл сходится, то этой трапеции приписывается конечная площадь, равная значению интеграла.

На несобственный интеграл может быть распространена формула НьютонаЛейбница. Если F x - первообразная для f (x) на промежутке a, , то

	f (x)dx	lim	A
			f (x)dx
a		A a

где положеноF( ) lim F(x) .

x

			dx
Пример. Вычислить		1			.
			1 x2
Решение.
	dx	arctgx
1
	1 x2
				1

lim F( A) F(a)

A

lim	arctgx arctg1
x		2

F( ) F(a),

.

4 4

Часто бывает достаточно лишь ответить на вопрос: сходится или расходится данный интеграл. Для этой цели существуют несколько признаков.

Определение.

Несобственный интеграл f (x)dx называется абсолютно

a

сходящимся, если

сходится интеграл

f (x)

dx . Если

интеграл

f (x)dx

a

a

сходится, а интеграл

f (x)

dx расходится,

то он называется неабсолютно (или

a

условно) сходящимся.

Теорема. (Признак сходимости).

Несобственный

интеграл

f (x)dx

a

сходится, если он абсолютно сходится.

Теорема. Если на промежутке a,

функции x и

f (x)

непрерывны,

неотрицательны и x f (x) , то из

y

сходимости

интеграла

f (x)dx

a

следует сходимость

(x)dx , a из

a

l2

расходимости

(x)dx

следует

a

l1

расходимость

f (x)dx .

O

a

x

a

Рис. 3.18

Дадим

данной

теореме

геометрическую

иллюстрацию.

Пусть l1 и l2 означают графики функций соответственно x

и f (x)

(рис. 3.18).

Так

как

x f (x) ,

то

кривая

l1

расположена

не

выше

кривой l2 .

Очевидно,

что если

интеграл

f (x)dx

сходится,

то

кривая l2

ограничивает

a

конечную

площадь,

тогда

и кривая l1

ограничивает

конечную площадь, т.е.

интеграл

(x)dx

сходится.

С другой

стороны, если интеграл

(x)dx

a

a

расходится, то криволинейная трапеция, ограниченная кривой

l1

не

имеет

конечной площади, а тогда и подавно криволинейная трапеция,

ограниченная

кривой l2 ,

не имеет конечной площади, а это и значит,

что интеграл

f (x)dx

расходится.

a

sin x

dx .

Пример. Исследовать сходимость интеграла

1 x2

1

Решение. Так как при всех рассматриваемых х выполняется неравенство

sin x

1

,

1 x2

1 x2

dx

а интеграл

1

сходится (см. пример

выше), то данный

интеграл

1 x2

сходится и притом абсолютно.

Несобственный интеграл от неограниченной функции

Пусть функция	f (x) непрерывна на	промежутке a,b , а в точке b
неограничена, т.е. в этой точке она имеет бесконечный разрыв:
	lim f (x) или	lim f (x) .
	x b 0	x b 0
Определение.	Несобственным интегралом от функции f (x) no
промежутку a,b называется предел

A

lim f (x)dx

A b 0 a

b

и обозначается символом f (x)dx . Таким образом, по определению

a
b	f (x)dx	lim	A
			f (x)dx.
a		A b 0 a

Несобственный интеграл называется сходящимся, если указанный предел конечен, и расходящимся, если он не существует или равен бесконечности.

Аналогично определяется несобственный интеграл от функции f (x) по промежутку a,b , когда функция имеет бесконечный разрыв в точке а

b	f (x)dx	lim	b
			f (x)dx.
a		A a 0 A

Если функция f (x) имеет бесконечные разрывы на обоих концах промежутка a,b , то несобственный интеграл от нее определяется равенством

b	c	b
f (x)dx f (x)dx f (x)dx,
a	a	c
		a,b . Интеграл	b
где с - произвольная точка	промежутка		f (x)dx считается

a

сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла в правой части. Выбор точки с в этом случае не имеет значения.

Теория несобственных интегралов по бесконечному промежутку аналогична

	теории несобственных интегралов от неограниченных функций.
		y				С геометрической точки зрения
									b
						несобственный	интеграл		f (x)dx	от
				y f (x)					a
						неотрицательной			функции,
					x	неограниченной в		точке	b , можно
						интерпретировать		как	площадь
	O	a		b
						криволинейной трапеции			с верхней
				Рис. 3.19		границей,	простирающейся			в

бесконечность (рис. 3.19). Если интеграл сходится, то этой трапеции приписывается конечная площадь.

На несобственный интеграл от неограниченной функции распространяется

формула Ньтона-Лейбница.			Так, если	F (x) - первообразная для f (x) на
промежутке a,b (в точке b функция f (x)				имеет бесконечный разрыв), то
b		A	f (x)dx lim		F( A) F(a) F(b 0) F(a),
f (x)dx lim
a	A b 0 a		A b 0
где F(b 0)	lim F( A).
	A b 0

Понятие абсолютной сходимости для несобственного интеграла от неограниченной функции определяется точно так же, как и для несобственного интеграла по бесконечному промежутку.

Для несобственных интегралов от неограниченных функций имеют место признаки сходимости, аналогичные признакам сходимости интегралов по бесконечному промежутку.

Решение задач

dx

Задача 1. Вычислить несобственный интеграл 1 x2 или установить его

расходимость.

Решение. По определению (3.45) несобственный интеграл с бесконечным пределом равен

	dx	b			b	0 1 1,
		lim x 2dx lim 1
1	x2	b 1	b x		1
следовательно, интеграл сходится и равен 1.
							dx
Задача 2. Вычислить несобственный интеграл						a		или установить его
							x ln x

расходимость.

Решение. По определению несобственный интеграл с бесконечным пределом равен

dx

b

dx

b d ln x

lim ln| ln x |

b

ln ln b ln ln a ,

lim

lim

a

lim

x ln x

ln x

b

a

b a x ln x

b a

b

следовательно, интеграл расходится.

Задача

3.

Используя

признак

сравнения,

установить, сходится или

dx

1

расходится несобственный интеграл

.

x2 1 3x

x2 1 3x x2 ,

1

1

Решение.

При

x 1

следовательно

.

Но

x2 1 3x

x2

интеграл

dx

1

(сходится)

(см.

задачу

1).

Следовательно,

на основании

x2

1

dx

признака сравнения сходится и данный несобственный интеграл

1

(и

x2 1 3x

его значение меньше 1).

Задача

4.

Используя

признак

сходимости,

установить,

сходится

или

расходится несобственный интеграл

cos x

dx.

x3

1

Решение.

Так

как

| cos x | 1,

то

cos x

1

.

Исследуем на сходимость

x3

x3

1

dx. По определению этот интеграл равен:

интеграл

x3

1

b

1

dx

b

1

dx

x 2

1

1

b

1

1

1

lim

lim

lim

lim

1

,

x3

x3

2

b

b

2

2 b x2

2 b b2

1

1

1

1

интеграл

сходится.

Следовательно,

на

основании

признак

сравнения

сходится и данный интеграл

cos x

dx.

x3

1

1

dx

Задача 5.

Вычислить несобственный интеграл

0

или установить его

x

расходимость.

1

Решение.

Функция

непрерывна при

0 x 1 и имеет единственный

x

бесконечный

разрыв

в

точке

x 0.

Поэтому,

используя

определения

несобственного интеграла от неограниченной функции, получим:

1

dx

1

dx

1

lim

lim

2

x

lim 2 2

A 2,

x

x

0

A 0 A

A 0

A

A 0

значит интеграл сходится и равен 2.

Задача

6.

Используя

признак

сходимости,

установить,

сходится

или

3

2 cos x

dx.

расходится несобственный интеграл

1

x 1 2

Решение.

Функция

2 cos x

имеет бесконечный

разрыв в

точке

x 1.

x 1 2

2 cos x 1

при

любом

значении

x ,

поэтому

2 cos x

1

.

Исследуем

x 1 2

x 1 2

несобственный интеграл

3

3

1

3

2

x 1

1

1

3

1

1

dx

lim x 1

d x 1 lim

lim

lim

,

с

x 1 2

1

A 1 0A

A 1 0

1

A 1 0 x 1

A

A 1 0

2

A 1

3

A

dx

ледовательно, интеграл

1

расходится,

тогда по

признаку

сравнения и

x 1 2

3

2 cos x

dx расходится.

данный интеграл

x 1 2

1

Вопросы для самопроверки по теме 3.5

1)Что называется несобственным интегралом по бесконечному промежутку?

2)Сформулируйте признак сравнения.

3)Что называется несобственным интегралом от неограниченных функций по конечному промежутку?

		1	dx		2 dx
4)	.Являются ли интегралы	0			и 1 x	несобственными?
			x 1

4. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ И ИХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Данный раздел включает три темы:

4.1. Функции нескольких переменных.

4.2. Дифференцирование функций нескольких переменных.

4.3. Некоторые приложения частных производных.

По каждой теме излагается основной теоретический материал и приводятся иллюстрирующие его примеры. В рубрике «решение задач» дан подробный разбор типовых примеров.

После изучения раздела студентам очно-заочной и заочной форм обучения надо решить три задачи из контрольной работы № 4 в соответствии со своим вариантом.

4.1. Функции нескольких переменных

При изучении данной темы Вам предстоит ознакомиться со следующими вопросами:

Евклидовоn -мерное пространство.

Окрестности. Области.

Функции нескольких переменных.

Предел функции нескольких переменных.

Непрерывность функции нескольких переменных.

После изучения темы Вам следует ответить на вопросы для самопроверки и решить тест №9. При возникновениии вопросов следует обратиться к [3], глава 1, с. 3-11 и к глоссарию – краткому словарю основных терминов и положений.

Евклидово n -мерное пространство

При изучении функций одной переменной было использовано взаимнооднозначное соответствие между множеством вещественных чисел и множеством точек числовой оси, что позволяло отождествить понятия «точка x на числовой оси» и «вещественное число x ». При введении прямоугольной системы координат на плоскости и в пространстве устанавливается взаимно-однозначноесоответствиемежду множеством упорядоченных пар чисел и множеством точек плоскости, между множеством упорядоченных троек чисел и множеством точек трехмерного

пространства. Это дает нам право говорить о паре чисел (x, y) - как о точке

плоскостииотройкечисел (x, y, z) - какоточкепространства.

Поаналогииспредыдущимвведемследующиеопределения.

