меровать невозможно.

1.3.Множество вещественных чисел

Вшкольном курсе математики Вы уже знакомились с множеством вещественных (действительных) чисел R . Уточним некоторые его свой-

ства, наиболее важные для данного курса.

Итак, целые положительные числа 1,2,3,L образуют множество

натуральных чисел, которое обычно обозначается буквой N.

Целые отрицательные числа, ноль и целые положительные числа образуют множество целых чисел, которое будем обозначать буквой Z.

Множество рациональных чисел Q образовано всевозможными обыкновенными дробями.

		m
	Q = ±		:	(m Z) (n N) .
		n
	Очевидно, что N Z,		N Q , Z Q.

Существует бесконечное множество чисел, которые не являются

рациональными. К ним относятся, например, 2, 5,	π и т.д. Эти числа
	&

называют иррациональными.

Пусть C - множество иррациональных чисел. Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел образует множество ве-

щественных чисел R , т.е. R = Q C.

Известно, что любое вещественное число представимо в виде бесконечной десятичной дроби, периодической или непериодической. Заметим, что число 0, которое является периодом бесконечной дроби, обычно не пишут, превращая тем самым бесконечную дробь в конечную. При этом рациональные числа представимы в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, а иррациональные - в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Далее будут использоваться следующие основные свойства вещественных чисел:

1. Упорядоченность. Это значит, что любые два вещественных чис-

ла a и b находятся в одном и только в одном из трех соотношений: a < b, a = b , a > b.

2. Плотность. Между любыми двумя числами находится бесконечно много рациональных и иррациональных чисел.

Из последнего свойства следует, что всякое иррациональное число можно сколь угодно точно приблизить рациональным числом. На практике такое приближение осуществляют, оставляя в бесконечной непериодической дроби, которая соответствует иррациональному числу,

8

только конечное число первых десятичных знаков и заменяя остальные нулями.

Известно, что множество рациональных чисел счётно, а множество вещественных чисел R не является счетным и имеет, по определению, мощность континуума. Это связано со свойством непрерывности R . Подробнее о свойствах множества R можно прочесть в одном из полных курсов математического анализа.

1.3.1. Геометрическая интерпретация вещественных чисел

Установим эквивалентность множества вещественных чисел и множества точек числовой оси (вещественной прямой). Напомним, что чи-

−x		x	X	словой осью называется прямая, на
x < 0	O 1			которой установлено		положительное
			x > 0	направление	(обычно	указывается
	Ðèñ.1.2
				стрелкой); точка O , называемая началом

отсчета и масштаб, т.е. отрезок, длина которого принята за единицу.

На рис.1.2 числовая ось расположена горизонтально, за положительное выбрано направление слева направо. Точка, соответствующая числу x строится так: если x > 0, то эта точка лежит правее точки O на расстоянии x от нее; если x < 0, то точка лежит слева от точки O на расстоянии −x от нее; если x = 0, то соответствующая точка совпадает с точкой O . Аналогичным образом, каждой точке на числовой оси можно поставить в соответствие единственное число x . Установленное взаимно однозначное соответствие позволяет отождествить понятия "точка x на числовой оси" и "вещественное число x ."

Определим некоторые часто встречающиеся подмножества R . Пусть a,b,x - вещественные числа.

(a,b) ={x : a < x < b}, - открытый интервал; [a,b] ={x :a ≤ x ≤ b} - замкнутый интервал;

(a,b] ={x : a < x ≤ b} и [a,b) ={x : a ≤ x < b}- полуоткрытые интервалы.

Эти интервалы называются конечными промежутками и на числовой оси изображаются отрезками с включением или без включения в них конечных точек.

Введем бесконечные промежутки:

(−∞,+∞) ={x : x R}, т.е. (−∞,+∞) = R ;

(

−∞,b

)

{

}

(

−∞,b

]

{

}

[

)

=

{

x : x < b ;

(

)

=

x : x ≤ b ;

a, +∞

}

a, +∞

{

}

=

x : x ≥ a ;

=

x : x > a .

Можно показать, что любой промежуток имеет мощность континуума.

9

1.3.2. Ограниченность числовых множеств

Определение 1.11. Пусть X R . Говорят, что X ограничено сверху, если существует M R , такое что x X выполнено x ≤ M . При этом число M называется верхней границей множества X. Наименьшая из всех верхних границ множества X называется точной верхней грани-

цей (или верхней гранью) множества X.

Множество	X называют ограниченным снизу, если существует
m R , такое что	x X выполнено x ≥ m . При этом число m называет-

ся нижней границей множества X. Наибольшая из всех нижних границ множества X называется точной нижней границей (или нижней гранью)

множества X.

Верхняя грань множества X обозначается supX, нижняя - infX (от латинских слов supremum - наивысшее и infimum - наинизшее).

Верхняя и нижняя грани могут как принадлежать множеству, так и не принадлежать ему.

