2.2. Определение предела функции

Пусть функция y = f (x) задана в некоторой окрестности конечной

или бесконечной точки a, причем если a - конечная точка (число), то в самой этой точке функция может быть и не определена. Часто бывает, что с приближением значений аргумента x и a соответствующие значения функции y = f (x) приближаются к некоторому A (где A - конечная

или бесконечная точка). Таким образом, ясно что для точек x , принадлежащих достаточно малой окрестности a соответствующие точки y = f (x) принадлежат сколь угодно малой окрестности A.

Определение 2.7. Если для любого наперед заданного положительного числа ε можно указать такое положительное число δ =δ(ε),

зависящее от ε , что из условия x Rδ (a) ( x ≠ a, если a -число) следует f (x) Rε ( A) , то A называется пределом функции f (x) в точке a (или

при x , стремящемся к a).

В этом случае пишут limx→a f (x) = A или f (x) → A при x → a .

В зависимости от того, конечны или бесконечны a и A, использование соответствующих определений (см. пункт 1.3.4) окрестностей позволяет приведенное выше общее определение предела функции формулировать для различных случаев на языке неравенств.

Так, если a и A числа, то запись limx→a f (x) = A означает, что

ε > 0 δ =δ(ε) такое, что из условия

0 < x −a <δ | f (x) − A |<ε.

(lim f (x) = A)

x→a

( ε > 0 δ =δ(ε) :0 < x −a <δ f (x) − A <ε). (2.1)

Принадлежность точки x δ - окрестности точки a мы записываем

здесь в виде 0 <

x −a

<δ исключая, тем самым,

из рассмотрения точ-

ку x = a, в которой функция f (x) может быть не определена.

Если a - число, A = +∞, то имеем определение

(lim f (x) = +∞) ( ε > 0 δ =δ(ε) >

0 :0 <

x − a

<δ f (x) >

1

).

x→a

ε

При a = −∞, A = ∞ имеем

(lim f (x) = ∞) ( ε > 0 δ =δ(ε) > 0

: x < −

1

f (x)

>

1

).

x→a

δ

ε

33

В оставшихся случаях определения на языке неравенств строятся аналогично.

Отметим следующие два очевидных равенства, непосредственно следующих из определения предела функции (см. формулу. 1).

1).	lim x = a	(2.2)
	x→a
2). Если f (x) = C , где Ñ −const , то
lim f (x) = lim C = C.		(2.3)
x→a	x→a

Формула (2.2) следует из того, что в этом случае речь идет о пределе функции, совпадающей со своим аргументом. Формула (1) - из того, что в этом случае, независимо от характера поведения аргумента, значения функции всегда принадлежит произвольной ε - окрестности точки C , так как просто совпадает с C .

Дадим еще одно определение предела функции. Оно использует уже знакомое определение предела числовой последовательности.

Определение 2.8. Говорят, что A есть предел функции f (x) при x → a , если для любой последовательности {xn} значений аргумента x , сходящейся к a , (xn ≠ a) , соответствующая последовательность значений функции { f (xn )} стремится к A. При этом предполагается, что по-

следовательность	{x}	принадлежит	области определения X функции
f (x) .
Итак,		(lim f (x) = A)
		x→a
(( {x }:(x		X) (lim x	= a)) (lim f (x ) = A))
n	n	n→∞ n	n→∞	n
Теорема 2.5.	(Об эквивалентности определений предела) Дан-

ные выше определения предела функции (см. опр.2.7 и опр.2.8) эквивалентны.

Доказательство. Докажем эквивалентность двух данных определений. Ограничимся случаем, когда a и A - числа. В тех случаях, когда хотя бы одна из этих величин бесконечна, доказательство аналогично.

Пусть A - предел функции f (x) при x → a в смысле первого опре-

деления. Выберем произвольное ε > 0 , тогда

δ = δ(ε) > 0 :0 <| x − a |< δ | f (x) − A |< ε.

Рассмотрим любую последовательность {xn}, xn ≠ 0 , такую что

lim xn = a . Для указанного значения δ (δ > 0) существует число N та-

n→∞

34

δ1,δ2 ,δ3 ,L,δn ,L,

кое, что при n > N выполняется неравенство						xn −a		<δ .	Следователь-
но, согласно определению 2.7,		f (x) − A		<ε. Так как ε					выбиралось

произвольно, то это и означает, что f (xn ) → A. Тем самым, доказано, что для любой последовательности {xn}, (xn ≠ 0) сходящейся к a, последовательность { f (xn )} сходится к A. Итак из определения 2.7 следует

определение 2.8.

Докажем обратное. Пусть A - предел f (x) в смысле второго определения. Покажем, что A - предел функции f (x) при x → a и в смысле

первого определения. Проведем доказательство от противного. Предположим, что число A не является пределом f (x) при x → a в смысле

первого определения. Тогда существует хотя бы одно такое число ε0 > 0, что для каждого δ > 0 найдется число x , удовлетворяющее условию 0 < x −a <δ , для которого f (x) − A ≥ε0 .Рассмотрим последовательность чисел стремящуюся к нулю, например,

1

≠ a такое,

что

{δn} ={n}. Тогда для каждого δn найдется свое xn ,xn

xn −a

<δn , в то время как

f (xn ) − A

≥ε0 . Так как limn→∞ δn = 0 , то,

переходя к пределу в

неравенстве

xn −a

<δn ,

получим,

что

limn→∞ xn −a = 0 (см. теорему (2.4)), то есть, что xn → a . Но в то же время последовательность { f (xn )} не сходится к A (так как при n име-

ет место неравенство f (xn ) − A ≥ε ). Полученное противоречие дока-

зывает обратное утверждение.