Определение. Множество всевозможных упорядоченных систем n вещественных чисел вида (x1, x2 ,..., xn ) называется n -мерным пространством

(или пространством n измерений), а каждая система n чисел (x1, x2 ,..., xn ) -

точкойэтого пространства.

Иногда это пространство называют арифметическим или координатным

n -мерным пространством.
Точку n -мерного	пространства будем		обозначать одной	буквой, например,
M (x1, x2 ,..., xn ), ачисла	x1, x2 ,..., xn будемназывать координатами точки.
Точку O(0,0,...,0)	назовемнулевойточкойпространства.
Расстояние между двумя точками			M0 (x10, x20,..., xn0 )	и	M (x1, x2 ,..., xn )
n -мерного пространства определимспомощьюформулы
(M0,M)		x1 x10 2 x2 x20 2 ... xn xn0 2 .			(4.1)

При n 1,2,3 пространство n измерений превращается соответственно в

прямую, плоскость и обычное трехмерное пространство, а из равенства (4.1) при этих условиях получаются хорошо известные формулы для расстояний между двумя точкаминапрямой, плоскостиивтрехмерномпространстве.

Определение. Пространство n измерений, в котором расстояние между двумя точками определено формулой (4.1), называется n - мерным евклидовым

пространством и обозначаетсясимволом Εn.

Окрестности. Области

Пусть дана некоторая фиксированная точка M0 (x10, x20,..., xn0 ) Εn и некоторое положительноечисло .

Определение.

удаленных от точки

окрестностью точки

y

M0

Множество точек	M (x1, x2 ,..., xn )			пространства		Εn ,
M0 (x10, x20,..., xn0 )	меньше	чем	на	,	называется	-
M 0 и обозначается R (M0 ).				M R (M0 ),
Таким образом,						если
(M0 , M ) .
При	n 1,	т.е. в	случае		прямой, имеем

M0 x10 x0,

M x1 x

и данное

определение

x

совпадает с введенным ранее для функции одной

O

переменной: R (x0 )

-

множество точек

прямой,

Рис. 4.1.

удовлетворяющих условию

| x x0 | ,

то

есть

x0 .

открытый промежуток длины 2 с серединойвточке

n 2,

y

При

т.е.

в случае

плоскости,

M0 (x10, x20 ) M0 (x0, y0),

имеем

M (x1, x2 ) M (x, y),

- окрестность точки

M0 (x0, y0 ) Ε2

представляет

множество

O

x точек M(x, y)

плоскости Oxy ,

координаты

которыхудовлетворяютусловию

1/

(M

0

, M )

(x x )2 ( y y )2

0

0

или

(x x )2

( y y )2

2.

Рис. 4.2.

0

0

Геометрически - это множество точек,

лежащих

внутри

окружности радиуса

с

центромвточке M0 (x0 , y0 ) (открытыйкруг) (рис. 4.1).

Для точки M0 (x0 , y0 , z0 )	трехмерного пространства
точек пространства, лежащих	внутри сферы радиуса
M0 (x0 , y0 , z0 ) (открытыйшар).

R (M0 ) - это множествос центром в точке

По аналогии, множество точек M (x1, x2 ,..., xn ) n - мерного пространства Εn , для которых (M0 , M ) , называют n - мерным открытым шаром с радиусом

и центром в точке M0(x10, x20,..., xn0 ). Для n - мерного пространства R (M0 ) - открытыйшар.

Множество точек M Εn, для которых (M0 , M ) , называют n - мерным замкнутым шаром (иногда просто шаром) с радиусом и центром в точке

M 0 .

Точки пространства Εn , определяемые упорядоченным набором n вещественных чисел, называют конечными точками этого пространства. Кроме

конечных точек в Εn

введем бесконечную точку, обозначив ее M или . Эту

точку введем с помощьюопределенияее - окрестности.

пространства Εn ,

Определение.

Множество

точек

M (x1, x2 ,..., xn )

удаленных от

нулевой точки

0(0,0,...,0)

более чем

на

1 , называется

-

окрестностью точки M и обозначается R (M ).

Точка M R (M ),

если (0, M) 1/ . На прямой, то есть при n 1, R ( )

-

множество точек x,

для

которых

| x | 1/ , и мы приходим к определению

-

окрестноститочки наоси Ox .

1

Наплоскости (n 2)

условие (0, M )

принимаетвид

1

x2 y2 1

x2 y2

,

то есть

или

2

- окрестностью бесконечной точки на плоскости будет множество точек,

лежащихвнеокружностирадиуса 1/ сцентромвначалекоординат(рис.4.2).

В пространстве ( n 3)R (M )

- множество точек пространства, лежащих вне

сферы радиуса с центром в точке 0(0,0,0).

Понятие

R (M )

для

M

Ε

n

используемпривведениидругихопределений.

Определение.

Точка

M Εn называется внутренней точкой множества

Ε Εn,

если

она

принадлежит множеству

Ε вместе

с

некоторой своей

-

окрестностью.

Из определения следует, что, если M - внутренняя точка множества Ε, то существует 0 такое, что R (M ) Ε.

Определение. Точка M Εn называется граничной точкой множества

Ε Εn, если любая - окрестность точки M содержит как точки принадлежащие, такиточкинепринадлежащие Ε.

Самаграничнаяточкаможетпринадлежатьилинепринадлежатьмножеству Ε.

Определение. Множество Ε Εn называется открытым, если все его точки являютсявнутренними.

Определение. Множество Ε Εn называется замкнутым, еслионосодержит все свои внутренние и граничные точки; множество всех граничных точек множества

Ε Εn называетсяего границей и обозначается Ε.							пространства Εn , координаты
Определение. Множество точек M (x1, x2 ,..., xn )
которых	заданы	как			непрерывные		функции	параметра
t : x1 x1(t), x2 x2 (t),..., xn xn (t),t T R,						называется непрерывной кривой в
пространстве Εn .					Ε Εn
Определение.		Множество					y
называется связным, если любые две точки
этого множества можно соединить непрерывной
кривой,	целиком	принадлежащей			этому			M2
множеству.
Определение.		Окрестностью			точки		O		x
M0 Εn
	называется	любое открытое связное					M1
множество точек Εn ,		содержащее		саму точку
M 0 .		R (M0 )		R(M0 ) не
Часто между			и				Рис. 4.3
делают различия, так как если				существует
R (M0 ) , то она и является			R(M0 ) ,		если же
существует R(M0 ) , товсегдаможноподобратьтакое , что R (M0 ) R(M0 ).
Определение.		Множество		Ε Εn		называется ограниченным,			если
существует n - мерный шар Rr (0)				радиуса r		с центром в нулевой точке 0(0,0,...,0)

такой, что Ε Rr (0). В противномслучаемножество Εназываетсянеограниченным.

Определение. Множество D Εn называется открытой областью, если оно а) открытоеиб) связное.

Определение. Замкнутой областью D Εn называется множество, которое получается в результате присоединения к открытой области D всей ее границы:

D D D.

Замечание. Частоприменяютиболееобщийтермин- область, понимаяподэтими открытую, и замкнутую области, а также множество, получающееся в результате присоединениякоткрытойобластичастиееграницы.

Приведем несколько примеров.

1. Рассмотрим множество Ε точек плоскости	M (x, y) Ε2, координаты
которых удовлетворяют условию x/ y 0. Точки	этого множества заполняют

первый и третий квадранты плоскости Oxy , исключая оси координат (рис. 4.3). Это неограниченное открытое множество. Областью множество Ε не будет, так как оно не является связным; действительно, точки M1 и M 2 нельзя соединитьнепрерывной

линией, целикомпринадлежащей Ε(начало координатмножеству Εнепринадлежит). 2. Пусть множество Ε - множество точек, координаты которых удовлетворяют

условию x2 y2 z2 1. Этоограниченнаязамкнутая область в пространстве Ε3 .

Функции нескольких переменных

Пусть Ε- некоторое подмножество n - мерного пространства: Ε Εn . Определение. Если в силу некоторого закона каждой точке

M (x1, x2 ,..., xn ) Ε поставлено в соответствие определенное число u , то говорят,

что на множестве Εзадана функция

u f (M ) f (x1, x2 ,..., xn )

	точки	M n -мерного пространства			или	функция n	переменных
	x1, x2,..., xn.					y
	При этом множество Ε называют					2
	множеством (областью) определения
	функции u f (M).
	В	случае n 1	данное	определение
	совпадает с определением числовой функции					O	x
	одной переменной f (x) . При n 2 вместо
						2
	f (x1, x2 ) будем писать также			f (x, y) ,	в
						Рис. 4.4
	случае	n 3 вместо	f (x1, x2, x3) - также

f (x, y, z).

Основнойспособзаданияфункцийдвухиболеепеременныханалитический, то есть с помощью формул. Если нет каких-либо дополнительных условий, то областью

x2 y2 1.

определения функции f (x1, x2 ,..., xn ) считается множество точек M (x1, x2 ,..., xn ) , длякоординаткоторыхформулаимеетсмысл.

Пример.	Рассмотрим формулу z ln(x y 2) . Она имеет смысл при
x y 2 0	или y 2 x. Каждой точке M(x, y), координаты которой

удовлетворяют данному условию, формула ставит в соответствие определенное

вещественное число z , то есть определяет z				как функцию двух переменных x и y.
		Область	определения функции					есть	множество
z		точек M(x, y)			плоскости Oxy ,		координаты которых
		удовлетворяют неравенству				y 2 x. Это все точки
		плоскости, которые лежат				выше		прямой		x y 2
		(рис. 4.4).			z f (x, y)
O		Функция				двух переменных имеет
	y	простую	геометрическую			интерпретацию.				Каждую
		пару значений			переменных x		и y		из	области
Рис. 4.5.		определения		функции вместе с соответствующим
		значением z		можно рассматривать как декартовы
x
		координаты			некоторой	точки		x, y, f x, y

трехмерного пространства. Когда точка с координатами x и y пробегает все множество

определения функции на плоскости Oxy,

соответствующая ей точка x, y, f x, y в

пространстве будет описывать обычно некоторую поверхность. Эта поверхность и будет геометрическим образом (графиком)

функции z f (x, y).

x

z

O

y

Примеры.

1.	Для функции z x2 y2	область	Рис. 4.6

определениявсяплоскость Oxy, графикфункции-			параболоидвращения(рис. 4.5).
2.	Функция z 1 x2 y2	имеет	областью определения круг

Графиком ее является нижняя полусфера с центром в началекоординат и радиусом, равным 1 (рис. 4.6). Для наглядного геометрического изображения функции трех переменных u f (x, y, z) кроме трех координатных осей переменных x, y,z потребовалась бы еще четвертая ось для переменной u , что не может быть

осуществленовпределахтрехмерногопространства.

