Основные свойства дроби
↔ad= bc;
;
Сложение/Вычитание
;
;
Умножение
;
;
Деление
;
;
;
Отношение, пропорция
; ↔
Любую бесконечную периодическую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби:
. (В знаменателе пишется столько же 9, сколько цифр в периодической части и столько же 0, сколько цифр между запятой и периодической частью)
Степень
(к – раз)
Свойства степени с целым показателем
;
;
= ; b≠0, n ͼ N;
= ;
;
; n ͼ N;
Формулы сокращенного умножения
(ab)2 = a22ab +b2
a2-b2=(a-b)(a+b)
(ab)3=a33a2b+3ab2b2
а3в3 = (a-b)(a2+ab +b2)
а3-в3 = (a-b)(a2+ab +b2)
;
Модуль числа и свойства
;
;
;
;
;
Преобразование арифметических корней
, a≥0, b≥0;
a≥0, nͼ N, m ͼ Z;
, a≥0, n,m ͼ N, n>1, m>1;
= ;
;
;
Освобеждение от иррациональности в знаменателе дроби
(
Свойства уравнений
Линейная функция
Квадратные уравнения
Если
Если
Если D<0, то решений нет.
Неполные квадратные уравнения
Если
Теорема Виета
Разложение квадратного трехчлена на множители
Тригонометрические уравнения
=0, -1≤a≤1;
0<a<1, x = (–1 ) k arcsin a + k , k
-1<a<0, x = (–1 ) k -1 arcsin a + k , k
Частные случаи:
cos x = a , |a|1; x = ± arccos a + 2k , k
Частные случаи:
Частные случаи:
Частные случаи:
Показательные уравнения
af(x)= ag(x)→f(x)=g(x), a>0,a≠1;
Виды:
1.af(x)=am→f(x)=m;
2.af(x)=1→af(x)=a0→f(x)=0;
2. af(x)=b,a>0,a≠1,b>0→f(x)=logab;
Логарифмические уравнения
Logaf(x)=logag(x)→f(x),a>0,a≠1;
Виды:
Logaf(x)=b→f(x)=ab;
Logaf(x)+ Logag(x)= Logah(x)↔f(x)g(x)=h(x)
→P(y)=0;
Logh(x)f(x)=b→
Logk(x)f(x)=logk(x)g(x)→
Неравенства
Линейные неравенства
ax<b→
Квадратные неравенства
ax2+bx+c>0,a>0→
ax2+bx+c0,a>0→
ax2+bx+c<0,a>0→
ax2+bx+c≤0,a>0→
Неравенства с переменной под знаком модуля
|f(x)|*|g(x)|↔f2(x)*g2(x), где *∈(>,<,≥,≤)
|f(x)|>g(x)↔
|f(x)|<g(x)↔
Иррациональные неравенства
равносильно системе
2. равносильно системе
3.равносильно совокупности систем:
и
Тригонометрические неравенства
Функция синуса:
Множества решений неравенства : есть
1.R, еслиa<-1;
2. если-1≤a<1;
(arcsin a + 2k; π- arcsin a +2k);
3.пустое множество , еслиa≥1
2) Множества решений неравенства sinx<a есть |
|
R, еслиa ≥1;
Если -1 <a ≤ 1,
(-- arcsina + 2k; arcsina + 2 k); -1 <a ≤ 1;
Пустое множество, еслиa ≤ -1
Функция косинуса:
cosx>aесть |
|
R , если a< -1;
(2 k - arccosa; 2 k + arccosa);
если-1 ≤ a< 1;
Пустое множество, еслиa ≥ 1
|
|
R,еслиa> 1;
(2 k + arccosa; 2(k + 1) - arccosa),если-1 <a ≤ 1;
Пустое множество, если a ≤ -1
Функция тангенса:
tgx>aесть |
|
tgx<aесть |
|
Функция котангенса:
ctgx>a есть |
|
(k; arcctga + k).
ctgx<aесть |
|
(arcctga + k; (k + 1))
Показательные неравенства
Еслиa>1, тоaf(x)>ag(x)→f(x)>g(x)
Если0<a<1, то af(x)>ag(x)→f(x)<g(x)
af(x) >c, a>0, a;
c>0, 0<a<1, тоf(x)<logac
c>0,a>1,тоf(x)>logac
c≤0 тоxϵR
af(x)>c, a>0, a;
c>0, 0<a<1, то f(x)>logac
c>0, a>1, то f(x)<logac
c≤0, то решений нет.
то
и
то
и
Логарифмические неравенства a>0, a
|
|
a>1 |
logaf(x) > k | ||
logaf(x) ≤ b |
f(x)≥ab | |
logaf(x) >logag(x) | ||
logaf(x) ≤ logag(x) |
logf(x)g(x)>logf(x)h(x)равносильно совокупности систем
и
Logf(x)g(x)≤logf(x)h(x) равносильно совокупности систем
и