Заметим, что второе определение дает возможность установить отсутствие предела функции при определенном значении аргумента.

Пример 2.5. Покажем, что функция f (x) = sin 1x не имеет предела при x → 0.

Действительно, возьмем последовательность

{xn} ={n1π}, ãäå n1π → 0. Òî ãäà f (xn ) = sin nπ = 0.

Следовательно, f (xn ) → 0. Возьмем теперь последовательность

	{xn} ={	2	},	ãäå	2	→ 0.
		(4n +1)π			(4n +1)π

35

При этом	f (xn ) = sin	(4n +1)π	= sin	π	=1. Откуда	′′
		2		2		f (x ) →1.

Следовательно, функция y = sin 1x при x →0 не имеет предела, так как для двух различных последовательностей {xn}, сходящихся к

нулю, получаем различные пределы значений функции.

Исходя из эквивалентности двух определений предела, а также из единственности предела последовательности (см. теорему 2.2), можно утверждать единственность предела функции. Опираясь на теорему (см. теорему 2.3.) можно доказать также ограниченность функции, имеющей конечный предел при x → a , в некоторой окрестности данной точки a . Используя же теорему о предельном переходе в неравенстве (см. теорему 2.4) можно получить аналогичный результат для функций. Приведем без доказательства соответствующие теоремы.

Теорема 2.6 Если при x → a функция f (x) стремится к конечному

пределу, то этот предел является единственным.

Теорема 2.7 Если при x → a функция f (x) стремится к конечному

пределу, то в некоторой окрестности X предельной точки a эта функция ограничена.

Теорема 2.8 Если при x → a функция f (x) стремится к конечному

пределу A и в некоторой окрестности X точки a эта функция положительна (отрицательна), то A ≥ 0 ( A ≤ 0 ).

2.2.1. Односторонние пределы функции

Пусть a - конечная точка (число). Определение предела функции y = f (x) в точке a (при x →a ) не накладывает никаких условий на

характер приближения значений аргумента x к точке a . Введем теперь дополнительно такие условия: пусть значения x приближаются к a , оставаясь при этом строго меньше a , либо больше a , то есть, находясь либо в левой, либо в правой окрестности точки a (п.1.3.4), и сформули-

руем два определения.
Определение 2.9.	Если	для любого ε > 0		существует такое
δ =δ (ε )> 0 , что как только x попадает в левую δ				- окрестность Rδ	(a)
точки a , значение f (x)	оказывается в ε - окрестности Rε (A) числа A,
то A называется левым пределом функции			f (x) в точке a и обозначается
одним из символов			lim f (x).
f (a −0),	lim	,
		f (x)	x→a
	x→a−0
			x<a

36

Определение 2.10. Если для любого ε > 0 существует такое δ =δ (ε )> 0 , что как только x попадает в правую δ - окрестность Rδ+ (a)

точки a , значение f (x) оказывается в ε - окрестности Rε (A) числа A, то A называется правым пределом функции f (x) в точке a и обознача-

ется одним из символов
f (a +0),	lim f (x),	lim f (x).
	x→a+0	x→a
		x>a

Итак:

y f (a + 0)

f (a −0)

O a

Рис.2.1

( lim	f (x) = A) ( ε > 0 δ =δ(ε) > 0 :
x→a−0				(2.4)
	x Rδ− (a) f (x) Rε (A));
( lim	f (x) = A) ( ε > 0 δ =δ(ε) > 0 :
x→a+0				(2.5)
	x Rδ +(a) f (x) Rε ( A)).
	Левый и правый пределы функции в точке a
называются односторонними пределами функции
в	этой точке. Из	рис. 2.1	видно, что	одно-
сторонние пределы		f (a −0)	и f (a + 0)	могут

быть не равны друг другу.

Очевидно, что из существования конечного

xпредела функции f (x) в точке a ( иногда его

называют двусторонним пределом функции в точке a ) вытекает существование и равенство друг другу обоих односторонних пределов

функции в этой точке
И обратно, из существования и равенства друг другу обоих	преде-
лов следует существование конечного предела.
Таким образом, если a и A числа, то	(2.6)
(lim f (x) = A) ( f (a − 0) = f (a + 0) = A).
x→a

2.2.2. Признаки существования конечного предела функции. Неперово число e

В некоторых случаях следующие две теоремы позволяют решить вопрос о наличии предела функции.

Теорема 2.9 (о пределе промежуточной функции) Пусть функ-

ции f1 (x), f2 (x), f3 (x)	определены в некоторой окрестности точки a
(исключая может быть,	саму эту точку, если a - число), причем в этой

37

x →a , если

a →= −∞.

- конечная точка, и конечный предел

окрестности выполнены неравенства
			f1 (x) ≤ f2 (x) ≤ f3 (x).	(2.7)
Тогда, если		lim f1	(x) = lim f3 (x) = A,	(2.8)
		x→a	x→a
то существует		lim f	2 (x) = A.	(2.9)
		x→a
Доказательство. В соответствии с определением предела функции
(см. опр.	2.7) равенства (2.8) означают, что ε > 0 δ1 > 0,			такое что
x Rδ1	(a), где x ≠ a верно: f1 (x) Rε ( A). Аналогично δ2 > 0, та-
кое что x Rδ2		(a) : f3 (x) Rε ( A).