Предел функции нескольких переменных

Рассматривая функцию n переменных как функцию точки n -мерного пространства, можно дать определение предела функции нескольких переменных аналогичнотому, какэтобылоданодляфункцииоднойпеременной.

Пусть функция f (M), где M Εn, определена в некоторой окрестности

конечной или бесконечной точки M 0 Εn , причем, если M 0 - конечная точка, то в

самойэтойточкефункцияможетбытьинеопределена.

Определение. Если для любого наперед заданного положительного числа можно указать такое положительное число ( ), зависящее от , что из условия

M R (M0 ) Εn (M M0, если M 0		- конечная точка)		следует условие
f (M ) R ( A) Ε1, то	A называется пределом функции		f	M в точке M 0
(или при M , стремящейся к M 0 ). При этом пишут
lim	f (M ) A или	f (M ) A при	M M0.
M M0

Если A - число, топределфункцииназываетсяконечным, еслиже A равно

или , топределназываетсябесконечнымилинесобственным.

Для предела функции нескольких переменных справедливы теоремы, аналогичные по формулировкам и доказательствам соответствующим теоремам о пределах функции одногоаргумента. Ограничимсяформулировкойтеоремыоконечныхпределах.

	Теорема. Если при M M 0 функции						f1(M )	и f2 (M ) стремятсякаждаяк
	конечномупределу, то
	lim cf1 M c lim f1 M							c const ,
	M M0			M M0
	lim	[ f1(M ) f2 (M )]			lim f1(M )				lim f2 (M ),
	M M0				M M0			M M0
	lim	[ f1(M ) f2 (M )]			lim		f1(M ) lim f2 (M ),
	M M0				M M0			M	M0
		f1(M )		lim f1(M )
	lim			M M0			(	lim	f2 (M ) 0).
		f2 (M )		lim f2	(M )
	M M0							M M0
				M M0
	Определение. Функция u f (M) называется бесконечно малой в точке
	M 0 (или при M M0 ), если			lim	f (M ) 0.

M M0

Как и для функции одной переменной, если функция f (M ) имеет в точке M 0 конечныйпредел A, тоееможнопредставитьввиде

f (M ) A (M),

где (M) - бесконечномалаяпри M M0.

Сравнение бесконечно малых функций нескольких переменных производится так же, какдлябесконечномалыхфункцийоднойпеременной.

Непрерывность функции нескольких переменных

Для функции нескольких переменных (как и для функции однойпеременной) с

понятием предела тесно связано понятие непрерывности. Пусть функция							f (M ) , где
M Εn , определена в некоторой окрестности конечной точки M 0 Εn ,							включая и
саму эту точку. Символом	f (M0 )		обозначается значение функции			f (M )		в точке
M0.		f (M ) называется непрерывной в точке M0,
Определение. Функция
если			lim	f (M ) f (M0 ),
								(4.2)
			M M0
причем точка M стремится к точке M 0 произвольным образом, оставаясь в области
определения функции.
Равенство (4.2) означает, что предел функции f (M ) в точке M 0 существует,
конечениеговеличинасовпадаетсозначениемфункциивэтойточке.
Рассмотрим разность f (M ) f (M0 ).				Назовем ее полным приращением
функции u f (M) в точке M 0 и обозначим
			u f (M ) f (M0 ).					(4.3)
Пусть M (x1, x2,..., xn ), M0 (x10, x20,..., xn0 ). Обозначим
x1 x10		x1, x2 x20		x2,..., xn xn0 xn.				(4.4)
Используяэтиобозначения, получимдляполногоприращения функции								u,
соответствующего приращениям аргументов				x1,	x2,..., xn , следующеевыражение:
u f (x10	x1, x20		x2,..., xn0		xn ) f (x10, x20,..., xn0 ).			(4.5)
Очевидно, что
(M M0 ) (			x1 0,	x2 0,..., xn 0).				(4.6)
Теорема. Для того чтобы функция u f (M) была непрерывна в точке M0,
необходимо и достаточно, чтобы полное приращение функции						u стремилось к

нулю при стремлениикнулювызвавшихегоприращенийаргументов.

Эта теорема позволяет дать другое определение непрерывности функции в точке, равносильноеприведенному.

Определение. Функция f (M ) называется непрерывной вточке M0, если

в этой точке ее полное приращение стремится к нулю при стремлении к нулю приращенийаргументов, вызвавшихэтоприращение.

Следуя этому определению, можно сказать, что f (M ) непрерывнавнекоторой

точке, если малые изменения координат (приращений аргументов) вызывают сколь угодномалое изменениезначенийсамойфункции.

Определение. Функция u f (M ) , где M Εn , называется непрерывной в

области D Εn, если она непрерывна в каждойточкеэтойобласти.

Если в какой-то точке M функция f (M ) не является непрерывной, то

говорят, что функциявэтойточкетерпитразрыв.

Точки разрыва могут быть изолированными или образовывать линии разрыва, поверхности разрываитакдалее.

Пример. Найти точки разрыва функции

z 1 . x 2 y 2

Решение. Функция определена и непрерывна во всех точках плоскости Oxy

кроме точек, координаты которых удовлетворяют уравнению x 2y 2 0. Это

уравнение прямой. Каждая точка прямой есть точка разрыва; все они образуют линию разрыва.

Непрерывные функции нескольких переменных обладают, по существу, теми же свойствами, что и непрерывные функции одной переменной. Сформулируем теорему о непрерывныхфункциях.

Теорема. Если функции точкенепрерывныифункции

cf1 M c const ,

y

B

f1(M ) и f2 (M ) непрерывны в точке M0, то в этой

	f1(M ) f2 (M ),	f1(M ) f2	(M ),	f1(M )
				f2	(M )

(последняяприусловии, что f2 (M0 ) 0).

Ограниченная замкнутая область для функции нескольких переменных служит аналогом замкнутого промежутка для функцииоднойпеременной.

Если функция f M непрерывна в

O

A O

C

Рис. 4.7

ограниченной замкнутой области, то в этой

xобласти она ограничена; среди ее значений есть наибольшее и наименьшее; она принимает все значения от наименьшего до наибольшего.

Решение задач

	Задача 1. Найти значение функции U ( A) f (x, y, z)	2xy z	в
		x2 3y2 z2

точке A(1,0, 2).

Решение.	Подставляя в выражение функции x 1,			y 0,			z 2, получим
	U ( A) f (1, 0, 2)		2 1 0 ( 2)			2 .
			12 3 02 ( 2)2
						5
Задача 2.	Найти f ( y, x), если	f (x, y) x2 y2 3y.

Решение. Выражение f ( y, x) получим, заменяя x на y и y на x : f ( y, x) y 2 x2 3x x2 y2 3x.

Задача 3. Найти и изобразить на рисунке область определения функции z ln 1 x y2 .

Решение. Логарифм определен только при положительных значениях его аргумента, поэтому область определения функции D определяется неравенством

1 x y2 0 или y2 x 1.

Уравнение границы области y2 x 1. Это уравнение параболы, вершина которой находится в точке A( 1,0) , а ветви направлены в положительную сторону оси Ox . Ось Oy парабола пересекает в точках B(0,1) и C(0, 1) .

Парабола делит плоскость на две части – внутреннюю и внешнюю по отношению к параболе. Для точек одной из частей выполняется неравенство

y2 x 1 , а для другой y2 x 1.

Чтобы определить, какая часть является областью D, т.е. где выполняется

условие y2 x 1 , нужно проверить выполнение этого условия для какой-нибудь одной точки, не лежащей на параболе.

Возьмем для простоты точку O(0,0) . Она лежит “внутри” параболы. Для нее удовлетворяется нужное условие 0 1 0 1. Следовательно, точка O(0,0) принадлежит области определения D и вся область состоит из внутренних

“точек” параболы (заштрихована). Сама парабола (рис. 4.7)в область D не входит (изображена пунктиром).

Задача 4. Найти область определения функции z

9 x2 y2

x.

Определить, будет ли она ограниченным, замкнутым, односвязным множеством. Решение. Корень квадратный определен только для неотрицательных значений аргумента. Следовательно, для координат точек области определения

функции должны выполняться условия:	9 x2 y2 0 и x 0 или x2 y2 9
и x 0 .
Первое неравенство выполняется	для точек, лежащих на окружности с

центром в начале координат и радиусом, равным 3, и точек, лежащих внутри окружности. Второе неравенство верно для точек оси Oy и точек, лежащих в

правой полуплоскости.

Одновременно условия выполняются в точках правого полукруга и на его границах (правая часть полуокружности и отрезок Oy ). Очевидно, что множество

точек

определения функции –

ограниченное,

замкнутое

и

односвязное

(ограниченная замкнутая область).

1

Задача 5.

Найти точки разрыва функции z

.

x 1 2

y 2 2

Решение.

Данная функция может

иметь разрывы только в

точках, где

знаменатель равен нулю. Уравнение

x 1 2

y 2

2 0

имеет одно решение

x 1,

y 2. Точка (1, 2) - точка разрыва функции.

Задача 6.

Исследовать на непрерывность функцию z

x2 y2

.

x2

y

x 2 y

Решение. Эта функция может иметь разрывы только в точках, где

знаменатель обращается в нуль. Решая уравнение x2

y

x 2 y 0

относительно y, получаем y x2 и

y

x

. Следовательно, точками разрыва

2

y 1 x. Функция имеет две линии

будут точки параболы y x2 и точки прямой

2

разрыва.

Вопросы для самопроверки по теме 4.1

1.Дайте определение n -мерного евклидова пространства.

2.Дайте определение -окрестности точки. Приведите примеры - окрестности точки на плоскости и в пространстве.

3.Дайте определение внутренней и граничной точки множества.

4.Дайте определение открытой и замкнутой области.

5.Приведите примеры ограниченной замкнутой области на плоскости и

впространстве.

6.Дайте определение функции n переменных.

7.	Дайте определение предела функции f (M ) в точке M 0 . Когда

предел называется конечным?

8.Дайте определение непрерывности функции в точке.

9. Вспомните свойства непрерывных функций одной переменной. Сформулируйте эти свойства для функций нескольких переменных.

4.2. Дифференцирование функций нескольких переменных

При изучении данной темы Вам предстоит ознакомиться со следующими вопросами:

Частные производные.

