472	Час т ь 11. Мониторинг и защита окружающей среды

Глава 16 АНАЛИЗ РИСКА

16.1. Начальные nоложения анализа риска

Принимать решения приходится во всех областях человеческой

деятельности. В настоящее время все чаще возникает потребность

в принятии сложных решений, последствия которых бывают весьма

и весьма весомы. В связи с этим целесообразно рассмотреть неко­

торые условия, которые формализуют этот процесс и придают ре­ шениям большую надежность.

До недавнего времени превалировало мнение, что в инженерном деле риск должен быть исключен принципиально. Однако более вни­ мательное рассмотрение вопроса позволяет прийти к выводу, что

именно в инженерной сфере деятельности риск часто неизбежен и

должен учитываться. Поэтому нельзя закрывать глаза на существо­

вание риска, а следует находить решения, исключающие элементы

чрезмерного риска.

Термин <<рисК>> заимствован из итальянского языка и означает опасность, угрозу. Первоначально термин <<риск>> применялея в ком­

мерции, причем в этом случае противопоставлялись возможные по­

тери при неудаче какого-либо сопряженного со случайностью пред­ приятия и значение возможного выигрыша. Затем это понятие пере­ шло в другие области. Точное определение риска, пригодное для всех случаев, едва ли возможно. Поэтому в настоящее время встре­

чается различное понимание термина <<рИСК>>, и в этот термин иногда

вкладывают весьма отличающиеся друг от друга содержания. Одна­

ко общим является то, что риск обусловливает неуверенность, про-'

изойдет ли нежелательное событие. Такой недостаток информации

создает ситуацию принятия решений в условиях недетерминирован­

ных параметров.

С понятием риска часто связывается представление о возмож­ ных событиях с тяжелыми последствиями и потерями. Отсюда сле­ дует точка зрения, что такого события следует избежать любой

ценой или, по крайней мере, снизить до минимума его отрицатель­

ные последствия. При ожидаемых потерях, связанных с жизнью и

здоровьем, это представление особенно важно, и оно предельно ясно

формулируется в соответствующих инструкциях, например, по тех­

нике безопасности. Снижение отрицательных последствий отобра­ жено в методиках когортных исследований в клинической эпидеми-

Г л а в а 16 Анализ риска

473

ологии, а также в комплексных медико-экологических исследовани­

ях, которые имеют основной целью установление причинно-следст­ венных связей между факторами окружающей среды и здоровьем

(заболеваемостью) населения.

Следует со всей определенностью сказать, что полной свободы

от риска, несмотря на самые большие затраты, не существует. Од­

нако, например, техническим задачам далеко не всегда сопутствуют

такие отягчающие обстоятельства. Ущерб вследствие решения, при­

нятого с учетом риска, может оказаться весьма малым по сравнению

с затратами на то, чтобы избежать такого ущерба.

Поскольку в технике существенную роль играют количественные оценки событий, А, то определение риска должно учитывать как

оценку (в той или иной форме) риска, так и оценку возможности его

наступления Р. Диапазон принадлежности этих параметров может быть весьма широкот экономических до этических ценностей. От­

сюда следует, что риск R можно описать выражением вида

R =АР.

(16.1)

Риск в общем случае подразделяется на две большие группы:

1) риск для материальных ценностей; 2) риск для жизни или здоро­

вья (рис. 16.1 ). Каждой группе присуще свое представление риска.

При угрозе материальным ценностям последствия (значения оцен­

ки) риска часто представляют в денежном выражении. Если различ­

ные последствия имеют одинаковые денежные выражения, то для

сравнения последствий достаточно рассматривать соответствующие

вероятности их наступления.

Риск

Тиn угрозы

Ущерб

Пара­

метр

Рис 16 1 Структура риска nри nринятии технических решений

474	Час т ь 11 Мониторинг и защита окружающей среды

При риске, связанном со здоровьем, последствия могут быть час­

тично оценены количественно в таких категориях, как простой в ра­

боте или расходы на оплату подменяющего персонала и т.п. При

риске, связанном с летальным исходом, количественные оценки пос­

ледствий в большинстве случаев отсутствуют. Тем не менее при су­

ществовании угрозы жизни люди почти всегда продолжают работать.

