можно приближенно заменить другой со сколь угодно высокой относительной точностью.

2.5. Замечательные пределы

Для отыскания пар эквивалентных бесконечно малых особое значение имеет так называемый "первый замечательный предел"

Теорема 2.26 (первый замечательный предел).

lim

sin x

=1.

x→0

x

y

Доказательство.

Возьмем окружность единич-

1

C

ного радиуса (см. рис.2.2) с центром в точке 0 прямо-

угольной системы координат Oxy

и обозначим через

α

A X

A точку с координатами (1,0). Обозначим через B

O

точку, в которую отобразится точка A при повороте на

ориентированный угол

α

вокруг

начала координат,

Рис.2.2

считая, что

0 <α < π .

2

AC,

Пусть

перпендикуляр

восстановленный в

точке A к OA, пересекается с продолжением OB в точке С.

Тогда площадь треугольника OAB равна

1

sinα , площадь сектора

2

1

AOB равна

α

, а площадь треугольника

AOC равна 1tgα, так что

2

2

1

1

1

1

sinα <

α <

tgα. Откуда, поделив на

sinα > 0, получим

2

2

2

2

1 < sinαα < cos1α .

Перейдя к неравенствам между обратными величинами, найдем

cosα < sinαα <1.

Последнее неравенство установлено для промежутка 0 <α <π/2. Легко видеть, что замена α на −α не нарушает этого неравенства, откуда следует справедливость его и на промежутке −π/2 <α < 0 . В силу

непрерывности функции cosα, limcosα = cos 0 =1, и тогда по теоре-

α→0

ме 2.9 после перехода к пределу получаем (если заменить α на x) следующий результат

54

lim

sin x

=1.

(2.27)

x→0

x

x → 0 .

Это означает, что sin x

x при

Вычислим еще один весьма полезный предел

lim

ln(1+ x)

=1.

x→0

x

Так как символы предела и непрерывной функции можно менять

1

x →0), в си-

местами (см. пункт 2.3.1), то, положив y = x ( y → ∞ при

лу определения числа e имеем:

y

ln(1

+

x)

1

1

lim

= lim(ln (1+ x) x)

= lim(ln (1+

)

) =

x

x→0

x→0

y

y→∞

y

(1+

1

)

= ln e =1.

= ln lim

y

y→∞

Итак,

ln(1+ x)

lim

=1,

(2.28)

x→0

x

откуда следует, что ln(1 + x) x при x → 0.

Под вторым "замечательным пределом" обычно понимают уже знакомый нам предел

1

lim(1+ x) x = e. (2.29)

x→0

Пример 2.18.

lim

sin 2x

= lim

2x

=

1

,

ln(1+ 6x)

3

x→0

x→0

6x

так как sinα α при α →0, ln(1 + β)

β при β → 0 (здесь α = 2x ,

β = 6x ).

x2

Пример 2.19.

При x →a функции α =1−cos x и

β =

беско-

2

нечно малы. Используя результаты (2.15) и (2.27), находим

lim

α

= lim

1−cos s

= lim

2sin

2 x

=

x2

x→0

β

x→0

x→0 x2 (1+ cos x)

2

55

	sin x 2			1		1
= 2 lim			lim		= 2		=1.
				1+ cos x		2
x→0	x		x→0

Отсюда в силу определения эквивалентности заключаем, что α и β - эквивалентные бесконечно малые.

Результат примера 2.19 означает, что при x →0 верна эквивалентность 1 − cos x x2 /2.

2.6. Разрыв функции. Классификация точек разрыва

Непрерывность функции f (x) в точке a означает выполнение в

этой точке равенства (2.20)

f (a −0) = f (a + 0) = f (a)

Введем теперь понятие о точках разрыва функции как о таких точках, в которых функция свойством непрерывности не обладает.

Определение 2.17. Конечную точку a называют точкой разрыва функции f (x) , если функция f (x) определена на множестве X ‚ {a} , где X некоторая окрестность точки a и в этой точке не выполняются условия непрерывности функции f (x) .

Пример 2.20. Рассмотрим функцию

1− x, åñëè x <1 f (x) = 2x − x2 åñëè x ≥1

Эта функция определена на всем множестве вещественных чисел. У любой точки, отличной от x =1, найдется окрестность в которой исходная функция элементарна (задана одним аналитическим выражением). Следовательно, во всех таких точках функция заведомо непрерывна (см. теорему 2.22). Единственная возможная точка разрыва - x =1. Для нее f (1−0) = 0, f (1+ 0) =1, f (1) =1, то есть, f (1−0) ≠ f (1+ 0). В этой точке

нарушается равенство (2.20). Следовательно, точка x =1 будет точкой разрыва этой функции.