Дифференцируемость функций нескольких переменных.

Полный дифференциал.

Дифференцирование сложной функции одной переменной. Полная производная.

Дифференцирование сложной функции нескольких переменной. Инвариантность формы полного дифференциала.

Дифференцирование неявных функций.

Частные производные высших порядков.

Полные дифференциалы высших порядков.

После изучения темы Вам следует ответить на вопросы для самопроверки и решить тест №10. При возникновениии вопросов следует обратиться к [3], глава 2, с.13-31 и к глоссарию – краткому словарю основных терминов и положений.

Студентам очно-заочной и заочной форм обучения надо решить две задачи в соответствии со своим вариантом из № 171-180 и 181-190.

			Частные производные
Рассмотрим функцию двух переменных z f (x, y).								Будем считать, что она
определена	и	непрерывна	в некоторой		окрестности	точки		M0 (x0, y0 ). Придадим
аргументу	y	постоянное	значение	y y0. Тогда		функция			z f (x, y0 ) будет
функцией	одного переменного			x .	Зададим фиксированному значению x
произвольное приращение			x, но такое, чтобы M (x0				x, y0 ) R(M0 ). При этом
функцияполучитприращение
			x z f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 ),						в точке M 0 .
которое называется частным приращением по переменной x
Определение. Если при x 0					отношение	x z /	x	стремится к конечному

или бесконечному пределу, то этот предел называется частной производной функции f (x, y) по переменной x вточке M0 (x0, y0 ) иобозначается

f ( x0 , y0 )

, f 'x ( x0 , y0 )

или z

.

x

x

M0

Итак, поопределению,

f ( x0 , y0 )

lim

f ( x0

x, y0 ) f ( x0 , y0 )

.

x

x 0

x

Аналогично определяются и обозначаются частное приращение и частная

производнаяфункции f (x, y) попеременной y вточке M

0

(x , y )

0

0

yz f (x0, y0 y) f (x0, y0),

f (x0, y0 )

lim

f (x0, y0

y) f (x0, y0)

.

y

y 0

y

Частные производные называются конечными или бесконечными в зависимостиоттого, конечен(равенчислу) илибесконеченсоответствующийпредел.

Значение частной производной зависит от точки M (x, y), в которой она вычисляется. Поэтому частная производная функции двух переменных z f (x, y),

вообще говоря, есть функция точки M(x, y), то есть является функцией двух переменных x и y. Частные производные, рассматриваемые как функции двух переменных, обозначаютсяоднимизследующихсимволов:

fx , fy или f 'x (x, y), f 'y (x, y) ; xz , yz или z 'x , z 'y .

Все, сказанное о частных производных функции двух переменных, с надлежащими изменениями распространяется и на функции любого числа переменных.

Так как при отыскании частных производных функций нескольких переменных все переменные, кроме той, по которой производится дифференцирование, считаются постоянными(фиксированными), то правила и формулы дифференцирования функций одной переменной остаются в силе и при отыскании частных производных функций несколькихпеременных.

Пример 1. Найти частные производные функции

z f (x, y) x3y2 3x2 7 y .

Решение. Заданная функция есть функция двух переменных x и y. При дифференцировании по x , то есть при нахождении z 'x , полагаем, что y const. Поэтому

z 'x (x3 y2 3x2 7 y) 'x 3x2 y2 6x 0 3x2 y2 6x.

Аналогично

z 'y (x3 y2 3x2 7 y) 'y 2x3 y 0 7 2x3 y 7.

Пример 2. Найти частную производную функции u ln(x2 2y z) по переменной z в точке A( 1;1;4).

Решение. При дифференцировании по переменной

z,

считая

x const

и

y const , имеем

u (ln(x2 2y z))'z

1

(x2 2y

z)'z

1

2y

1

y

.

x2 2y z

x2 2y z

2 z

z

x2 z 2yz

Теперь находим значение частной производной в точке A( 1;1;4)

u

1

1

.

z

1 2

A

4 2 1 4

10

Выясним геометрический смысл частных производных функции двух переменных.

Пусть функция z f (x, y) задана в

z

l

S

O

y0

x0

x

M0

Рис. 4.8

наклона этой касательной (к оси

некоторой	области		D	и	ее
геометрическим		образом		служит
поверхность S (рис. 4.8).			M0 (x0 , y0 ) D .
Возьмем		точку
При y y0	функция z		f (x, y0 )		будет

y функцией	одной	переменной				x.
Графиком этой функции будет кривая						l,
полученная при пересечении поверхности
S плоскостью y y0.
Если	при	x x0		существует
касательная	к кривой		l	(лежащая		в
плоскости	y y0 ),	то	тангенс		угла
Ox ) и будет численно равен значению z					в точке
				x

M 0 . В этом и заключается геометрический смысл частной производной по переменной y.

Аналогично выясняется геометрический смысл частной производной по переменной y.

Дифференцируемость функции нескольких переменных
Пусть функция z f (x, y)	определена в		некоторой окрестности	точки
M(x, y) . Зададим в этой точке произвольные приращения аргументам				x 0 и
y 0, но такие, чтобы точка	M1(x	x, y	y) R(M ). При этом функция
получит полное приращение

z f (M1) f (M ) f (x x, y y) f (x, y).

Определение.

Функция

z f (x, y)

называется

дифференцируемой в

точке M(x, y),

если ее полное приращение

z можно представить в виде

z A

x B y x

y,

(4.7)

где A и B не зависят от

x и

y , а 0, 0

при

x 0,

y 0.

Необходимые условия дифференцируемости функции двух переменных

дает следующая теорема.

Теорема. Если функция z f (x, y)

дифференцируема в точке M(x, y),

то в

этой точке существуют конечные частные производные по переменным

x

и y,

причем

z

z B.

A,

(4.8)

x

y

Заметим,

что

A и

B не зависят от

x и

y,

но зависят от x и y, то есть

выбора точки M(x, y).

y f (x)

В случае функции одной переменной

представимость приращения

функции

y

в

виде

суммы

f (x)

x x,

где

0

при

x 0,

обеспечивается

одним фактом

существования конечной

производной

f '(x) в

рассматриваемой точке x. Если же мы имеем дело с функцией двух (или большего

числа переменных), то только		существование конечных частных	производных
f 'x (x, y) и f 'y (x, y)	функции	z f (x, y) уже недостаточно для	того, чтобы
полное приращение	z можно было представить в точке M(x, y) в виде (4.7), то

есть чтобы функция была дифференцируема в точке M(x, y).

Достаточные условия дифференцируемости функции двух переменных дает следующая теорема.

Теорема. Если в точке M(x, y) функция z f (x, y) обладает непрерывными частными производными f 'x (x, y) и f 'y (x, y), то она

дифференцируема в этой точке.

Для функции двух (и более) переменных, как и для функции одной

переменной, имеет место теорема о непрерывности дифференцируемой

функции.
Теорема. Если функция z f (x, y)	дифференцируема в точке M(x, y),				то
она непрерывна в этой точке.		lim	z lim	z 0, а это
Доказательство. Из (4.7) следует,	что				и
		M1 M	x 0
			y 0

означает непрерывность функции в точке M(x, y).

В заключение отметим, что изложение велось для функции двух переменных только для краткости записей. Все сказанное без существенных изменений распространяется на функции любого конечного числа переменных.

Так,	функция	трех		переменных			u f (x, y, z)	называется
дифференцируемой в точке			M(x, y, z),		если ее полное приращение			u	можно
представить в виде				y C			y z,
	u A	x B			z	x			(4.9)
где A, B,C	не зависят		от	x,	y,	z , а	0, 0, 0		при
x 0, y 0, z 0.

Необходимое условие дифференцируемости в точке функции любого числа переменных – существование конечных частных производных, достаточное – существование непрерывных частных производных в этой точке.

Полный дифференциал

Пусть функция z f (x, y) дифференцируема в точке M(x, y), то есть

выполняется условие (4.7). С учетом (4.8) полное приращение функции можно записать в виде

			z	z	x	z	y x y,	(4.10)
				x		y
где xz	и	z	- частные производные				в точке M(x, y) и 0,	0 при
		y
x 0,	y 0.

Определение. Если функция z f (x, y) дифференцируема в точке M (x, y),

то ее полным дифференциалом в этой точке называется выражение

xz x yz y,

которое обозначают dz или df (x, y).

Как и для функции одной переменной, если x и y независимые переменные,

то принимается по определению, что	x dx,	y dy, и принято записывать
dz z dx z dy.			(4.11)
x	y
Пример. Найти полный дифференциал функции z y2			2 x2 в точке

M0 (1;2).

Решение. Найдем сначала выражение для полного дифференциала в точке M(x, y) по формуле (4.11). Так как

z

y2

2x

xy2

,

z 2 y 2

x2 ,

x

2

2

2 2 x

2 x

y

то

xy2

dz

dx 2 y 2 x2 dy.

В точке M 0 имеем

2 x2

1 22

dz

M0

z

dx

z

dy

dx 2 2 2 12 dy 4dx 4dy.

x

M0

y

M0

2 12

При рассмотрении полного дифференциала необходимо обратить внимание на следующее.

1. Из определения следует, что полный дифференциал (в дальнейшем - просто дифференциал) представляет собой ту часть приращения функции, которая

пропорциональна приращениям аргументов (линейна относительно x и y).

2.Разность между приращением и дифференциалом функции

				z dz x y	(4.12)
есть	бесконечно малая более высокого порядка малости по				сравнению с
	x2 y	2	(расстоянием	между исходной точкой M(x, y)	и смещенной
точкой M1(x			x, y y)) при	0.

На основании этого дифференциал называют главной (линейной) частью приращения функции.

Дифференциал имеет более простую зависимость от приращения аргументовпо сравнению с приращением функции и сколь угодно мало от него отличается при достаточно малых значениях . Это дает возможность заменять приращение

функции еедифференциаломприприближенныхвычислениях.

Все сказанное о дифференциале функции двух переменных легко обобщается на случай трех и более переменных. Так, например, формула (4.11) для

дифференциала функции трех переменных u f (x, y, z)				примет вид
du	u dx	u dy	u dz.	(4.13)
	x	y	z

Дифференцирование сложной функции одной переменной. Полная производная

Определение. Функция нескольких переменных называется сложной, если сами аргументы - функции одной или несколькихпеременных.

Пусть, например, z f (x, y) - функция от переменных x и y, где

x x t , y y(t)

- функции аргумента t . Тогда сложная функция z от t может быть записана так:

zf [x(t), y(t)]

ипродифференцирована как функция одной переменной.