Особые проблемы возникают при угрозе и материальным цен­

ностям, и людям одновременно, и желательно меру такого риска

сравнить с мерами других рисков. При этом целесообразно выразить

риск в векторном виде:

R = Aq,

(16.2)

где q - соответствующая составляющая вероятности наступления

события. Поэтому перемножение в правой части (16.2) следует про­

изводить покомпонентно.

Как уже говорилось, риск может быть явно связан с факторами, которые не поддаются учету. Так, практически невозможно оценить

эстетический вред, наносимый построенными сооружениями уни­

кальному ландшафту. В этом случае требуется особый порядок рас­

смотрения проблемы (табл. 16.1 ), результатом которого становится

выявленный и, насколько возможно, количественно описанный риск.

	Таблица 16./
Стадии рассмотрения nроблемы	Оnисание
Учет риска	Причины. Результаты. Информация
Оценка риска	Субъективная оценка Сравнение Мноrоцеле·
	вая оценка
Решение	Варианты Факторы, не nоддающиеся учету

Когда дело имеют только с угрозой материальным ценностям, а

возможный ущерб выражен количественно, то заключительная оценка относительно проста. При угрозе материальным ценностям и невозможности количественно выразить возможный ущерб нужно

этот ущерб оценить приблизительно и продолжать рассмотрение

проблемы на основе недостаточной информации.

Поскольку целесообразно идти на сколь угодно большие затра­

ты, чтобы устранить риск полностью, нужно в первую очередь оце­

нивать угрозу людям. При этом следует помнить, что субъективные

оценки тех или иных нежелательных событий сильно различаются.

Так, значения риска привлекательной деятельГJости обычно занижа­ ются. Риск события, на которое эксперту трудно или невозможно оказать влияние, наоборот, обычно nереоценивается. Риск события

Г л а в а 16. Анализ риска

475

катастрофического характера, как правило, тоже получает более вы­ сокую оценку. В общем, субъективные оценки не могут быть поло­

жены в основу технических решений. Сравнение данной рискован­

ной ситуации с возникавшими в прошлом аналогичными ситуациями

дает для оценки риска более надежные исходные предпосылки. Од­ нако проблема оценки этим не решается. Иногда, конечно, можно

довольствоваться требованием, чтобы допустимый риск был заведо­

мо ниже имевшего место в аналогичных ситуациях ранее. Но в дру­

гих случаях, особенно nри очень высоком уровне затрат, проблема

остается нерешенной.

Любой математический алгоритм оценки риска должен исходить из того, что установлен экономический эквивалент угрозы. Этот эк­

вивалент должен быть обоснован в том смысл~. что он соответствует затратам, которые общество при данных условиях может себе по­

зволить, чтобы предотвратить или уменьшить угрозу. Необходимо воспрепятствовать тому, чтобы, с одной стороны, ценой больших за­ трат был уменьшен и без того незначительный риск, а с другой - чтобы оставался большой риск, который можно было устранить при небольших затратах. Но установление экономического эквивалента еще не означает достижения успеха. Как правило, эквивалент тако­

го типа не удается получить без влияния субъективных факторов.

Тем не менее эти эквиваленты делают более ясным риск при при­

нятии решения и помогают лучше определить ответственность за

сделанную оценку.

В общем, процедура принятия решения с риском подразделяется на последовательную реализацию трех вариантов решениИ: с умень­ шением риска; с минимизацией риска; с огtтиl\!изацией риска.

16.2. Сравнение стеnеней риска

Границы оправданного риска при решении расчетных или экс­

плуатационных технических задач трудно рационально обосновать.

В этих случаях стараются использовать сравнение с риском в ана­

логичных ситуациях. При этом следует принимать в расчет наиболее неблагаприятный случай. В комплексных технических проблсмах не

ограничивают фантазию, пытаясь выявить любой крайне редкий ~tе­

ханизм повреждений и неполадок. Правда, рисуя себе нереа.hьные ужасные картины, необходимо постоянно опираться на здравый смысл. Установленный таким образом самое неблагаприятное собы­

тие нужно сравнить его по частоте проявления и по размеру оценки

с уже имевшими место аналогичными событиями. При этом необхо-

476	Час т ь IJ Мониторинг и защита окружающей среды

димо иметь в виду, что на частоту проявления событий влияют как

пространственная, так и временная протяженность этих событий. Кроме -:-ого, нужно учитывать продолжительность каждого события