Пример 2.21. Областью определения функции f (x) = x−12 будет

множество X = (−∞,2) (2,+∞) . Во всех точках, принадлежащих X , функция непрерывна как элементарная. Точка x = 2 не входит в область определения, следовательно, не существует f (2) . Поэтому равенство

(2.20) не может быть выполнено. По определению 2.18 x = 2 - точка разрыва данной функции.

Установлена следующая классификация точек разрыва. Определение 2.18. 1. Точка разрыва a функции f (x) называется

56

точкой разрыва 1-го рода, если оба односторонних предела f (a − 0) и f (a + 0) существуют и конечны. Разность f (a + 0)− f (a −0)= a f на-

зывается скачком функции		f (x) в точке a .
В частности, если	a f	= 0 , то a называется точкой устранимого
разрыва.
2. Точка разрыва a функции f (x) называется точкой разрыва 2-го
рода в том случае, если	по крайней мере один из односторонних преде-
лов f (a −0), f (a + 0)	бесконечен или не существует.

В частности, если по крайней мере один из пределов f (a − 0), f (a + 0) бесконечен, то a - называется точкой бесконечного

разрыва.

Замечание. Разрыв функции в точке устранимого разрыва можно убрать доопределив (или переопределив) функцию в указанной точке.

Для этого достаточно положить f (a) = f (a −0) = f (a + 0) .

à) y	á) y
1
	x
O 1	O

Рис.2.3

из данного примера x =1

Пример 2.22. Вер-

немся к примеру 2.20. В точке разрыва x =1 рассмотренной там функции оба односторонних преде-

	2	x	ла		конечны:	f (1−0) = 0,
			f	(1 + 0) =1,		причем	ска-
			чок		1 f =1 − 0 =1.		Сле-

довательно, для функции будет точкой разрыва 1-го рода, (см.2.3 а).

Пример 2.23. Функция f (x) =					1	терпит в точке x = 2	раз-
				x − 2
рыв. Это разрыв 2-го рода, причем бесконечный, так как
f (2 + 0)= lim		1			= +∞.
		x −	2
(x>2)
x→2
Здесь бесконечен и второй односторонний предел
f (2 −0)= lim		1			= −∞,
		x −	2
(x<2)
x→2

но для определения типа разрыва это несущественно (см.2.3 б).

57

2.6.1. Непрерывность функции на промежутке

Определение 2.19. Функция f (x)

называется непрерывной на не-

котором открытом промежутке X (конечном или бесконечном), если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Если X =[a,b] - замкнутый интервал, то в его граничных точках

aи b предполагается односторонняя непрерывность - правосторонняя

вточке a и левосторонняя в точке b. То есть должны быть выполнены соответственно равенства f (a +0) = f (a) и f (b − 0) = f (b).

Графиком функции, непрерывной на промежутке, является сплошная линия без разрывов; ее можно вычертить одним движением карандаша, не отрывая его от бумаги.

Сформулируем без доказательства достаточно очевидные теоремы, выражающие свойства функций, непрерывных на замкнутом интервале.

Теорема 2.27 (первая теорема Вейерштрасса). Функция непре-

рывная на замкнутом промежутке ограничена на нем.

Теорема 2.28 (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a,b], то найдется по край-

ней мере одна точка x1 [a,b] такая, что x [a,b] выполнено f (x1 ) ≤ f (x) и найдется по крайней мере одна такая точка x2 [a,b], что x [a,b] верно f (x2 ) ≥ f (x) .

Определение 2.20. Числа f (x1 ) = m и f (x2 ) = M называются со-

ответственно наименьшим и наибольшим значениями функции f (x) на

замкнутом интервале [a,b], если	x [a,b]	выполнено
m ≤ f (x) ≤ M .
Теорема 2.29 (первая теорема Больцано-Коши).		Если функция
f (x) непрерывна на замкнутом промежутке [a,b] и f (a) f (b) < 0,

то c (a,b) : f (c) = 0.

Точку x = c называют нулем или корнем функции f (x) .
Теорема 2.30 (вторая теорема Больцано-Коши).			Если функция
f (x) непрерывна на замкнутом	промежутке	[a,b]	и	в точках
x1,x2 [a,b] принимает значения	f (x1 ) = A и	f (x2 ) = B ,		то каково

бы ни было число C , заключённое между A и B, c (a,b) : f (c) = C. Следствие 1 к теореме 2.30. Если функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a,b], то на этом интервале она принимает по крайней мере один раз любое значение, заключенное между её наимень-

58