Если функция z f x, y дифференцируемая в точке M x, y , а функции

x x t и y y t дифференцируемы при соответствующем значении место формула

		dz		z dx		z dy .
		dt		x dt		y dt
Пример. Найти	dz	, если z xey ,			где x t2 1, а y arctg t.
	dt
Решение. Находим
	z	ey ,	z	xey ,		dx	2t,	dy		1	.
	x		y					dt		1 t2
						dt

Подставляя найденные выражения в (4.14), получаем

t , то имеет

(4.14)

dz

e

y

2t xe

y

1

e

y

2t

x

e

arctgt

(2t 1).

dt

1 t2

1 t2

Аналогично рассмотренному выше решается вопрос о производной dudt , когда

функция u задается как дифференцируемая функция любого числа переменных, каждая из которых, в свою очередь, есть дифференцируемая функция переменной t .

Так, если u f (x, y, z),	где x x(t), y y(t)						и z z(t),	то
	du		u dx		u dy		u dz .	(4.15)
	dt		x dt		y dt		z dt

Рассмотрим случай, когда независимая переменная t явно входит в выражение функции. Пусть u f (x, y, z,t),

где по-прежнему x x(t), y y(t), z z(t).

Распространяя формулу (4.15) на случай функции четырех аргументов x, y,z,t,

запишем
du		u dx	u dy	u dz		u dt
	dt	x dt	y dt	z dt		t dt
или
du		u dx	u dy	u dz	u .		(4.16)
dt		x dt	y dt	z dt	t
Производную dudt в	формуле		(4.16)	называют		полной	производной, в

отличие от частной производной ut .

	Пример.		Найти частную производную ut				, и полную производную			dudt
	функции u x2 y2z2 t2, где x sin t, y cost, z et.
	Решение.		Найдем сначала частную производную					u	, считая x, y	и	z
								t
		u
	постоянными:			2t.
		t			t как непосредственно, так и через x, y, z,
	Так как функция u зависит от										то
	для вычисления полной производной воспользуемсяформулой(4.16).
	Находим			u 2x;	u		u 2 y2 z;
						2 yz2;
				x	y		z
				dx cos t;	dy	sin t;	dz et .
				dt	dt		dt

Подставляя в формулу (4.16), получаем

dudt 2 x cos t 2 yz2 ( sin t) 2 y2 zet 2t

или

dudt 2sin t cos t 2 cos te2t ( sin t) 2 cos2 te2t 2t sin 2t e2t sin 2t 2e2t cos2 t 2t.

Дифференцирование сложной функции нескольких переменных. Инвариантность формы полного дифференциала

Пусть z f (x, y) и

x x(s,t),

y y(s,t),

то есть являются функциями двух переменных s и t.

Тогда функция

z f (x, y) f [x(s,t), y(s,t)]

будет сложной функцией от s и t .

Если одной из переменных, скажем, t , придается какое-либо постоянное значение, то z становится функцией (сложной) только переменной s , и ее производная по этой переменной (в данном случае, частная производная) вычисляется по формуле (4.14), но с заменой всех простых производных частными

z		z		x		z		y .	(4.17)
s		x		s		y		s

Так же вычисляется частная производная zt

z		z		x		z		y .	(4.18)
t		x		t		y		t

С помощью аналогичных рассуждений легко получить формулы для сложных функций произвольного числа переменных.

Дифференциал функции одной переменной обладает свойством инвариантности формы: она остается одной и той же вне зависимости от того, будет ли аргумент независимой переменной или некоторой дифференцируемой функциейдругойпеременной.

Это свойство инвариантности формы дифференциала, играющее важную роль в ряде вопросов математического анализа, справедливо и для функций нескольких переменных.

Дифференцирование неявных функций
Определение. Функция y аргумента x называется неявной,		если она
задана уравнением вида	F(x, y) 0,
связывающим x и y, но не разрешенным относительно y.
Однако не всякое уравнение вида F x, y 0 определяет неявную функцию.
Например, уравнение x2 y2 1 0	никакой функции не определяет,	так как
x2 y2 1 0 для любых значений x	и y.

Возникает задача о нахождении условий, накладываемых на функцию двух переменных F(x, y), при которых уравнение определяет неявную функцию y y(x) .

Достаточные условия существования, единственности и дифференцируемости неявной функции, заданной уравнением F(x, y) 0, содержатся в следующей теореме.

Теорема. Пусть функция F(x, y) определена и непрерывна в окрестности

точки (x0, y0 ) и		имеет там непрерывные частные производные Fx' (x, y) и
F '	(x, y) , причем	F(x, y) 0, , а	F '	(x , y	0	) 0.
y			y	0

Тогдасуществует некотораяокрестностьточки (x0, y0 ) , вкоторой:

1.уравнение F(x, y) 0 определяет единственную непрерывную функцию y y(x) ;

2.при x x0 эта функция принимает значение y0 : y(x0 ) y0;

3.функция y y(x) непрерывна и имеет непрерывную производную. Геометрически это означает, что существует окрестность точки (x0 , y0 ), в

которой кривая, заданная уравнением F(x, y) 0, представляет собой график

непрерывной и непрерывно-дифференцируемой функции y y(x), проходящийчерез

точку (x0, y0 ) .

Производную при этом можно найти по формуле

	dy		F		F' (x, y)
			x
					x	.	(4.19)
	dx		F		Fy' (x, y)
			y
	Пример. Функция y y(x) задана уравнением						x2 y3 exy 0. Найти	dy .
								dx

Решение. В условиях задачи уже предполагается, что данное уравнение определяет неявную дифференцируемую функцию y(x) . (Студент самостоятельно может проверить выполнение условий приведенной выше теоремы, например в окрестности точки (0, 1) ). Остается только воспользоваться формулой (4.19).

В нашем случае

F(x, y) x2 y3 exy ,

F

'

(x, y) 2x yexy ,

F '

(x, y) 3y2 xexy;

x

y

следовательно,

2x yexy

dy

.

dx

3y2 xexy

Неявным образоммогут бытьзаданыфункциидвухиболеепеременных.

Если неявная функция двух переменных z z(x, y)

определяется уравнением

F(x, y, z) 0,

то частные производные

xz

и

z

этой функции можно найти по следующим

y

формулам

F

z

F

F'

(x, y, z)

z

Fy'

(x, y, z)

x

y

x

,

.

(4.20)

x

(x, y, z)

y

F

F'

(x, y, z)

F

F'

z

z

z

z

z z(x, y) , заданной

Пример. Найти полный дифференциал функции

неявно уравнением z3 y2 4xz 1.

z z(x, y)

Решение.

Полный

дифференциал

функции

вычисляется по

формуле

dz xz dx yz dy.

Найдем

xz

и

z

по формулам (4.20). Для этого перенесем все члены

y

уравнения в левую часть и обозначим F(x, y, z) z3 y2 4xz 1.

Так как

F 4z,

F 2y,

F

3z2

4x,

x

y

z

то

z

4z

z

2y

,

.

3z2 4x

y

Теперь

x

3z2

4x

4z

2y

dz

dx

dy.

3z2 4x

3z2 4x

Частные производные высших порядков

Частные

производные

fx' (x, y)

и

f y' (x, y)

функции

z f (x, y),

называемые частными производными первого порядка, в свою очередь, будут некоторыми функциями переменных x и y. Если последние сами обладают

частными производными, то эти частные производные называются частными производными второго порядка для функции f (x, y) . При этом используют обозначения:

			z			2 z
						x2
x			x
				z				2	z
							y x
	x			y

fxx'' (x, y),

f yx'' ( x, y),

			z				2 z				fxy'' ( x, y),
							x y
y			x
					z			2	z	f yy'' ( x, y).
	y				y		y2

Частные производные от частных производных второго порядка называются

частными производными третьего порядка. Вообще, если некоторая функция

z f (x, y)	допускает n -кратное частное			дифференцирование			по	своим
аргументам	в	каком-либо определенном порядке,				то получается		частная
			nz
производная n -го порядка. Например, xn				обозначает результат			n -кратного
последовательного дифференцирования			функции		z	по аргументу	x ,	то есть
частную производную n -го порядка от z			по x .
Частная производная, полученная дифференцированием по нескольким
различным аргументам, называется смешанной частной производной.
Всего указанным образом можно получить 2n					частных производных порядка
n от функции		f (x, y) . В действительности число различных производных какого-

либо определенного порядка оказывается значительно меньше. Справедлива следующая важная теорема о смешанных частных производных.

Теорема.	Если функция z f (x, y)	обладает	в некоторой	точке
непрерывными	частными производными	fxy'' (x, y) и	f yx'' (x, y) , то	эти

производные равны одна другой в рассматриваемой точке: fxy'' ( x, y) f yx'' ( x, y).

Аналогичная теорема о независимости смешанной частной производной от порядка дифференцирования справедлива для частных производных любого порядка. Поэтому обозначение частной производной для таких функций указывает только число дифференцирований по каждой переменной, а порядок, в котором производятся эти дифференцирования, на результат не влияет. Так, через

nz / xk yl	обозначается		частная	производная порядка		n для	функции
z f (x, y) ,	причем по x		выполняется дифференцирование k			раз, а по	y l раз
(здесь, конечно, k l n).
Сказанное		справедливо и для		функции	произвольного числа аргументов.
Например,	для	функции	трех аргументов		u f (x, y, z)	через	5u
							x2 y 2 z

обозначается частная производная пятого порядка, получаемая двукратным дифференцированием по x , двукратным - по y и однократным – по z .

Пример 1. Найти вторые частные производные функции z ln(x y2 ).

Убедиться, что 2 zy y2 zx . x

Решение. Находим сначала частные производные

z

1

,

z

2 y

.

x

x y2

y

x y2

Дифференцируякаждуюизполученныхпроизводныхпо

вторые частные производные

2 z

z

1

'

1

2 z

z

,

2

2

2

x

2

(x y

)

x y

x

x

x y

x

y x

x ипо y, получим

1		'		2y				,
	2				2		2
x y				(x y		)
		y

						2	z							z						2y		'					2y
																																	,
																					2									2		2
					y x									y											(x y						)
											x							x y				x
	2	z						z						2y				'		2(x y				2		)	2y2y							2(x y		2	) .
		2															2																		2
y																						(x y					2	)	2					(x y		)	2
				y				y				x y						y

Очевидно, что смешанные производные равны.