и степень стабильности исходных параметров. Например, известно,

что риск летального исхода в народном хозяйстве существует на

уровне l0-6 и ниже на человека в год. Таким образом, при проекти­

ровании и эксплуатации технических устройств риск на уровне Io-6

на человека в год может быть принят допустимым при выполнении следующих требований к анализу риска:

•проблема риска проанализирована глубоко и всесторонне;

•анализ проведен до принятия решения и подтвержден имею­

щимиен данными в определенном временном интервале;

•после наступления неблагаприятного события анализ и за­

ключение о риске, полученные на основании имевшихся данных, не

меняются,

•анализ показывает, и результаты контроля все время под­

тверждают, что угроза не может быть уменьшена ценой оправдан­

ных затрат.

Приведенную оценку допустимого риска и указанные требова­

ния нужно выполнять строго и рассматривать как первый шаг к ко­

личественному сравнению В дальнейшем, когда будет накоплено

больше опыта, эта оценка может быть уточнена.

Исследования рекомендуют допустимый основной риск на уров­

не 1о-5 на человека в год. Однако это значение не следует рассмат­

ривать как оправданный предел - оно должно служить лишь осно­ вой относительной шкалы принимаемых решений. Из сказанного

также следует, что нецелесообразно задавать детерминированную

границу риска. Напротив, более приемлемыми параметрами являют­ ся вероятность Pv, отделяющая оправданный риск летального исхода от условно оправданного, и вероятность Р", отделяющая условно оп­ равданный риск, т.е соответствующий определенным условиям, от неоправданного риска. Условия, при которых вероятность риска ле­

тального исхода Р1 находится в диапазоне
рv < pl :( ри•	(!б 3)

как правило, обеспечиваются указанными выше четырьмя требова­

ниями к анализу риска Принимающий решения должен соблюдать

эти требования, соотнося изменяющийся риск, например, с повыше­ нием максимально достижимой эффективности, исключением не­

благоприятных сиrуаций и т.п. Для риска летального исхода зна­

чение вероятности оправданного риска Р0 принимаютравным 10-8,

Г л а в а 16 Анализ риска

477

а значение неоправданного рискаРи-равным 10-5. Отметим, что,

если речь идет исключительно о риске материальных потерь, метод

сравнения при оценке риска не вызывает сомнений. В этом случае

можно принимать решения, оценивая лишь экономический эффект.

16.3. Основная формальная структура nринятия решений

Ситуация принятия (выбора) решения содержит элементы, вли­

яющие как на саму процедуру, так и на качество решения. Факторы, влияющие на принятие решения, занимают диапазон от крайне

субъективных, определяемых осведомленностью лица, принимаю­ щего решение, и проявляющихся в ускоренном выборе или затяги­ вании решения, до таких объективных условий, как технические

данные, характеристики, модели, всевозможные вспомогательные

средства. Наблюдения показывают, что при принятии технико-эко­ номических решений часто исходят из интуиции и жизненного

опыта [1].

По затраченным для принятия решения средствам решения

можно разбить на три группы:

•эмпирические;

•опирающиеся на некоторые количественные сравнительные

оценки;

• принятые на основании построенной с исчерпывающей пол­ нотой модели.

Значение возможной ошибки (другими словами, риска принятия неоптимального решения) находится в обратной зависимости от сте­

пени точности описания задачи и затраченным на выбор решения

усилиям и является наибольшим при эмпирических решениях

Процесс принятия решения может быть описан в категориях сле­

дующих фаз:

•инициатива;

•описание проблемы;

анализ ситуации, постановка задачи;

•анализ имеющейся информации;

•дискретизация и комбинирование внешних условий;

•выработка альтернатив (и тем самым управление риском);

•расчет и оценка последствий;

•выбор рациональных альтернатив;

•Проверка результатов;

•оформление решения.

478	Час т ь 11 Мониторинг и защита окружающей среды

Ситуации принятия решения могут характеризоваться единст­

венной или множественными целями. К ориенrrированным на един­

ственную цель относятся решения, последствия которых могут быть описаны единственной, например финансовой, категорией парамет­

ров, таких как цена, затраты, прибыль или ущерб. При многоцеле­

вых решениях оценить и сравнить отдельные цели в единых универ­

сальных единицах нельзя.

