Формулы преобразования произведения тригонометрических функций
|
= |
cos(α - β) - cos(α + β) |
2 |
|
= |
sin(α - β) + sin(α + β) |
2 |
|
= |
cos(α - β) + cos(α + β) |
2 |
Формулы приведения
sin(-x) = - sinxarcsin(-x) = -arcsinx
cos(-x) = cosx arcos(-x) = π-arccosx
tg(-x) = -tgxarctg(-x) = -arctgx
ctg(-x) = -ctgxarcctg(-x) = π-arcctgx
формула дополнительного угла
asinα + bcosα = где
sin = ;cos =
Значения тригонометрических функций
sinα = cosα = tgα = ctgα =
Арккосинус, арксинус, арктангенс
arcsin(x) =
arccos(x) = ;
arctg(x) = ;
arcctg(x) =
sin(arcsinx)=x
cos(arccosx)=x
tg(arctgx)=x
ctg(arcctgx)=x
Последовательность чисел
Арифметикалық прогрессия(an)
a1 –первый член ,…., an – n–й член,d=an+1-an=…=-разность прогрессии.
an = a1+(n-1)d. (формула n – го члена)
an = , (n>k);
an = ak+(n-k)d;
или(формула суммы перых n членов(an))
Геометрическая прогрессия (bn)
b1 –первыйй член ,…., bn – n ый член, d==…= - знаменатель прогрессии.
bn = b1q n-1, (формула n – го члена)
bn =;
=;
Сумма бесонечно убывающей геометрической прогресси при (<1).
;
Логарифм
Логарифм числа. Свойства логарифмов
logab ax= b; a logab = b, a>0, a
log a(bc) = logab + logac;
log a(b/c) = logab – logac;
loga(bc) = c logab;
log(ac)b = (1/c) logab;
logaa=1;
loga=;
logab = ;
loga1=0;
logambm = logab;
= ;
logab=
ПРОИЗВОДНАЯ
Производная некоторых функций
C’ =0, Cϵ R
(xn)’ = nxn-1, n ϵ Z
=
7.
8.
9. (
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Уравнение касательной к графику y = f(x)
Tg=-угловой коэффициент
Уравнение касательной определяется по формуле:
–точка пересечения (касания);
Промежутки возрастания и убывания заданной функции
Пусть функция y = f(x) непрерывна, определена и дифференцируема на промежутке Х и равенство (х)=0 выполняется для конечных чисел точек данного промежутка.
Решение неравенства показывает промежуток возрастания функции.
Решение неравенства показывает промежуток убывания функции.
Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функцией y = f(x) в промежутке [a;b]:
Находится .
Находим критическое точки решая уравнение .
Выясняем, принадлежит ли полученные критические точки промежутку [a;b].
Находим значения функции y = f(x) на концах отрезка [a;b]
Сравнивая полученные значения функции, определяем наибольшее и неименьшее значения.
ИНТЕГРАЛ
Неопределенный интеграл
Интегральные исчисления
Методы интегрирования
Метод замены переменных
Интегрирование по частям
Определенный интеграл
Применение определенного интеграла
для вычисления площади
а) Если
[a,b], то A=
б) Если
[a,b], то A=-
в) A=
г) Площадь кривой трапеций, ограниченной двумя линиями:
Применение интеграла для вычисления объемов тел вращения
Объем тела, полученного в результате вращения графика функции y=f(x), ограниченной линиями x=a и x=bвокруг оси Ох вычисляется по формуле:
V=
Объем тела, полученного в результате вращения графика функции y=f(x), ограниченной линиями y=cи y=dвокруг оси Оу вычисляется по формуле:
V=
Длина кривойy=f(x)в отрезке [a,b]
ГЕОМЕТРИЯ
ПЛАНИМЕТРИЯ
Теорема Фалеса
Основные свойства призвольного труегольника
Стороны: BC=a, AC=b,AB=c.
Периметр:P=a+b+c
Полупериметр:
Против большой стороны лежит больший угол.
Теорема косинусов:
;
;
;
Высоты:
Медианы:
G – центр тяжести
Биссектрисы:
Пересечение биссектрис есть центр вписанной окружности.