Пример 2. Найти

3z

, если z cos xy.

x

2

y

Решение. Находим сначала частную производную по x

z

y sin xy.

x

Далее ищем вторую частную производную по x

2 z

( y sin xy)'x y2 cos xy.

x2

Теперь

3z

( y2 cos xy)'y 2 y cos xy xy2 sin xy.

x2 y

Полные дифференциалы высших порядков

Пусть функция

f (M )

определена в некоторой области D Εn

и точка

M0 D.

f (M )

Определение.

Функция

n переменных

называется

m

раз

дифференцируемой в точке M0,

если в этой точке дифференцируемы она сама и все

еечастныепроизводныедо (m 1)

-го порядка включительно.

Определение.

Функция

n переменных

f (M )

называется

m

раз

дифференцируемой

в

открытой

области

D Εn,

если

она

m

раз

дифференцируема в каждой точке области.

Рассмотрим функцию

z f (x, y),

где x и y - независимые переменные. Если эта функция дифференцируема, то ее полный дифференциал имеет вид

		dz	z dx	z dy,
			x	y
где dx	x, dy	y - произвольные приращения независимых переменных, то есть
произвольные числа, не зависящие от x			и y. На этом основании будем изменять x
и y, зафиксировав		dx и dy (то есть оставляя их постоянными). Тогда dz станет

функцией двух переменных x и y.

Если функция z дифференцируема два раза (то есть она дифференцируема

вместе со своими частными производными), то и ее полный дифференциал dz будет дифференцируемой функцией и в свою очередь будет иметь полный дифференциал. Полный дифференциал от полного дифференциала функции называется полным дифференциалом (дифференциалом) второго порядка функции и обозначается

d(dz) d2z d2 f (x, y). Найдем его

d 2 z d

z dx

z dy

z dx z dy

dx

z dx

z dy

dy

x

y

x

x

y

y

x

y

2 z

2 z

2 z

2 z

2

dx

dy

dx

dx

2

dy dy.

x

y x

x y

y

После преобразований, считая, что

2z / x y 2z / y x, получим

d

2

z

2 z

dx

2

2

2 z

dxdy

2 z

dy

2

.

(4.21)

x2

x y

y2

Пример. Найти d2z

для функции

z ex cos y в точке M0 0;

2

.

Решение. Находим первые и вторые частные производные

z ex cos y,

z

ex sin y;

2 z

ex cos y,

2 z

ex sin y;

2 z

ex cos y.

y

x2

x y

y2

x

По формуле(4.21)

d2z ex cos ydx2 2ex sin ydxdy ex cos ydy2.

Теперь					e0 cos dx2	2e0 sin dxdy e0 cos dy2 2dxdy.
d2z |	d2z		0;
M0					2	2	2
				2
Если функция z			дифференцируема трижды (т. е. дифференцируема вместе со

своими частными производными до второго порядка включительно), то d 2 z будет дифференцируемой функцией, а ее полный дифференциал называется полным

дифференциалом третьего порядка функции z . Обозначение d(d2z) d3z.

Аналогично предыдущему можно показать, что

d

3

z

3z

dx

3

3

3z

dx

2

dy

3

3z

dxdy

2

3z

dy

3

.

(4.22)

x3

x2 y

x y2

y3

Дляформул(4.21) и(4.22) удобнаследующая символическаязапись:

d 2 z

2

d3z

3

dx

dy

z,

dx

dy z.

x

y

x

y

Здесь символы

x

и

рассматриваются

как «множители», и

формула

y

y

бинома Ньютона с последующим условным умножением

на

z

приводит

соответственно к формулам (4.21) и (4.22).

m

полный

Вообще,

если

функция

z

дифференцируема

раз,

то

дифференциал m -го порядка этой функции определяется равенством dmz d(dm 1z).

Методом математической индукции доказывается, что для любого m справедлива формула

					m
	d m z		dx		dy		z.
		x		dy
Если аргументы x	и y функции		z f x, y			не независимы,		а являются
функциями некоторой	переменной t ,		то dx xt' dt				и dy yt' dt	тоже будут

функциями t (их нельзя считать постоянными). Выражения для полных дифференциалов высших порядков такой функции z (сложной функции) будут отличаться от полученных. Следовательно, полные дифференциалы высших

порядков свойством инвариантности формы по отношению к аргументам не обладают.

Все сказанное о дифференциалах высших порядков для функции двух переменных легко обобщается и на функции большого числа переменных. Так,

например, для функции u f (x, y, z) трех независимых переменных полный дифференциал n -ого порядка находится с помощью формулы

							n
	d nu		dx		dy		dz	u.	(4.23)
		x		y		z

Пример. Найти d 2u ,

если u xy2z .

Решение. При n 2 из (4.23) имеем

2

2

2u

2

2u

2

d

u

dx

dy

dz

u

x 2

dx

dy

x

y

z

y

2u dz 2

2

2u

dxdy 2

2u

dxdz

2

2u

dydz.

x y

x z

y z

z 2

Находим первые частные производные

u

y

2z,

u

2xyz,

u

xy2.

x

y

z

Теперь

2u

2u

2u

0,

2xz,

0,

x2

y2

z2

2u

2 yz,

2u

y

2

,

2u

2xy.

x y

x z

y z

Окончательно

d2 y 2xzdy2 4yzdxdy 2y2dxdz 4xydydz.

Решение задач

Задача 1. Найти частные производные xz

и

z

функции z ex

2

y 1.

y

Решение.

z

2

2

2

2

y 1

ex

y 1

x2 y 1

ex

y 12xy 2xyex

y 1.

Находим x

ex

x

x

Вычисляя

x2 y 1 x , воспользовались тем, что при нахождении частной производной по

x

переменная

y

считается

постоянной.

Аналогично,

полагая

переменную

x

постоянной, получим

z

2

2

2

2

ex y 1

x2 y

1

ex y 1x2 x2ex y 1.

y

ex

y 1

y

y

Задача 2.

Найти zx

и z y функции z x2 y ln y.

Решение.

Находим

zx ,

считаем y величиной постоянной. Выносим yln y

за знак производной и получаем zx

y ln y x2 2xy ln y. При нахождении z y

за

знак

производной выносим

x2

и

yln y ,

дифференцируем как

произведение

zy x2 y ln y

1

функций:

x2 1 ln y y

x2

ln y 1 .

y

Задача 3.

Найти частную производную по z

от функции трех переменных

u arctg

y

в точке M0 (2,1, 1).

xz

y

Решение.

Считая

x

и y,

а,

следовательно,

и

постоянными и учитывая

x

правила дифференцирования

сложной

функции

одной переменной, получим:

u

1

y

1

y

1

2 2

y

1

xy

y

x z

arctg

.

z

y 2

y 2

x

x2z2 y2

x2z2 y2

xz z

xz

z

z

z

x

z2

1

1

xz

xz

u

2 1

2

Вычислим значение

z

5 .

M0

22 1 2 12

z sin(2x y) в точке

Задача 4.

Найти полный дифференциал функции

M0 , .

4 6

Решение.

Если функция z f (x, y) дифференцируема в точке (x, y) ,

то ее

полный дифференциал находится по формуле

dz z dx

z dy. Найдем частные

x

y

производные

z 2cos(2x y),

z

cos(2x y).

Подставляя

в формулу,

x

y

получим dz 2cos(2x y)dx cos(2x y)dy.

Находим

значение

dz

в

точке

M 0 .

Получим

dz

2

dx cos

dy 2

1

dx

1

dy dx

1

dy.

M0

2cos

dx cos 2

dy 2cos

4

6

4

6

3

3

2

2

2

Задача 5.

Найти все частные производные второго порядка для функции

z x2 y3 ex sin y.

Решение. Чтобы найти частные производные второго порядка, сначала нужно найти частные производные первого порядка. В нашей задаче

z	2xy3 ex sin y,	z	3x2 y2 ex cos y.	Теперь находим частные производные
x		y

второго порядка
	22z	2xy3 ex sin y			2y3 ex sin y,
	x			x
	2z		2xy3	ex sin y	6xy2	ex cos y,
	x y
					y

2z 3x2y2 ex cos y					6x2y ex sin y,
y2				y
	2z		3x2y2 ex cos y		6y2	ex cos y.
	y x
					x

Заметим, что	2 z		2 z	, что и следовало ожидать, так как если смешанные
	x y		y x

частные производные непрерывны, то результаты дифференцирования не зависят от порядка дифференцирования.

Задача 6.

3u

u x3tg( y 2z)

Найти x z2

для функции

.

Решение. Сначала находим

u

3x2tg( y 2 z) . Далее

x

2u

3x2 ( 2)

6x2

3x2 tg( y 2z)

x z

cos2 ( y 2z)

z

cos2 ( y 2z)

и, наконец,

3

2

2

2 cos( y 2z) sin( y 2z) ( 2)

6x

6x

u

.

2

2

x z

cos

4

( y 2z)

cos

( y 2z) z

3u

24x2 sin( y 2z)

.

После преобразований получаем ответ:

cos3 ( y 2z)

x z2

Задача 7.

Найти дифференциал функции y(x) , заданной неявно уравнением

cos x y2 4x y

1 , и его выражение в точке

M0

,0 .

Дифференциал функции y(x)

2

Решение.

(как функции одной переменной)

равен dy y (x)dx. Найдем

y (x)

функции, заданной неявно, по формуле (4.19).

Для этого запишем уравнение в виде F (x, y) cos x y2 4x( y 1) 0. Тогда

Fx (x, y) sin x y2 4( y 1);

Fy (x, y) sin x y2 ( 2 y) 4x;

F (x, y)

sin x y2 4( y 1)

sin x y2 4( y 1)

dy

x

dx

dx

dx.

Fy (x, y)

2 y sin x y2 4x

2 y sin x y2 4x

В точке

,0

Fx (M 0 ) sin 4

5;

Fy (M 0 ) 2 и

M0

2

имеем

2

ответ dy(M 0 )

5

dx.

2

Вопросы для самопроверки по теме 4.2

1.Дайте определение частной производной функции двух переменных. Каков ее геометрический смысл?

2.Какая функция называется дифференцируемой? Сформулируйте необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции.

3.Что называется полным дифференциалом функции? Приведите выражение полного дифференциала для функции двух и трех переменных.

4.Может ли одна и та же функция иметь полную производную и частную производную?

5.В чем заключается свойство инвариантности полного дифференциала?

6.Когда уравнение F(x, y) 0 задает неявную функцию y y(x) ?