Число реализаций решения получают, как правило, на основе конкретных данных о рассматриваемой системе или процессе. Для ситуации выбора технико-экономических решений часто характерна неопределенность имеющейся информации, которая может быть

следствием погрешности в определении параметра.

Принятие решения представляет собой выбор одного решения из некоторого множества рассматриваемых вариантов, т е. Е, Е Е. Наиболее часто встречается случай, характеризующийся конечным

числом вариантов (причем обычно не слишком большим) Е1, Е2, Е3,

... ,Е~> Em. Предполагается, что каждым вариантом Е, однозначно оп­

ределяется некоторый результат е,. Эти результаты должны допус­

кать количественную оценку. Для простоты оценки отождествляют

с соответствующими результатами, обозначая их тем же символом

е,. Задача состоит в поиске варианта с наибольшим значением ре­

зультата, т е. целью выбора является нахождение max е, При этом

предполагается, что оценки е, характеризуют такие, например, ве­

личины, как полезность, надежность, выигрыш (преимущества) и др.

Оценку затрат или потерь можнq исследовать путем минимизаuии

этих потерь, как это делается чаще, рассматривая отрицательные

значения полезности.

Выбор оптимального варианта решения производится с помощью критерия Е0:

(16.4)

Это правило выбора читается следующим образом множество

Е0 оптимальных вариантов состоит из тех вариантов Е,0, которые

принадлежат множеству Е всех вариантов и оценка е,0 которых мак­ симальна среди всех оценок е, Выбор оптимального варианта в со­

ответствии с критерием (16.4) не является, вообще говоря, одно­

значным, поскольку максимальный результат е, может достигаться

многократно. Необходимость выбирать одно из нескольких одинако­

во приемлемых решений на практике обычно не создает дополни­

тельных трудностей.

Г л а в а 16 Анализ риска

479

Рассмотренный случай принятия решений, при котором каждому

варианту решения соответствует единственное внешнее состояние

(и тем самым однозначно определяется единственный результат) и

который может быть назван случаем детерминированных решений, с точки зрения его практических применений является простейшим,

хотя и весьма частым Следует подчеркнуть, что детерминированные

решения несмотря на некоторую элементарность могут лежать в ос­

новании реальных процедур принятия более сложных решений.

В этих случаях каждому допустимому варианту решения Е, вслед­

ствие различных внешних условий могут соответствовать различные

внешние состояния (условия) F1 и результаты е,1 решениИ. Следую­

щий пример иллюстрирует это положение.

Пусть из некоторого материала требуется изготовить изделие,

долговечность которого при допустимых затратах невозможно опре­

делить. Нагрузки считаются известными. Требуется решить, какие

размеры должно иметь изделие. Варианты решений. Е1'- выбор

размеров из соображений максимальной долговечности, т.е. изго­

товление изделия с минимальными затратами в предположении, что

материал будет сохранять свои характеристики в течение длитель­

ного времени; Em - выбор размеров в предположении минимальной

долговечности; Е, - промежуточные решения. Условия, требующие

рассмотрения: F1 - условия, обеспечивающие максимальную дол­

говечность; Fn- условия, обеспечивающие минимальную долговеч­ ность; F, - промежуточные условия. Под результатом решения е,1