Пусть δ = min(δ1,δ2 ). Тогда x Rδ ( A) выполнены соотношения

f1 (x) Rε ( A) è f3 (x) Rε (A).

Но тогда в силу (2.7) для всех x Rδ (a) и f2 (x) Rδ ( A). Отсюда и следует утверждение (2.9). Теорема доказана.

Приведем без доказательства еще одну теорему, позволяющую установить наличие предела функции, хотя и не дающую возможности найти этот предел.

Теорема 2.10 (o пределе монотонной ограниченной функции).

Пусть функция f (x) монотонна и ограничена в окрестности точки a . Тогда существуют конечные левый и правый пределы f (x) в точ-

ке a , если a f (x) при a = +∞ или

Примером использования последней теоремы служит введение не-

перова числа.

1

n

Рассмотрим функцию

натурального аргумента n .

f (n) = (1+ n)

Преобразуем эту функцию, используя бином Ньютона

n

n

n

n−1

n(n −1)

n−2

2

n(n −1)(n − 2)

n−3

3

(a +b)

= a

+

a

b +

a

b

+

a

b

+L

1!

2!

3!

L+

n(n −1)(n − 2)L[n −(n −1)]

bn .

n!

Положив здесь a =1,

b =1/n,

получим

f (x) = (1

+

1

)n =1+ n

1

+

n(n −1)

1

+

n(n −1)(n − 2)

1

+

n2

n

n

1 2

1 2 3

n3

38

L+

n(n −1)(n − 2)L[n −(n −1)]

1

=

nn

1 2 3Ln

= 2 +

1

(1

−

1

) +

1

(1−

1

)(1−

2

) +L

2

2 3

n

n

n

L+

1

(1−

1

)(1−

2

)L(1−

n −1

).

1

2 3Ln

n

n

n

Пусть аргумент функции возрастает от n до (n +1). Тогда с одной стороны, увеличатся все члены в выражении написанном выше, так как величины в скобках возрастут с заменой n на (n +1), а с другой сторо-

ны, добавится	одно положительное слагаемое. Следовательно,
f (n +1) > f (n)	и функция f (n) возрастающая (то есть монотонная).

Докажем, что рассматриваемая функция f (n) ограничена. Заменим с

этой целью единицей каждую скобку в правой части (а все эти скобки меньше 1). В результате правая часть возрастет, и мы получим оценку

1 n

1

1

1

f (n)= 1+

< 2 +

+

+... +

.

2

2

3

2 3 n

n

Усилим это неравенство, заменив в знаменателях его правой части

числом 2 все множители, отличные от 2

1

n

1

1

1

f (n)= 1+

<

2 +

+

+... +

.

2

2

2

2

n−1

n

В правой части, начиная со второго члена, мы имеем сумму членов

геометрической прогрессии, которая равна 1−

1

. Это число меньше

2n−1

единицы.

Таким образом,

n

n N : f (n)=

1

1

+

<

2 +1 = 3.

n

Рассматриваемая функция возрастает, в силу чего наименьшее зна-

чение она имеет при n =1; это значение равно

f (1) = 2. Итак, n N :

2 ≤ f (n) < 3, откуда и следует ограниченность

f (n) .

Таким

образом, на множестве

N натуральных чисел функция

f (n)= 1+

1

n монотонна и ограничена, откуда в силу теоремы (2.10)

n

следует, что при n → +∞ эта функция стремится к конечному предeлу. Предел этот называется неперовым числом и обозначается буквой e.

39

ln x.

Итак,

		1 n
lim 1	+			= e .
n→∞		n

Можно показать, что и вообще

			1	x
	lim 1	+			= e .
			x
	n→∞

Доказано, что e - число иррациональное, то есть, оно выражается бесконечной непериодической десятичной дробью. В дальнейшем будет изложен метод, позволяющий вычислить любое число десятичных зна-

ков этой дроби; пока же приведем несколько первых ее значащих цифр:

e = 2,718281828L

Неперово число e играет большую роль в математике. В частности, в теоретических исследованиях бывает особенно выгодно пользоваться логарифмами, основанием которых служит неперово число. Такие логарифмы называются натуральными. Натуральный логарифм числа x обозначается символом Так как в практических расчетах пользуются преимущественно десятичными логарифмами, то получим модуль пере-

	хода от десятичных логарифмов к натуральным.							Пусть ln x = M lg x,
	где M - упомянутый модуль. Отсюда						1
				x = eM lg x , lg x = M lg xlg e,		M =		= 2,3026L
							lg e
			2.2.3. Бесконечно малая и бесконечно большая функции
		Определение 2.11. Функция α(x)				называется бесконечно малой в
	точке a (или при x → a ), если
				limα(x) = 0						(2.10)
				x→a
		Определение 2.12. Функция			f (x)	называется бесконечно большой
	в точке a (или при x →a ), если									(2.11)
				lim f (x) = ∞.
				x→a
		Теорема 2.11 (о связи бесконечно малой и бесконечно большой).
		Если α(x) - бесконечно малая в точке a , то функция							1	- беско-
									α(x)
	нечно большая в этой точке; если				f (x) - бесконечно большая в точке a ,
	то	1		- бесконечно малая.
		f (x)			- бесконечно мала в точке a , то есть
		Доказательство. Пусть α(x)

имеет место (2.10). Это значит, что для любого ε > 0 существует δ > 0 ,

40

что как только x Rδ (a), значение функции α (x) попадает в Rε (

0), т.е.

