3.2. Дифференцируемость функции в точке

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности X
точки	x0 . Зададим в этой точке произвольное приращение аргумента
x ≠ 0	так, чтобы x0 +	x X .
Определение 3.4.		Функция y = f (x) называется дифференцируе-

мой в точке x , если приращение функции в этой точке, соответствую-

щее приращению	x	аргумента, можно, представить в форме
где A - число, а α(		x)	y = A x +α(	x)	x,	(3.5)
			- функция	x ,	бесконечно малая при x →0 ,
то есть α( x) → 0	при		x →0.
Заметим, что число A ставится в соответствие фиксированной точ-
ке x0 и не зависит от			x . При изменении точки x0 число			A , вообще
говоря, изменится.

Условия дифференцируемости функции в точке определяются теоремами 3.1 и 3.2.

Теорема 3.1. Для того, чтобы функция y = f (x) была дифферен-

цируема в точке x0 , необходимо и достаточно, чтобы эта функция обладала в этой точке конечной производной.

Доказательство. Необходимость. Пусть y = f (x) дифференцируема в точке x0 , то есть в этой точке имеет место соотношение (3.5). Разделим его почленно на x ≠ 0.

	y	= A +α( x).
	x
Если x → 0	, то получим, что f ′(x0 ) = A . Это и означает конечность
производной	f ′(x0 ).

Достаточность. Пусть f ′(x0 ) - число. По определению производной (3.1) имеем:

lim	y =		f ′(x0 ).
x→0	x
Отсюда получаем (теорема 2.12), что
y = f ′(x0 ) +α( x),	где	α( x) → 0		при	x	→ .
x						0

Но это и есть определение дифференцируемости. При этом величина A , входящая в условие (см. формулу (3.5)), совпадает со значением

63

f ′(x0 ) производной f ′(x)	в точке x0 .	Поэтому данное условие можно
записать в форме
y = f ′(x0 ) x +α(	x) x, где α(	x) → 0 при x →0. (3.6)
Теорема доказана.

Замечание 1. В некоторых учебниках в качестве определения дифференцируемости в точке дается именно существование конечной производной в данной точке.

Важно выяснить связь между дифференцируемостью и непрерывностью.

Теорема 3.2. Если функция y = f (x) дифференцируема в точке x0 ,

то она и непрерывна в этой точке.

Доказательство. Утверждение непосредственно вытекает из условия (3.6). Действительно, переходя в нем к пределу при x →0 получа-

ем	lim y = 0.	Данное равенство и означает непрерывность, так как бес-
	x→0

конечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Замечание 2. Из непрерывности функции в некоторой точке, вообще говоря, не следует дифференцируемость функции в этой точке. Рассмотрим, например, две функции, графики которых представлены на

рис.3.3. Обе эти функции непрерывны в точке x0 , но они не будут дифференцируемы в этой точке. Касательная к графику первой функции в точке M 0 (x0 , y0 ) параллельна оси Oy , то есть, первая функция обладает

	в точке x0	бесконечной производной. График второй функции в точке x0
	à)	á)	вообще не имеет единствен-
			ной	касательной,	поэтому
			функция в точке x0		не может
			иметь конечной производной.
				Определение 3.5.		Точ-
	x0	x0	ки, подобные x0 на рис. 3.3а,
			называются точками возвра-
		Рис.3.3	та функции, а подобные точ-
			кам	x0 на рис.3.3		b -

угловыми точками.

64

3.3. Дифференцируемость функции на промежутке

Определение 3.6. Функция y = f (x) называется дифференцируе-

мой на некотором промежутке X (конечном или бесконечном), если эта функция дифференцируема в каждой точке этого промежутка.

Отметим при этом, что в принадлежащих X граничных точках должна иметь место односторонняя дифференцируемость (правосто-

ронняя или левосторонняя).

В частности, если X =[a,b] - замкнутый интервал, то в его граничных

точках a и b должны существовать, соответственно, односторонние конечные пределы

lim	f (a + x) − f (a)	и	lim	f (b + x) − f (b)	.
	x
x→0			x→0	x
x>0			x<0

Графиком функции, дифференцируемой на некотором промежутке, служит сплошная линия без точек возврата и угловых точек. Такую линию будем называть гладкой.

3.4. Дифференциал функции

Пусть функция y = f (x) дифференцируема в точке x . Тогда в точ-

ке x0	для любого	x ≠ 0	имеет место соотношение (3.6)
	y = f ′(x0 )	x +α(	x) x,	где α( x) → 0 при x → 0,
которое представляет функцию от					x в точке x0 в виде двух слагаемых.
Первое из этих слагаемых f ′(x0 )				x	является линейной функцией аргу-
мента	x , а второе слагаемое α(			x) x - нелинейной функцией x.
Определение 3.7.			Произведение f ′(x0 ) x , представляющее собой
линейную относительно			x часть приращения функции в точке x0 , на-

зывается дифференциалом функции y = f (x) в этой точке и обозначает-
ся одним из символов dy или df (x0 ).
Итак,
dy = f ′(x0 ) x.	(3.7)
Заметим, что приращение x аргумента x , который здесь выступает как
независимая переменная, обычно обозначают	dx и называют диффе-

ренциалом независимой переменной. (Это непосредственно следует из определения дифференциала, если положить f (x) = x ). Таким образом,

65

dy dx

формулу (3.7) для дифференциала функции пишут еще в виде
dy = f ′(x0 )dx,	(3.8)

то есть дифференциал функции в данной точке равен произведению производной функции в этой точке на дифференциал (приращение) независимой переменной.

Из формулы (3.8) находим, что f ′(x0 ) = dydx . Таким образом, производную функции можно рассматривать как отношение дифференциала

функции к дифференциалу независимой переменной. Символ часто

применяют для обозначения производной функции y по переменной x . Вернемся к графику функции y = f (x) , представленному на рис.3.1.

Как легко заметить, дифференциал функции y = f (x) в точке x0 , геометрически представляет собой приращение ординаты касательной к

графику этой функции в точке

M 0 (x0 , y0 ) на интервале

[x0 ,x0 +

x] .

Перепишем теперь формулу для приращения функции в виде

y −dy =α(

x)

x,

где

α(

x) → 0 при x → 0.

(3.9)

Если f ′(x0 ) ≠ 0,

то функция α(

x) x аргумента x является при

x → 0

бесконечно

малой

более

высокого порядка, чем функция

dy = f ′(x0 )dx того же аргумента. Действительно

lim

α(

x) x

=

1

lim α( x) = 0.

f ′(x0 ) x

f

′(x0 )

x→0

x→0

Итак, α(

x) x = 0(dy)

при

x → 0

, в силу чего (3.9) можно переписать

в виде

y −dy = 0(dy)

при

x → 0

. Отсюда следует (см. теорему 2.25),

что приращение

y и дифференциал dy функции y = f (x)

в точке

x0 ,

являются эквивалентными бесконечно малыми при x → 0

и при усло-

вии, что

f ′(x0 ) ≠ 0,

Следствием этого является возможность приближенной замены

приращения функции

y дифференциалом этой функции dy со сколь

угодно высокой относительной точностью.

Итак, имеем приближенное равенство

y ≈ dy,

(3.10)

абсолютная и относительная погрешности которого сколь угодно малы при достаточно малом по модулю x. Структура дифференциала, являющегося линейной функцией x , проще структуры приращения функ-

66