здесь можно понимать оценку, соответствующую варианту Е, и ус­

ловиям F, и характеризующую экономический эффект (прибыль),

полезность или надежность изделия. Обычно такой результат назы­

вается полезностью решения

Семейство решений описывается матрицей (табл. 16.2) Проек­

тировщик в этом случае старается выбрать решения с наилучшим

результатом, но так как ему неизвестно, с какими условиями он

столкнется, он вынужден принимать во внимание все оценки еч, со­

ответствующие варианту Е,. Первоначально сформулированная за­

дача максимизации rnax е, согласно критерию (16 4) должна быть

теперь заменена другой, учитывающей все последствия любого из

вариантов решения Е,

Чтобы прийти к однозначному и по возможности наивыгодней­

шему варианту решения даже в том случае, когда каким-то вариан­

там решений Е, могут соответствовать различные условия F1, вводят

подходящие оценочные (целевые) функции. При этом матрица ре­

шений llelfll сводится к одному столбцу. Каждому варианту Е,

480 Час т ь 11 Мониторинг и защита окружающей среды

приписывается, таким образом, некоторый результат е1,, характери­

зующий в целом все последствия этого решения					Результат в даль­
нейшем обозначается тем же символом е1,
					Таблица 16 2
	fJ	F2	Fз	F1	Fn
EJ	eJJ	е12	eJJ	eiJ	eln
Ez	ezJ	ezz	еzз	ezl	ezn
Е,	e,l	е,2	е,з	e,l	ет
Ет	eml	emz	етЗ	eml	emn

Процедуру выбора можно теперь представить по аналогии с при­

менением критерия (16 4) Однако возникает вопрос о смысле ре­

зультата е1, Если, например, последствия каждого из альтернатив­

ных решений характеризовать комбинацией из его наибольшего и

наименьшего результатов, то
е1, =mш е11 + max elf	(16 5)

'1

Наилучшии в этом смысле результат имеет вид

max е1, = max (mш е11		+ max elf)	(16 6)
l	'	1

Теперь решение можно вновь искать в соответствии с критерием

(16 4) Формируя таким образом желаемый результат, проектиров­

щик исходит из компромисса между оптимистическим и пессимис­

тическим подходами

Рассмотрим некоторые оценочные функции и соответствующие им исходные позиции, которые мог бы выбрать проектировщик

Оптимистическая позиция представляется следующим обра-

зом
max е1, = max (max е1,)	( 16 7)
1
Из матрицы результатов решений е11 табл	16 2 выбирается ва­

риант (строка), содержащий в качестве возможного следствия наи­

больший из всех возможных результатов В этом случае проекти­

ровщик становится на точку зрения азартного игрока, который де­

лает ставку на то, что <<Выпадет наивыгоднеиший случаЙ>> (в опре­

деленной степени со значительной вероятностью риска), и исходя

из этого, выбирает размеры изделия

Г л а в а 16 Анализ риска

481

Позиция нейтралитета имеет несколько отличный вид

		n
maxe" = max (_!_ L e,1J			(16 8)
,	,	п

/"}, 1

Проектировщик ис.ходит из того, что все встречающиеся откло­

нения результата решения от среднего случая допустимы, и с учетом

этого выбирает оптимальные размеры (в этом случае риск минима

лен)

Пессимистическая позиция представляется вьrражение'\1

max e,r = max (mш е)			(16 9)
l	l	1

Проектировщик исходит из того, что необходимо ориентировать­

ся на наименее благоприятный случай и приписывает каждому из альтернативных вариантов наихудший из возможных результатов

(риск получения <<некачественного>> результата максимален) После

этого проектировщик выбирает самый выгодный вариант, т е ожи­

дает наилучшего варианта в наихудшем случае Для каждого иного

внешнего состояния результат может быть только равным этому или

лучшиы

Позиция относительного пессимизма

mш e,r = mш max (max е,1			- е,1)	(16	10)
l	l 1	t

Для ка~Кдого варианта решения проектировщик оценивает поте­

ри, сравнивая результат с определенным по каждому варианту наи­

лучшим результатом, а затем из совокупности наилудших результа­

тов выбирает наилучший согласно соответствующей оценочной

функции

		Таб ztщa /6 3
Номер	Оценочная функция	Оценка решения
(16 9)	max mtn е,1	А= kS 018 ,

'1

(16 8)				11	А= k '\) ~( S~., + Smaxsn11n + S~,n)
		mал- L е11
			1
		1	n	1
			1
( l б lO)	mш тал (тах е11 - e"J				А = k vSmaxSm~n
	1	1		1
( 16 7)		max max е,1			А= kSm'"

1 1

482 Час т ь 11 Мониторинг н защита окружающей среды

Полученные результаты принятия решения по оптимистической

позиции и позициям нейтральной, пессимистической и относитель­ ного пессимизма сведены в табл. 16.3. Здесь показан пример выбора

параметра А при неизвестной величине S с использованием всех четырех оценочных функций. Получаемые результаты зависят толь­ ко от максимального Smax и минимального Smm значений; k - коэф­

фициент пропорциональности.