7.Какие частные производные называются частными производными второго порядка? Когда смешанные и частные производные не зависят от порядка дифференцирования?

8.Что называется дифференциалом второго порядка? Как найти дифференциал второго порядка для функции двух переменных?

4.3. Некоторые приложения частных производных

При изучении данной темы Вам предстоит ознакомиться со следующими вопросами:

Экстремумы функции нескольких переменных.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.

Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Геометрический смысл полного дифференциала.

После изучения темы Вам следует ответить на вопросы для самопроверки и решить тест №11.

Если Вы будете испытывать затруднения в ответах, обратитесь к [3], глава 3, с. 37-46 и к глоссарию – краткому словарю основных терминов и положений.

Студентам очно-заочной и заочной форм обучения надо решить задачу в соответствии со своим вариантом из № 191-200.

Экстремумы функции нескольких переменных

Пусть функция f (M ) определена в некоторой области D n и точка M 0

является внутренней точкой этой области.

Определения:

1.

Точка

M 0

называется точкой

функции f (M ) , если существует окрестность R для любой точки M R (M0 ), M M0 выполняется неравенство f (M ) f (M0 ) .

строгого максимума

(M0 ) этой точки такая, что

z

2.	Точка M 0		называется		точкой
строгого минимума функции				f (M ) , если
существует	окрестность		R (M0 )	этой точки
такая,	что	для	любой		точки
M R (M0 ),		M M0		выполняется			O	y
неравенство f (M ) f (M0 ) .							x
В дальнейшем эти точки будем называть								M0 x0 , y0
соответственно		точками максимума				и
минимума.			f (M )					Рис. 4.9
Значения		функции		в точках		ее

максимума и минимума называются соответственно максимумом и минимумом этой функции и обозначаются через max f (M ) или min f (M ).

Следовательно, в точке максимума функция f (M ) принимает значение

наибольшее, а в точке минимума - наименьшее. В "удаленных" точках функция может принимать значения, как превосходящие значение в точке максимума, так и значения, меньшие, чем в точке минимума. Следовательно, речь идет о максимумах и минимумах (экстремумах), которые имеют местный характер. Поэтому их называют локальными экстремумами.

Для	случая		функции двух	переменных		z
z f (x, y) ,		которая графически изображается
некоторой поверхностью в пространстве, на рис.
4.9 изображен случай, когда в точке				M0 (x0 , y0 )
функция имеет максимум, а на рис. 4.10 -
минимум.			необходимое		условие
Найдем							y
экстремума		для	дифференцируемой		функции	O
нескольких	переменных. Рассмотрим				функцию	x	M0 x0 , y0
двухпеременных			z f (x, y).		(4.24)
							Рис 4.10
Пусть эта функция дифференцируема в точке
M0 (x0 , y0 )	и	имеет в этой точке экстремум. Так

как функция дифференцируема в точке		M 0	, то	она обладает	в этой точке
конечными частнымипроизводными
f '	(x , y ),	f '	(x , y ).
x	0 0	y	0	0
Предположим, что экстремум– максимум. Тогда, в силу определения, будем
иметь	f (x, y) f (x0 , y0 )
					(4.25)

для всех точек M(x, y) , достаточно близких к точке M0 (x0 , y0 ); в частности, для всех x , достаточно близких к x0 . Отсюда следует, что функция f (x, y0 ) одного

только переменного x имеет в точке x0 максимум. Но тогда по необходимому

условиюэкстремумафункцииоднойпеременной

fx (x0 , y0 ) 0.

Из (4.25) также следует и неравенство f (x0 , y) f (x0 , y0 ), справедливое для всех y, достаточно близких к y0 . Следовательно, функция f (x0 , y) одного только переменного y имеет в точке y0 максимум. Но тогда и f 'y (x0, y0) 0.

Аналогичные результаты получаются и в том случае, когда точка M0 (x0 , y0 ) являетсяточкойминимумафункции.

Итак, если в точке M0 (x0 , y0 ) дифференцируемая функция (4.24) имеет экстремум, то обе частные производные функции в этой точке обращаются в нуль:

f 'x (x0 , y0 ) 0,f 'y (x0 , y0 ) 0.

Аналогичный результат имеет место и для функции любого числа переменных. Таким образом, имеет место следующая теорема, содержащая необходимое условие экстремума.

Теорема. Если функция f (M ) , M n дифференцируема в точке M 0 и

имеет в этой точке экстремум, то все частные производные первого порядка функции в этой точке обращаются в нуль, иначе говоря, обращается в нуль полный дифференциал первогопорядкафункции.

Обратная теорема не имеет места; не всякая точка, в которой обращаются в нуль все частные производные первого порядка функции (стационарная точка), будет экстремальной точкой этойфункции.

Сформулируем достаточные условия экстремума функции двух переменных.

Будем предполагать, что в точке

M0 (x0 , y0 )

функция

z f (x, y)

имеет

непрерывные частные производные до второго порядка включительно, причем

f 'x (x0, y0) 0,

f 'y (x0, y0) 0,

то есть точка M 0 является стационарной точкой. Введемобозначения

A f ''xx (x0, y0),

B f ''xy (x0, y0),

C f ''yy (x0, y0)

и рассмотрим выражение AC B2. Можно показать, что:

1)

Если

AC B2

0, A 0,

то

точка

M0 (x0 , y0 )

-

точка

максимума

функции.

2)

Если

AC B2

0, A 0,

то

точка

M0 (x0 , y0 )

-

точка

минимума

функции.

3)

При AC B2 0 точка M0 (x0 , y0 ) не является экстремальной.

4)

При

AC B2

0

вопрос

о

наличии экстремума

в

точке

M0 (x0 , y0 ) остается открытым.

Пример. Найти экстремумы функции z x3 y2 6xy .

Решение. Находим частные производные

z

3x2

6y,

z

2y 6x.

x

y

Используянеобходимоеусловиеэкстремума, ищемстационарныеточки:

		2	6 y 0,			2	2 y 0,
3x				x
	2 y 6x 0			или	y		3x 0.

f (M )

Система имеет два решения: x1 0, y1 0

и x2 6, y2

18. Следовательно,

точки M1(0; 0) и M2 (6;18) - стационарные точки. Чтобы определить, будет ли

функция иметь в этих точках экстремумы, используем достаточные условия экстремума. Находим частные производные второго порядка

2 z

6x,

2 z

6,

2 z

2

x2

x y

y2

и вычисляем их значения в стационарных точках. Для точки M1(0; 0)

имеем

A

2 z

0,

B

2 z

6,

C

2 z

2.

x

2

x y

y2

M1

M1

M1

Отсюда AC B2 0 2 ( 6)2 36 0 , и, следовательно, в точке

M1(0; 0) экстремума нет.

Для точки M2 (6;18)

A

2 z

36,

B

2 z

6,

C

2 z

2.

x2

x y

y2

M 2

M 2

M 2

Находим AC B2 36 2 ( 6)2 36 0.

Так как 0

и A 0 , то

точка M 2 является точкой минимума функции:

min z z(M2 ) 63 182 6 6 18 108.

Функция одного аргумента может иметь экстремум не только в точках дифференцируемости, но и в точках, где эта функция не дифференцируема, но обладает свойством непрерывности. Также и функция нескольких аргументов может иметь экстремумы не только в точках дифференцируемости, но и в точках, где функция не дифференцируема (например, в точках, где обращаются в бесконечность частныепроизводныефункции первого порядка), но непрерывна.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

Пусть функция u f (M) определена и непрерывна в некоторой области

D n . Если эта область не является ограниченной и замкнутой, то среди значений функции в ней может не быть ни наибольшего, ни наименьшего. Факт наличия или отсутствия наибольшего и наименьшего значений функции в этом случае устанавливаетсяиз рассмотренияконкретныхусловий задачи.

Если установлено, что функция имеет наибольшее или наименьшее значение и это значение достигается во внутренней точке области D, то в этой точке функция будет иметь экстремум. Следовательно, найдя все экстремальные точки,

лежащие внутри области D, и сравнив между собой значения функции в этих точках, мынайдемискомоенаибольшееили наименьшее значениефункции.

Пусть теперь область D - ограниченная и замкнутая. Тогда среди значений функции f (M ) заведомо имеются и наибольшие, и наименьшие. Для отыскания

их в этом случае следует найти все экстремумы функции, лежащие внутри D, и наименьшие и наибольшие значения на границе. Наибольшее и наименьшее из всех этих значений и будут искомыми.

Остановимся

подробнее

на

y

случае функции двух переменных

1

z f (x, y) ,

исследуемой

в

C

M2

ограниченной замкнутой области

M3

D .

Если

функция

z f (x, y)

дифференцируема

в

открытой

M0

области

D,

то

нахождение

A

B

экстремумов

в

этой области

1

M1

O

1

x

производится,

как

изложено

в

предыдущем

пункте.

Поскольку

Рис 4.11

все

экстремумы

функции

находятся

среди ее

значений

в

стационарных точках, то часто проще не исследовать на экстремум эти точки, а

найти значения во всех стационарных точках, принадлежащих D, и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на границе области для функции двух переменных, как правило, сводится к известной задаче нахождениянаибольшегоинаименьшегозначенийфункцииоднойпеременной.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z 2 x2 4 y2 y	1	в области		: x 1 y2, x y 1, y 0.
			D
	16
Решение. Сделаем рисунок области					D	.	Границами	ее	будут парабола
y2 (x 1) свершинойвточке B(1,0) ипрямые							x y 1 и	y 0	(рис. 4.11).

Так как область ограниченная и замкнутая, то наибольшее и наименьшее значения функция может принимать либо в точках экстремума внутри области, либо на границе.

1. Исследуем внутренние точки области. Ищем стационарные точки внутри области D. Для этого находим частные производные

z	4x,	z	8y 1.
x		y

Приравнивая частные производные нулю, получаем систему

4x 0,

8 y 1 0.

Ее решение	x 0, y	1 .	Стационарная точка		0;	1		D.	Значение
				M0		8
		8

функции в стационарной точке z(M0 ) 0.

2. Исследуем функцию на границе области, которая состоит из трех участков.

а) Участок границы

AB -

отрезок прямой y 0,

при этом

1 x 1.

На

прямой y 0

исследуемая функция z z(x, y) принимает вид z( x, 0)

2 x2

1

, то

16

есть становится функцией однойпеременной x .

Наибольшее и наименьшее значения эта функция (как функция одной

переменной) принимает в стационарных точках внутри промежутка [ 1;1]

или в

граничных

точках,

x 1

и

x 1.