выполняется неравенство | α (x)

−0 |< ε . Следовательно,

1

>

1

, т.е.

| α (x)|

ε

1

>

1

. Итак, для ε > 0,

δ > 0,

что как только

| x − a |<δ ,

α (x)

ε

1

, откуда заключаем, что lim

1

= ∞, т.е. функция

1

бес-

1

>

α (x)

ε

α (x)

α (x)

x→a

конечно большая в точке a . Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Пример 2.6. Вычислить	lim	1	. В силу равенства (2.2) имеем
	x→∞ x

lim x = ∞, то есть x - бесконечно большая при x → ∞, но тогда по дока-

x→∞

занной теореме функция 1x - бесконечно малая при x →∞, то есть

lim 1 = 0 .

x→∞ x

Замечание. Иногда тот факт, что бесконечно малая и бесконечно большая функции взаимно обратны, записывается одним из следующих

символических равенств: 10 = ∞ и ∞1 = 0 . Эти равенства не выражают

никакой количественной связи (ибо деление на 0 невозможно, а ∞ - не число) и понимать их надо только в указанном предельном смысле.

Бесконечно малые функции играют существенную роль в математическом анализе, связанную, в частности, с тем, что определение конечного предела может быть сведено к понятию бесконечно малой. Это вытекает из следующей теоремы.

Теорема 2.12 (Необходимое и достаточное условие существова-

ния конечного предела). Для того, чтобы функция f (x) при x → a

стремилась к конечному пределу A, необходимо и достаточно, чтобы функция α(x) = f (x) − A была бесконечно малой в точке a.

Доказательство. Необходимость. Если limx→a f (x) = A, то

ε > 0 δ > 0 : x Rδ (a) ‚ {a} f (x) − A <ε.

Очевидно, что f (x) − A <ε α(x) −0 <ε . Откуда немедленно следует, что limx→a α(x) = 0.

41

Достаточность. Если limx→a α(x) = 0, то

ε > 0 δ > 0 : x Rδ (a) ‚ {a} α(x) −0 <ε.

Так как		α(x) −0		<ε		f (x) − A		<ε, то это и означает,	что
limx→a f (x) = A.
Доказанную теорему можно сформулировать иначе: функция									f (x)

при x →a стремится к конечному пределу A тогда и только тогда, когда f (x) равна сумме числа A и некоторой функции α(x) , бесконечно ма-

лой в точке a	(2.12)
f (x) = A +α(x).

Докажем некоторые свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.

Теорема 2.13 (о сумме конечного числа бесконечно малых). Сум-

ма конечного числа бесконечно малых в точке a функций есть также функция, бесконечно малая в этой точке.

Доказательство. Проведем его для случая двух слагаемых (общий случай можно доказать аналогично). Пусть функция α1 (x) и α2 (x) - бес-

конечно малые в точке a, то есть limx→a α1 (x) = 0 и limx→a α2 (x) = 0 .

Тогда для любого ε > 0 найдется такое δ1 > 0 , что для всех x Rδ (a)

1

будет выполняться неравенство | α

(x)|< ε , а также найдется такое

1

2

(x)|< ε .

δ

2

> 0 , что для всех x R

(a) будет справедливо | α

2

δ2

2

Пусть

δ = min(δ1,δ2 ).

Тогда x Rδ (a) ‚

{a} одновременно

α1 (x)

< ε

и

α2 (x)

< ε , а потому для тех же x Rδ (a) ‚ {a} будет

2

2

< ε

+ ε

α1 (x) +α2 (x)

≤

α1

(x)

+

α2 (x)

= ε,

2

2

откуда следует что,

lim(α1 (x) +α2 (x)) = 0. Но последнее и озна-

x→a

чает, что функция α1 (x) +α2 (x) бесконечно мала в точке a.

Теорема 2.14 (о произведении ограниченной и бесконечно ма-

лой). Произведение функции

f (x) , ограниченной в достаточно малой

окрестности точки a и функции α(x), бесконечно малой в этой точке,

есть функция бесконечно малая в точке a .

Доказательство. Так как функция f (x) ограничена в достаточно малой окрестности точки a , то p > 0, что

42

x Rδ (a) :

f (x)

≤ p,

(2.13)

а из того,

что

α(x)

бесконечно малая

в

точке a

следует, что

ε > 0 δ > 0, что

ε

x Rδ (a) ‚ {a}:

α(x)

<

при этом ε

p

берем настолько малым, чтобы для соответствующего δ

действительно выполнилось условие (2.13).

Но тогда

для тех же

x Rδ (a) ‚

{a} будет

ε

f (x) α(x)

=

f (x)

α(x)

< p

=ε,

p

lim( f (x) α(x)) = 0.