Предложенный ряд таких оценочных функций может быть про­

должен Некоторые из них получили достаточно широкое практи­ ческое применение. Так, если условия эксплуатации заранее неиз­

вестны, ориентируются обычно на наименее благоприятную ситуа­

цию Это соответствует оценочной функции (16.9). Однаконередко

используются также функции (16.8) и (16.10). Оценочная функция (16.7) до настоящего времени в технических приложениях приме­

нялась крайне редко.

Структура таблицы соответствует упорядочению по росту влия­

ния велиуины Smm (это влияние нарастает от строки к строке). При

этом выбор определяется исключительно позицией проектировщи­

ка, т.е на основе его личной профессиональной подготовленности,

производственного опыта и интуиции.

Влияние исходной позиции проектировщика на эффективность

решения можно интерпретировать графически. Простейшим явля­

ется изображение на плоскости. При рассмотрении для простоты

ограничимся случаем с двумя внешними состояниями (n = 2), при

т вариантах решения. Введем прямоугольную систему координат,

откладывая по оси абсцисс значения е11, соответствующие внешнему

состоянию F 1, а по оси ординат -	значения е12, соответствующие
состоянию F 2, причем i = 1, 2, ... , т. В этом случае каждый вариант
решения Е1 соответствует точке (е11,	е12), i = 1, 2, ... , т, на плоскости.

Точка с координатами (max е11, max е12) называется утопи­ ческой точкой (УТ). Смысл этого названия в том, что координаты всех точек (е11, е12), i = 1, 2, ... , т, соответствующих вариантам ре­

шений Е1, Е2,... , Em, не могут быть больше координат УТ, и УТ встре­

чается среди этих т точек только в том редком, идеальном случае,

когда существует вариант решения, дающий максимальный резуль­ тат для каждого из двух возможных внешних состояний. Аналогич­

ное значение имеет и так называемая антиутопическая точка

(АУТ), имеющая координаты (min е11, min е12)· координаты всех

точек (е11, е12), i = 1, 2, ... , т, соответствующих вариантам решений

Е1, Е2, ... , Em, не могут быть меньше координат точки АУТ. Отсюда

следует, что все т точек (е11, е12), i = 1, 2, ... , т, лежат внутри пря-

Г л а в а 16 Анализ риска

483

maxer2

1

mine,-2 1

е,

Рис 16 2 Поле выбора решений

моугольника, стороны которого параллельны координатным осям, а

противоположные вершинысуть точки УТ и АУТ. Такой прямо­

угольник называется полем выбора (полезности) решений

(рис. 16.2).

При сравнении вариантов решений (другими словами, при вы­

боре достаточно приемлемого риска) с точки зрения их качества ва­

риант Et называется не худшим, чем вариант Е1, если для соответ­
ствующих точек (е11,	е12) и (е;1, е12) выполняются неравенства е,1 >е11
и е12 > е12, причем Е,	считается лучшим, чем Е1, если хотя бы одно
из этих двух неравенств является строгим. Очевидно, что при таком

определении не любые два варианта решений допускают сравнение

в том смысле, что один из них оказывается лучше другого. (Вполне

возможен вариант, при котором для точек (е,1, е12) и (е11, е12), соот­

ветствующим Е1 и Е1, выполняются, например, неравенства е,1 > е11

и е12 < е12.) На математическом языке это означает, что на множестве

вариантов решений установлено так называемое отношение час­

тичного порядка. Это отношение частичного порядка обладает

рядом свойств, хорошо видных на примере рис. 16.2.

Выберем в поле полезности произвольную точку, которую будем

называть рассматриваемой точкой (РТ). С помощью прямых, парал­

лельных координатным осям, разобьем плоскость на четыре части и

обозначим эти части 1, 11, III, IV В рассматриваемом двумерном слу­

чае каждая из этих частей имеет вид прямоугольника. В случае про­

извольной равномерности (п > 2) эти прямоугольники превращают­

ся в так называемые конусы. Рассматривая положение точек поля

484	Час т ь !1 Мониторинг и защита окружающей среды

полезности относительно этих четырех конусов, можно в общем слу­

чае сказать следующее. Все точки из конуса I в смысле введенного выше частичного порядка лучше, чем РТ. Поэтому конус 1 называ­

ется конусом предпочтения. Соответственно все точки из конуса 111 хуже РТ, и область 111 называется антиконусом. Таким образом,

оценка качества точек из этих двух конусов в сравнении с РТ проста

и однозначна.