Ищем

стационарные

точки:

z 'x (x, 0) 4x, 4x 0, x 0.

Стационарная точка

одна:

x 0, она

принадлежит

исследуемому промежутку ( 1;1) . Находим значения функции в стационарной точке

M1(0; 0) и граничных точках A( 1;0)													и		B(1;0)
								z (M1)					1		,	z( A) z(B) 2								1		.
											16
																							16
б) Участок границы								BC - часть параболы x 1 y2 при																					0 y 1. Функция
z z(x, y) на линии BC принимает вид
			z z(1 y2 , y) 2(1 y2 )2													4 y2 y				1			2 y4					y 2					1		.
																																16
Теперь																	16
																							y 1
					z 'y (1 y2 , y) 8 y3								1;			8 y3 1 0;												(0,1).
																							2													3		1
Если y	1	, то x					1 2		3	. Стационарная точка на BC																		-									;
	2					1			4																				точка M2							4		2	.
							2																						C
Значения	функции					в	точке			M 2			и			в	граничной						точке										находим						из
z 2 y4 y 2			1	,	получаем z(M 2 ) 1 11											, z(C ) 3		1			.
		16											16				16						отрезок AC : x y 1.
в) Уравнение прямой, которой																принадлежит
Выразим из этого уравнения x										через y (можно и y через x ) x y 1, 0 y 1																													и
подставим в выражение для z																			1													1
			z z( y 1, y) 2( y 1)2 4 y														2 y					6 y2 5 y 2												.
																														16
Далее																	16
																									5
					z 'y ( y 1, y) 12 y 5,											12 y 5 0,							y					(0;1),
																							12

приэтом

		5			7				7			5				1
	x			1			, z(M3) z				;				1		.
		12			12				12			12				48

В граничных точках A и C значения функции уже найдены.

3. Таким образом, найдены все точки, в которых функция может иметь

наибольшее и наименьшее значения: M0 , M1, M2 , M3, A, B, C.

Сравнивая значения функции в этих точках, приходим к заключению, что

	данная функция z в области		имеет	наименьшее значение в точке M 0 , а
		D
	наибольшее в точке C .
	Итак,					1
	zнаим z(M 0 ) 0,			zнаиб z(C ) 3			.
					16

Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа

До сих пор мы искали экстремумы функции нескольких переменных, не накладывая на точки экстремума никаких ограничений и считая только, что эти

точки должны быть внутренними по отношению к некоторой области D ( D является либо всем множеством определения функции, либо какой-нибудь его частью). Такие экстремумы называются безусловными. Однако часто приходится отыскивать точки экстремума функции

z f (x, y),

(4.26)

лежащие внутри некоторой области D, при дополнительном условиивида

g(x, y) 0,

(4.27)

где g(x, y) - заданнаяфункциявобласти D.

Такие экстремумы называются условными.

В случае условного экстремума аргументы x и y функции (4.26) уже нельзя

рассматривать как независимые переменные, ибо они связаны друг с другом уравнением (4.27), называемым уравнением связи. Это уравнение определяет в

области D некоторую линию l . Таким образом, геометрически в задаче условного экстремума отыскиваются экстремумы функции (4.26) не среди всех значений,

принимаемых этой функцией в области D, а только среди значений, принимаемых

ею в точках некоторой линии l , лежащей в D.

Можно показать, что отыскание условного экстремума функции (4.26) можно

свестикотысканиюбезусловногоэкстремуманекоторой другойфункции.
(x, y, ) f (x, y) g(x, y),	(4.28)

Эту функцию называют функцией Лагранжа. При этом , пока неизвестный коэффициент, называют множителем Лагранжа.

Необходимые условия существования экстремума функции Лагранжа - равенство нулю всех частных производных:

	'	x	(x, y, ) f '	x	(x, y) g '	x	(x, y) 0,
'y (x, y, ) f 'y (x, y) g 'y (x, y) 0,								(4.29)
			' (x, y, ) g(x, y) 0.

совпадают с необходимыми условиями существования условного экстремума функции (4.26) при уравнении связи (4.27).

Из решения системы (4.29) находятся точки, которые могут быть точками условного экстремума функции (4.26) при уравнении связи (4.27). Будут ли эти точки на самом деле точками условного экстремума, решается с помощью достаточных условий, но их касаться мы не будем. В некоторых случаях этот вопрос может быть решен на основе анализа условий задачи.

Пример. Найти точки условного экстремума функции

z x 2y

при

условии x2 y2 5.

Решение. Составим функцию Лагранжа

(x, y, ) x 2y (x2 y2 5).

Система уравнений (4.29) в примере имеет вид

'x (x, y, ) 1

2 x 0,

'y (x, y, ) 2

2 y 0,

(x, y, ) x2

y2 5 0.

'

Из первого и второго уравнений находим

x

1

,

y

1

.

2

Подставляя эти значения для x

и y в третье уравнение, получим

1

1

5

или 2

1 .

4 2

2

4

Таким образом, имеем два решения

1 ,

x 1,

y 2 и

2

1 , x

2

1,

y

2

2

1

2

1

1

2

Поскольку

геометрическим образом

функции

z x 2y

является плоскость, а

x2 y2 5

- уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом

5 ,

нетрудно убедиться, что в точке

M1( 1, 2)

данная функция

имеет условный

минимум, а в точке M2 (1, 2) - условный максимум.

Вопросы для самопроверки по теме 4.3

1.Дайте определения точек максимума и минимума функции нескольких переменных. В каких точках функция двух переменных может иметь экстремум?

2.Когда стационарная точка функции двух переменных будет точкой минимума функции?

3.В какой области и какая функция всегда имеет наименьшее и наибольшее значение?

4.В каких точках ограниченной замкнутой области дифференцируемая функция двух переменных может иметь наименьшее и наибольшее значения?

5.Когда экстремум функции нескольких переменных называется

условным?

4.4. Дифференциальная геометрия поверхностей

При изучении данной темы Вам предстоит ознакомиться со следующими вопросами:

Касательная плоскость.

Нормальный вектор.

Нормаль к поверхности.

После изучения темы Вам следует ответить на вопросы для самопроверки и решить тест №11.

Если Вы будете испытывать затруднения в ответах, обратитесь к [3], глава 3, с. 44-48 и к глоссарию – краткому словарю основных терминов и положений.

Пусть поверхность S задана

z

N0

уравнением

F(x, y, z) 0.

S

M0

Возьмем

на

поверхности

точку

M0 (x0 , y0 , z0 )

и

проведем

через

нее

касательную

плоскость

и

нормаль

к

поверхности (рис. 4.12).

Уравнение

касательной

плоскости

к

S

поверхности

F(x, y, z) 0 в точке M 0

имеет

y вид

y

O

0

F

(x x

)

F

x

P0

x

M0

0

y

M0

F

Рис 4.12

( y y0 )

(z z0 ) 0,

z

M0

а канонические уравнения нормали

x x0

y

y0

z

z0

.

F

F

F

x

M0

y

M0

x

M0

Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности S в случае ее

явного задания уравнением z f (x, y) будут

f

x x

f

y

y

z

z

0

0,

x

0

y

0

P0

P0

x x0

y y0

z z0

,

f

f

1

x

P0

y

P0

где точка P0 (x0 , y0 , 0) - проекция точки M0 (x0 , y0 , z0 )	на плоскость Oxy .
Пример. Написать уравнения нормали и касательной плоскости к эллипсоиду
x2 4y2 8z2 33
в точке M0 (1; 0; 2).
Решение. Перенося все члены
уравнения поверхности в левую часть,
получим уравнение F(x, y, z) 0, где	z	M2

F(x, y, z) x2 4y2 8z2 33.

Находим частные производные

M0

F

2x,

F

8y,

F

16z.

x

y

z

M

Вычислим их значения в точке

M1

M0 (1;0; 2)

F

2,

F

0,

F

32.

x

M0

y

M

0

z

M0

x

O

y0

y

0

P0

y

Подставив

значения

x

производных и координаты точки в

P

уравнения нормали, получим

x

x

1

y

z 2

Рис 4.13

2

0

32

.

Подставив

соответствующие

2(x 1) 32(z 2) 0

значения в уравнение касательной плоскости,

будем иметь

или x 16z 33 0.

При помощи касательной плоскости можно дать геометричекую

интерпретацию полного дифференциала функции

z f (x, y)

в данной точке

(рис. 4.13).

как приращения x и y координат x

Рассматривая разности x x0 и y y0

и

y,

из

уравнения

касательной

плоскости

f

(x x ) f

( y y

0

) (z z

0

) 0,

находим

x

P0

0

y

P0

z z0

f

x f

y.

x

P0

y

P0

Правая часть этого равенства представляет собой не что иное, как

полный дифференциал функции z f (x, y) в точке

P0 (x0, y0 ) .

Следовательно

dz

P0

z z0.

Здесь

z - координата точки M на касательной плоскости,

x и y. Таким образом, полный

две другие координаты которой равны

дифференциал dz

P0 геометрически изображается отрезком

M1M , который

является приращением аппликаты касательной плоскости, проведенной к поверхности z f (x, y) в точке M0 (x0 , y0 , z0 ), где z0 f (x0 , y0 ). Отрезок

M1M2 изображает полное приращение z f (x, y) f (x0 , y0 ) той же функции. Приведенная геометрическая интерпретация полного дифференциала

позволяет составить наглядное суждение о том, что для малых приращений x иy величина полного приращения функции может быть с большой степенью точности заменена величиной полного дифференциала.

Вопросы для самопроверки по теме 4.4

1. Сформулируйте определение нормального вектора N0 к поверхности S , заданной уравнением F (x, y, z) 0 , в точке M0 S .

2.Какая прямая называется нормалью к поверхности S в точке M0 ?

3.Напишите канонические уравнения нормали к поверхности S , заданной уравнением F(x, y, z) 0 , в точке M0 (x0 , y0 , z0 ) .

4.Дайте определение касательной плоскости к поверхности S в точке M0 .

5.Напишите уравнение касательной плоскости к поверхности S , заданной уравнением F(x, y, z) 0 , в точке M0 (x0 , y0 , z0 ) .

6.Напишите уравнение касательной плоскости в точке M0 (x0 , y0 , z0 ) к

поверхности S в случае явного задания поверхности S уравнением

zf (x, y) .

7.Напишите уравнения нормали в точке M0 (x0 , y0 , z0 ) к поверхности S , если она задана уравнением z f (x, y) .