откуда и следует,

что

Теорема доказана.

x→0

Замечание

1. Воспользовавшись определением

ограниченной

функции (см.п. 2.8), легко заметить, что всякая постоянная функция f (x) = C ограничена в окрестности любой точки. Это позволяет сформулировать следующее утверждение:

Следствие 1 теоремы 2.14. Произведение Cα(x) постоянной C на бесконечно малую в точке a функцию α(x) есть функция, бесконеч-

но малая в этой точке.

Замечание 2. Из определения бесконечно малой функции (опр.2.11) и теоремы 2.7 вытекает, что функция α(x) , бесконечно малая

в точке a , ограничена в некоторой окрестности этой точки. Поэтому имеет место и второе следствие.

Следствие 2 теоремы 2.14. Произведение α1 (x) α2 (x) двух функ-

ций бесконечно малых в точке a есть функция бесконечно малая в этой точке.

Сформулируем теорему, которая может быть полезна при работе с бесконечно большими функциями.

Теорема 2.15. Если при x → a функция g(x) стремится к отличному от нуля пределу, а f (x) - бесконечно большая при x →a , то про-

изведение g(x) f (x) является бесконечно большой функцией при

x → a.

Доказательство этой теоремы очевидным образом следует из определения 2.12 и теоремы 2.11 по аналогии с доказательством теоремы

2.14.

43

2.2.4. Теорема о конечных пределах

Содержание этого пункта представляет собой одну из важнейших теорем теории пределов. Сформулируем её.

Теорема 2.16. ( о конечных пределах).

Если при x → a функции

f1 (x) и f2 (x) стремятся каждая к своему конечному пределу, то

lim[ f1 (x) + f2 (x)] = lim f1 (x) + lim f2 (x);

(2.14)

x→a

x→a

x→a

lim[ f1 (x) f2 (x)] = lim f1 (x) lim f2 (x);

(2.15)

x→a

f1

(x)

lim f

(x) x→a

x→a

lim

=

x→a 1

,

lim f

(x)≠ 0.

(2.16)

f2

(x)

lim f2

(x)

2

x→a

x→a

x→a

Доказательство. Так как доказательство всех частей теоремы проводится по одной и той же схеме, докажем только одну из этих частей, например, вторую (соответственно, доказательства первого и третьего утверждений предлагаются студентам в качестве упражнения).

Пусть

lim f1 (x) = A1,	lim f	2 (x) = A2 , ãäå A1 è A2	− ÷è ñëà. (2.17)
x→a	x→a		f1 (x) = A1 +ϕ1 (x),
Отсюда (теорема	2.12)	следует, что

f2 (x) = A2 +ϕ2 (x), где функции α1 (x) и α2 (x) бесконечно малы в точке a . Тогда

f1 (x) f2 (x) = ( A1 +α1 (x))( A2 +2 (x)) =

= A1 A2 + ( A2α1 (x) + A1α2 (x) +α1 (x)α2 (x)).

Все слагаемые в последней скобке бесконечно малы в точке a (следствия теоремы 2.14), а потому и вся эта скобка является функцией,

бесконечно малой в точке a ( теорема 2.13). Итак, функция f1 (x) f2 (x) равна сумме числа A1 A2 и некоторой бесконечно малой в точке a функции, откуда (теорема 2.12) следует, что

lim( f1 (x) f2 (x)) = A1 A2 ,

x→a

но на основании предположения (2.17) это и есть равенство (2.15). Формулы (2.14) и (2.15) обобщаются на любое конечное число сла-

гаемых (или, соответственно, сомножителей). В частности, для любого n N имеем

	lim( f (x))n = lim[ f (x) f (x)L f (x)] =
	x→a	x→a
= lim f (x) lim f (x)Llim f (x) = (lim f (x))n .				(2.18)
x→a	x→a	x→a	x→a

44

Это означает, что при отыскании предела натуральной степени можно переходить к пределу в основании степени.

Из формулы (2.15), в силу свойства (2.3) при				f1 (x) = C получаем
lim(Cf	2	(x)) = limC limCf2 (x) = C lim f			2 (x),	(2.19)
x→a		x→a	x→a	x→a

то есть постоянный множитель можно выносить за знак предела. Доказанная теорема не только характеризует свойства предельного

перехода как операции, но и лежит в основе фактического вычисления пределов рациональных функций. С ее помощью можно вычислить предел любой рациональной функции. Так, далее в примерах используются формулы (2.14)-(2.15), (2.2), (2.3), (2.18), (2.19) и результат примера 1.4.

Пример 2.7.

lim(3 −2x + 4x3 ) = lim3 −2lim x + 4(lim x)3 = 3 −2 4 13 = 5.

x→1

x→1

x→1

x→1

Пример 2.8.

x − 4

limx→0 (x − 4)

0 − 4

lim

=

=

= −4.

2x +1

0 +1

x→0

limx→0 (2x +1)

Пример 2.9.

Рассмотрим подробно вычисление lim

2 x2 +

2

.

x−1

Имеем lim(x −1) = 0,

x→0

следовательно,

функция

x −1 бесконечно

x→1

1

мала в точке x =1. Тогда обратная ей функция

бесконечно велика

x−1

в этой точке (теорема 2.11). Так как lim(2x→1 x2 + 2) = 4 , то есть конечен,

то функция 2x2 + 2 ограничена в некоторой окрестности точки x =1. Тогда (см. теорему 2.15) получаем

2x2 + 2

1

lim

= lim (2x2

+ 2)

= ∞.

x −1

x

x→1

x→1

−1

Заметим, что обычно при вычислении подобных пределов запись

ведется с использованием символических равенств

1

= 0,

1

= ∞ (см.