Оценка точек в конусах II и IV является неопределенной, вслед­

ствие чего эти конусы называют областями (конусами) неопреде­

ленности. Для этих точек оценка получается только с помощью вы­ бранного критерия Принятия решения. В случае т вариантов реше­

ний Е1, Е2, ... , Em и п внешних состояний F 1, F2, ... , Fn критерий при­

нятия решения можно представить в виде

шах К (е,1, е,2,... , em), i = 1, 2, ... , т,

(16.11)

или

(16.12)

Функция К п переменных характеризует соответствующий кри­ терий и задает одновременно оцеflочную функцию. Для анализа кри­ терия, полагая е,1 = х 1, е,2 == х2, ... , em = Xn, рассмотрим функцию К на всем п-мерном пространстве Rn. Тогда каждому значению дейст­

вительного параметра k посредством равенства К(х1, х2,... , xn) = k

ставится в соответствие некоторая гиперповерхность в пространст­

ве Rn, которая называется поверхностью уровня, соответствующей значению k

В двумерном случае можно предположить, что е, 1 == х1 = и, е,2 =

= х2 = v, отождествляя тем самым е, 1-ось с и-осью, а е,2-ось с и-осью.

Тогда с помощью равенства К(и, v) == k на плоскости (и, v) получа­

ется кривая, называемая линией уровня, соответствующей значе­

нию k. При фиксированном уровне k уравнение К(и, v) = k опреде­

ляет функциональную зависимость между переменными и и v. Эта зависимость называется функцией предпочтения. Рассмотрим, на­

пример, оценочную функцию (16.8). При е,1 =и и е,2 = v для т= 2

получается семейство функций предпочтения, зависящих от пара­

метра k: (и+ v)/ п = k. При графическом представлении последнее

выражение дает прямые, параллельные биссектрисе II и IV квадран­

тов плоскости (и, v).

Поскольку рассматриваемому критерию, в соответствии с кото­

рым путем оптимального выбора решения максимизируется среднее

Глава 16 Анализриска

485

оптимистическая

пессимистическая

нейтральная

111

u==e,1

Рис 16 3 Фун1щия предпочтения при принятии решениИ

значение всех возможных результатов, отвечает нейтральная пози­

ция лица, принимающего решение, то решение называется нейтраль­

ным, как и соответствующая функция предпочтения (рис. 16.3).

Выберем теперь на какой-либо линии уровня этого критерия про­

извольную РТ и проведем через нее <<Осевой кресТ», разбивающий

плоскость на описанные выше четыре квадранта - конус предпо­

чтения, антиконус, конусы неопределенности. Все точки из облас­ тей неопределенности, лежащие справа и выше этой линии уровня,

всмысле нашего критерия лучше точек, лежащих слева и ниже.

Сказанное справедливо и для функции предпочтения любого другого

критерия. Всякая функция (кривая) предпочтения объединяет все

точки фиксированного уровня; справа и выше ее располагаются все лучшие точки, т.е. точки более высокого уровня; а слева и ниже - худшего уровня, т.е. более низкого.

Если на основе какого-либо критерия получается кривая пред­

почтения типа штриховой (см. рис. 16.3), то такая кривая называ­

ется вогнутой. Под этим подразумевается, что в соответствующих ей областях неопределенности имеется меньшее число лучших

точек, чем при нейтральном критерии (16.8). Такая вогн.утая кривая

предпочтения характеризует пессимистическую исходную позицию.

Кривые предпочтения типа сплошной соответствуют оптимистичес­

кому подходу, поскольку на этот раз в сравнении с нейтральным критерием больше точек из областей неопределенности принадле­ жит к числу лучших. Эти кривые называются выпуклыми. Предель­

ный случай пессимистического подхода образуют, очевидно, гранич­

ные прямые квадранта I, а оптимистического - граничные прямые квадранта III, и чем ближе подходит кривая предпочтения к этим

граничным прямым, тем в большей степени соответствующий кри­

терий пр~дставляет пессимистическую или соответственно оптимис­

тическую точку зрения.