Пример 1.10. 1. Полуоткрытый интервал [a,b) есть множество, ог-

раниченное сверху и снизу, причем нижняя грань - точка a принадлежит ему, а верхняя грань - точка b не принадлежит ему.

2. Множество X ={x : x = 2−n , n N} имеет верхней гранью число 21, ему принадлежащее, а нижней - число 0, которое ему не принадле-

жит.

1.3.3. Абсолютная величина вещественного числа

Пусть x - произвольное вещественное число, т.е. x R

| x |= −x		| x |= x					−x, åñëè x < 0
			X					x, åñëè x > 0
x < 0		x > 0				| x |=
	O							0, åñëè x = 0
	Рис.1.3				Заметим, что с геометрической точки
зрения | x |-		это расстояние от точки, соответствующей числу x на чи-
словой оси, до начала координат.
Перечислим основные свойства модуля:
1.| x |≥ 0 äëÿ ëþ áî ãî x, п ричем				| x |= 0 x = 0
	| x |<α			2.	Если	α	положительное число, то
			x	(|	x |<α)	(−α < x <α) (см.рис.1.4).
					3. | −x |=| x |.
−α		O	α
					4. |		x + y |≤| x | + | y |.

Рис.1.4

10

5.| x − y |≥|| x | −| y ||

6.| xy |=| x || y |.

7.Åñëè y ≠ 0, òî | xy |= ||xy||

Пользуясь определением модуля найдем

x2 − x1		x2 − x1 ï ðè x2 ≥ x1;
		= −(x − x		)	ï ðè	x < x .
			2 1			2 1

Отсюда следует, что независимо от расположения точек x1			и x2 на чи-
словой оси | x2 − x1 |	представляет собой расстояние между точками x1 и
а) x2 − x1 =| x2 − x1 |		б) x1 − x2 = −(x2 − x1 )=| x2 − x1 |
x1	x2	x2	x1
		Рис.1.5

x2 на рис.1.5.а,б представлены случаи x2 > x1 и x2 < x1 .

1.3.4. Окрестности точек. Расширение прямой

Важным для дальнейшего изложения является понятие окрестно-

сти.

Определение 1.12. Пусть ε > 0. ε -окрестностью точки x0 будем называть множество точек x , расстояние ρ(x,x0 ) от которых до точки x0 меньше ε . Обозначим ε -окрестность точки x0 так: Rε (x0 ). Как следует

из определения окрестности и определения расстояния (абсолютной ве-

личины) на множестве R.

Rε (x0 ) ={x :| x − x0 |< ε} èëè Rε (x0 ) = (x0 −ε,x0 +ε).

Геометрически Rε (x0 ) - это отрезок длины 2ε с серединой в точке x0 , без включения в него концевых точек (рис.1.6 a).

Рис. 1.6

Любую точку числовой оси, соответствующую некоторому вещественному числу, принято называть конечной точкой.

Пусть x0 - конечная точка. Введем в рассмотрение левую Rε− (x0 ) ε - окрестность точки x0 и правую Rε+ (x0 ) ε - окрестность точки x0 . По оп-

11

ределению, Rε− (x0 )= (x0 −ε, x0 ), Rε+ (x0 ) = (x0 ,x0 +ε) (см. рис.1.6.б). Наряду с ε - окрестностью точки используют и понятие окрестности точ-

ки.

Определение 1.13. Окрестностью X конечной точки x0 называет-

ся любое подмножество X R , содержащее некоторую ε -окрестность точки x0 . Расширим числовую ось (соответственно и множество вещественных чисел R ), введя на ней три бесконечные точки: +∞,−∞,∞. Сделаем это путем определения их ε - окрестностей Rε (+∞),Rε (−∞),Rε (∞),

ибо интересовать нас будут впоследствии не сами точки, а их окрестности. Итак, пусть ε > 0 .

Определение 1.14. Пусть ε по-прежнему некоторое положительное число. Тогда примем:

Rε (+∞) = ε1 ,+∞ или (x Rε (+∞)) x > ε1 ;

Rε (−∞) = −∞,−ε1 или (x Rε (−∞)) x < −ε1 ;

Rε (∞) = −∞,−ε1 ε1 ,+∞ или (x Rε (∞)) x > ε1 (см.рис.1.7).

Рис.1.7

Чем меньше ε , тем точка ε1 расположена правее, а точка −ε1 рас-

положена левее от нулевой точки, и тем, следовательно, «меньше» все определенные выше окрестности.

Естественно считать бесконечные точки +∞ и −∞ частными случаями точки ∞.

1.3.5. Открытые и замкнутые подмножества R

Определение 1.15. Пусть X - некоторое множество вещественных чисел (X R) или некоторое множество точек числовой оси. Точка x

называется внутренней точкой множества X, если она принадлежит X вместе с некоторой своей ε - окрестностью. Точка x называется граничной точкой множества X, если любая окрестность этой точки содержит как точки, принадлежащие X, так и точки, не принадлежащие X. При

12