∞

0

замечание к теореме 2.11).

2x2 + 2

lim(2x2 + 2)

4

Итак, lim

=

x→1

=

=

4 ∞ = ∞.

x −1

lim(x −1)

0

x→1

x→1

Пример 2.10.

45

1

+ 4

1

lim

+ 4

4

lim

x

=

x→1

x

=

= 4 0

= 0.

lim(x + 2)

∞

x→∞ x + 2

Пример 2.11.

x→1

1

1

x

2

−1

1

−

lim(1−

)

1

x2

lim

= lim

=

x→∞

x2

=

=1.

2

2

x→∞

2 + x2

x→∞

+1

lim(

+1)

1

x2

x2

Пример 2.12.

x→∞

1

1

x

2

+ 2x

+

0

lim

= lim

x2

x3

=

= 0;

x→∞

x

4

−3

x→∞

3

1

1−

Пример 2.13

x4

2

2

lim

x

+ 2x

= lim

1+ x2

=

1

= ∞.

2

x→∞

1− x

x→∞

1

1

0

− x

3

x

Первые два примера показывают, что для вычисления предела ра-

циональной функции при x → a ,

где точка a принадлежит множеству

определения функции, достаточно просто вычислить значение функции в точке a . Далее будет показано, что аналогичное правило предельного перехода справедливо не только для рациональных функций, но и для всех элементарных функций.

2.3. Непрерывность функции в точке.

Односторонняя непрерывность

Предположим, что функция y = f (x) определена в некоторой ок-

рестности X точки			a ,	(то есть a принадлежит области определения
функции).						y = f (x) называется непрерывной в
	Определение 2.13.			Функция
точке a , если предел функции при x → a равен ее значению f (a).
	( f (x) непрерывна в точке a ) (lim f (x) = f (a))								(2.20)
						x→a
	Замечание. Если это определение записать подробно с использова-
нием	ε	и	δ ,	и	заменить		при	этом	неравенства
0 <| x − a |<δ, | f (x) − f (a) |< ε							соответственно		условиями
x Rδ (a) ‚		{a},	f (x) Rε (a) ,			то получим определение непрерыв-

ности на языке окрестностей.

46

Используя понятие односторонних пределов (опр. 2.5, 2.4), можно переформулировать определение непрерывности так:

Определение 2.14. Говорят, что функция y = f (x) непрерывна в

точке a, если в этой точке односторонние пределы существуют, равны и их значение совпадает со значением функции в точке a, то есть, выполнены равенства

f (a −0) = f (a + 0) = f (a)

(2.21)

При доказательстве многих теорем используется необходимое и достаточное условие непрерывности, сформулированное на языке бесконечно малых.

Обозначим x = x −a и назовем x приращением аргумента в

точке a (при переходе к точке a). Обозначим y = f (x) − f (a) и назовем y приращением функции f (x) в точке a, соответствующим

приращению аргумента x .

Теорема 2.17. (Необходимое и достаточное условие непрерывно-

сти на языке бесконечно малых). Функция, определенная в окрестно-

сти X, (a X)	называется непрерывной в точке a, если при стрем-
лении к нулю x,	y также стремится к нулю.

lim y → 0

x→0

Доказательство. Действительно, пусть функция f (x) по определению 2.13. Тогда согласно равенству (2.20)

lim f (x) = f (a).
x→a
Отсюда получим, что
(lim f (x) − f (a) = 0) (	lim | f (x) − f (a) |= 0).
x→a	( x−a)→0

(2.22)

непрерывна

Используя обозначения приращения аргумента и приращения функции, перепишем последнюю формулу в виде равенства (2.22). Необходимость доказана. Проведя эти же рассуждения в обратном порядке, докажем достаточность.

Иначе говоря, функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Отметим, что в некоторых учебниках это необходимое и достаточное условие приводится в качестве определения непрерывности функции

вточке.

Втом случае, когда функция определена на промежутке (a − h,a]

(или [a,a + h) ), где h > 0 и значение соответствующего одностороннего

47

непрерывна в точкеa, то её график

предела равно f (a), то говорят об односторонней непрерывности функции в этой точке.

Определение 2.15. Функция			y = f (x), определенная на проме-
жутке (a − h,a]	(или [a,a + h) )		называется непрерывной слева (не-
прерывной справа), если
lim	f (x) = f (a)	( lim f (x) = f (a))
x→a−0			x→a+0

Очевидно, что функция, определенная в окрестности X, (a X)

непрерывна в точке a тогда и только тогда, когда она непрерывна слева и непрерывна справа в этой точке.

Отметим также, что, если f (x) не имеет разрыва в точке (a; f (a)) .

2.3.1. Свойства функций, непрерывных в точке.