R,r – радиусы описанной и вписанной окружностей
Площадь произвольного треугольника
;
Равносторонний треугольник
h=m=l=
Прямоугольный треугольник
Частные случаи:
Равнобедренный треугольник
AC=BC
AH=HB
Выпуклый многоугольник
Пусть n–число сторон многоугольника.
Сумма внутренних углов многоугольника:
(n – 2);
Сумма диагоналей:
;
Площадь правильного мнгоугольника:
S =
где а – сторона правильного многоугольника.
Произвольный выпуклый четырехугольный
;
;
Параллелограм
;
;
;
Прямоугольник
P=2a+2b;
S=ab=;
Ромб
P=4a;
S=ah=;
AG=;
4.
Квадрат
Диагональ:;
Площадь:;
Трапеция
AM=MD, CN=NB
m=,
S=
Окружность. Круг. Сектор. Кольцо
O – центр окружности
MN – диаметр окружности
AB – хорда окружности
d – диаметр окружности
r- радиус окружности
RK - секущая окружности
TQ – касательная окружности
Длина хорды: l=2rsin
ab=cd
AC=BC
A
AB
Площадь круга:S=
Длина окружности:C=2
Длина дуги: l= , где - центральный угол
Площадь сектора:
Площадь сегмента:)
Площадь кольцо:
СТЕРЕОМЕТРИЯ
Призма
Площадь поверхности и объем призмы
|
Наклонная призма |
Прямая призма |
Боковая поверх. |
где перпенд.сеч, l- длина бок.ребра |
где осн, Н - высота |
Полная поверх. |
= |
= |
Объем |
V=, Где -перпенд.сеч . |
V=, Где -осн. призмы,Н - высота |
Параллелепипед
Прямой параллелипепипед
Боковое ребра перпендикулярны основанию
Боковое грани – прямоугольники
Основания – параллелограммы
Прямоугольный параллелепипед
Все диагонали равны
V=abc
Куб
Объем куба: V=,где а – длина ребра.
Полная поверхность:S=6
Диагональ:d=a
Пирамида
- двугранный угол при основании
- угол наклона ребра к плоскости основания
- двугранный угол при боковым ребре
−высота
l - боковое
m - апофема
r,R – радиусы вписанной в основание и описанной около основания окружностей соответственно.
Площадь поверхности и объем
произвольной пирамиды
Полная поверхность:
Объем:
Для правильный пирамиды апофема.
Тетраэдр
где а – сторона тетраэдра;R,r – радиусы описанной около тетраэдра и вписанной в тетраэдр сфер соответственно.
Усеченная пирамида
Площадь поверхности и объем усеченной пирамиды
Для правильной усеченной пирамиды:, где периметры оснований,- апофема
Полная поверхность: +
Объем:
Если высота меньшей пирамиды, абольшей, то
.
Цилиндр
Боковая поверхность: .
Полная поверхность:=+=
Объем цилиндра:V=h=
Конус. Усеченный конус
Площадь поверхности и объем конуса
|
Конус |
Усеченный конус |
Боковая поверх. |
где L – образующая усеч.конуса | |
Полная поверх. | ||
Объем |
, где –площади оснований |
Угол развертки конуса:
Шар. Сфера
Если расстояние секущей плоскости от центра шара равно d, то r=.
Площадь сферы: S=4
Oбъем шара:
Части шара
Площадь сегментной поверхности: |
Площадь полной поверхности:. |
Площадь боковой поверхности: |
Объем: |
Объем:
|
Объем: |
ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
На плоскости
Расстояние от точки ) до начала координат:
Расстояние между )и):
Точка С,которая является серединой отрезка АВ, где A)и B), имеет координаты (
Точка D, которая делит отрезок АВ в отношении
=
Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки ) и):
=
Расстояние от точки A(до прямой ax+by+c=0 находится по формуле:
d=
Пусть :y=и:y=
Если и, то прямое совпадают;
Если но, то прямые параллельны;
Если , то прямые пересекаются;
Если то прямые перпендикулярны.