Непрерывность элементарных функций

Теорема 2.18 (о сохранении знака). Если функция f (x) непре-

рывна и отлична от нуля в точке a , то существует достаточно малая ок-

рестность точки a в которой функция f (x) сохраняет тот же знак, ко-
торый она имеет в точке a .		f (x) непрерывна в точке a . Тогда
Доказательство. По условию
по определению 2.13	lim f (x) = f (a) , то есть, для любого ε > 0 най-
дется такое δ > 0 ,	x→a	x Rδ (a) выполняется неравенство
	что для всех

	| f (x)− f		(a)|< ε , т.е. f (a)−ε < f (x)< f (a)+ε .							Пусть f (a)> 0 . выбе-
	рем ε =		1		, тогда из последнего неравенства для всех x Rδ (a) зна-
		2 f (a)
	чение f (x)			> f (a)−ε = f (a)−		1	=	1	> 0	. Таким образом в δ -
						2 f (a)		2 f (a)

окрестности точки a функция сохраняет свой положительный знак, что и требовалось доказать.

Теорема 2.19 (о непрерывности суммы, произведения, разно-

сти).	Если функция	f (x) и g(x) непрерывны в точке a ,	то в этой
точке	непрерывны	и функции Cf (x), где (C = const) ,	f(x)+g(x),

f (x) f (x) g(x) , g(x)

) При этом последняя функция будет непрерывна

48

при условии g(a) ≠ 0.

Доказательство. Доказательство теоремы основывается на формулах (2.14), (2.15) и на определении (2.13) непрерывности функции в точке. Например,

lim[ f (x)g(x)] = lim f (x) lim g(x) = f (x)g(x),
x→a	x→a	x→a
отсюда сразу следует непрерывность функции f (x)g(x) в точке a .
Приведем без доказательства следующие важные теоремы.
Теорема 2.20 (о	непрерывности сложной		функции). Пусть
y = f (u), u =ϕ(x) . Если функции ϕ(x) и f (u)			непрерывны в соот-
ветствующих точках	a и b =ϕ(a), то сложная функция			f (ϕ(x)) не-
прерывна в точке a .
Теорема 2.21 (о непрерывности обратной функции).				Если функ-

ция y = f (x) взаимно-однозначна в некоторой окрестности точки a и непрерывна в точке a , то обратная функция x =ϕ( y) непрерывна в соответствующей точке b = f (a).

Теоремы настоящего пункта лежат в основе методов исследования

функций на непрерывность. Рассмотрим, например, функцию xn при любом натуральном n . В силу формулы (2.18) в любой конечной точке a для нее имеем

lim xn = (lim x)n = an ,

x→a x→a

откуда следует непрерывность xn в любой точке числовой оси. Но тогда на основании теоремы 2.19 можно утверждать, что целая рациональная функция тоже непрерывна в каждой точке числовой оси, а дробная рациональная функция непрерывна во всех тех точках x , в которых ее знаменатель не обращается в ноль. Таким образом, всякая алгебраическая рациональная функция непрерывна в любой точке, принадлежащей её области определения.

Можно показать, что этим свойством обладает не только алгебраическая рациональная функция, но и все явные алгебраические и все простейшие трансцендентные функции. Из этого факта и теорем настоящего пункта, вытекает следующая теорема.

Теорема 2.22. Любая элементарная функция непрерывна в каждой точке области определения.

Действительно, любая элементарная функция получается из явных алгебраических и простейших трансцендентных функций в результате некоторой последовательности алгебраических операций и конечного

49

числа взятия функции от функции. Любая алгебраическая операция над непрерывными функциями также приводит к функции, непрерывной в каждой точке ее области определения (см. теорему 2.19). Операция взятия непрерывной функции от непрерывной также дает в результате непрерывную функцию (см. теорему 2.20). Таким образом, на каждом этапе той последовательности операций, в результате которой получается рассматриваемая элементарная функция, непрерывность сохраняются. Отсюда и вытекает справедливость теоремы.

2.3.2. Вычисление пределов непрерывных функций

Если функция f (x) непрерывна в точке a, то согласно (2.13)

lim f (x) = f (a).

x→a

Так как a = lim x , то эту формулу можно переписать так:

x→a

lim f (x) = f (lim x).		(2.23)
x→a	x→a

Последняя формула показывает, что при отыскании предела непрерывной функции можно совершать предельный переход под знаком этой функции. Иными словами, символы предела и непрерывной функции можно менять местами. Таким образом, если заранее известна непрерывность функции f (x) в точке a , то формула (1.23) выражает общее

правило предельного перехода.

Так как все элементарные функции непрерывны в каждой точке области определения ( теорема 2.22), то имеет место следующее правило предельного перехода.

Если a принадлежит области определения элементарной функции f (x) , то для отыскания предела этой функции при x →a достаточно

вычислить значение функции при x = a; это значение и будет искомым пределом.

Приведем примеры вычисления пределов.

Пример 2.14.

lim			1			=	1		=1;
							2 −1
x→2			x −1
Пример 2.15.	x + 2						−2 + 2
										= 0;
lim sin					= sin				sin 0
x→−2	x +1						1− 2
Пример 2.16.
lim lg		x3 −3 = lg					22 −3 = lg1 = 0.
x→2

50

В том случае когда, точка a не принадлежит множеству определения функции f (x) , для отыскания предела этой функции при x →a можно пытаться использовать свойства бесконечно малых и бесконечно

0 ∞

больших функций. Если при этом возникает неопределенность 0 , ∞

или иная, то для вычисления предела требуется использование специальных приемов.

В простейших случаях для избавления от неопределенности может оказаться достаточным выполнения элементарных алгебраических преобразований.

Пример 2.17.

	x3	−1			(x −1)(x2 + x +1)		2	2
lim				= lim		= lim(x		+ x −1) =1	+1−1 =1.
	x	−1			x −1
x→1				x→1		x→1

Иногда существенно облегчает задачу избавления от неопределённости использование эквивалентных бесконечно малых.

2.4.Сравнение бесконечно малых функций.

Эквивалентные бесконечно малые

Пусть при x →a функции α =α(x)

(см.п.2.2.3).

Вычисление предела

lim α(x)

x→a β(x)

и β = β (x) бесконечно малы

,

(2.24)

называется сравнением этих двух бесконечно малых друг с другом. Здесь обычно пользуются следующей терминологией:

1. Если предел (2.24) равен нулю, то говорят, что α(x) бесконечно малая более высокого порядка, чем β(x) ; в этом случае пишут

α(x) = 0(β(x)) (читается: "α(x) равно 0 - малое от β(x) ").

2.Если предел (2.24 ) равен ∞ (или, в частности, +∞ или −∞), то говорят, что β(x) - бесконечно малая более высокого порядка, чем

α(x) .

3.Если предел (2.24) равен любому числу A ≠ 0, то говорят, что

бесконечно малые α(x) и β(x) - одного порядка.

4.Если предел (2.24) не существует, то говорят, что бесконечно ма-

лые несравнимы.

51

Важным частным случаем бесконечно малых функций одного порядка являются эквивалентные бесконечно малые.

Определение 2.16. Функции α(x) и β(x) , бесконечно малые при x → a , называются эквивалентными бесконечно малыми, если

lim α(x) =1.

x→a β(x)

В этом случае пишут: α(x) β(x) при x →a .

Докажем три важные теоремы о сравнении бесконечно малых.

Теорема 2.23 (о сравнении произведения ). Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждый из сомножителей.

Доказательство.		Если при x →a функции α =α(x) и β = β(x)
- бесконечно малы то,		сравнивая их, получим
lim	α(x) β(x)			= lim β(x) = 0;
		α(x)
x→a				x→a
lim	α(x) β(x)			= limα(x) = 0.
		β(x)
x→a				x→a

Отсюда и следует, что α(x)β(x) = 0(α) и α(x)β(x) = 0(β(x)) .

Теорема доказана.

Теорема 2.24 (о замене бесконечно малых эквивалентными).

Если функции α1 (x),α(x),β1 (x),β(x) бесконечно малы при x → a, причем α1 (x) α(x),β1 (x) β(x) , то

lim

α1 (x)

= lim

α(x)

(2.25)

x→a

β

(x)

x→a

β(x)

Доказательство.

1

Для

доказательства выполним преобразования

α1 (x)

α1 (x)

β(x)

α(x)

lim

= lim

=

β (x)

β(x)

x→a

β (x)

x→a

α(x)

1

1

lim

α1 (x) lim

β(x)

lim

α(x)

= lim

α(x) .

β

(x)

β(x)

x→a

α(x)

x→a

x→a

x→a

β(x)

1

Теорема 2.25 (необходимое и достаточное условие эквивалент-

ности). Для того, чтобы функции α(x) и β(x) были при x → a эквивалентными бесконечно малыми, необходимо и достаточно, чтобы разность α(x) − β(x) была бесконечно малой более высокого порядка, чем

52

α(x) или β(x) .

Доказательство.			Необходимость.			Пусть α(x)		β(x) при x → a .
Тогда	α(x) − β(x)			β(x)) =1−lim			β(x) =1
lim			= lim(1−					−1 = 0;
x→a	α(x)		x→a	α(x)		x→a	α(x)
lim		α(x) − β(x) = lim(α(x) ) = lim				α(x) −1 =1−1 = 0,
x→a		β(x)	x→a β(x)		x→a	β(x)

откуда следует, что α(x) − β(x) = 0(α(x)) и α(x) − β(x) = 0(β(x)).

Достаточность. Пусть, например, α(x) − β(x) = 0(α(x)) , тогда

	lim	α(x) − β(x) = 0
	x→a	α(x)
		èëè
lim(1−	β(x)) = 0 lim		β(x)	=1 α(x)	β(x).
x→a	α(x)	x→a	α(x)

Теорема 2.24 играет большую роль при вычислении пределов. Из формулы (2.25) следует, что если функция, предел которой разыскивается, имеет множителем или делителем некоторую бесконечно малую, то эту бесконечно малую можно заменить любой эквивалентной ей бесконечно малой.

С теоремой 2.25 связан важный вопрос о приближенном представ-

	лении одной функции посредством другой. Пусть α(x) β(x) ,										если
	x → a . Положим приближенно
					α(x) ≈ β(x).			(2.26)
	Абсолютная и относительная погрешности этого равенства соот-
	ветственно будут		α(x) − β(x)		и	α(x) − β(x)	.	Но (α(x) − β(x)) → 0			при
						α(x)			α(x)−β(x)	→ 0
	x → a , а в соответствии с
				теоремой (2.25),				и			при
									α(x)

x → a. Таким образом, при x →a стремятся к нулю абсолютные и относительные погрешности приближенного равенства (2.26). Следовательно, для значений x , достаточно близких к a , это приближенное равенство будет осуществляться со сколь угодно большой относительной точностью.

Таким образом, приходим к следующему выводу: если функции α(x) и β(x) при x → a являются эквивалентными бесконечно малыми, то для значений x , достаточно близких к a , любую из этих функций

53