486	Час т ь 1! Мониторинг и защита окружающей среды

Если выбор оценочной функции отдается на усмотрение лица,

принимающего решение, то приходится считаться с возможностью

различных результатов для одного и того же решения. Таким обра­

зом, принятие решения не является чисто рациональным процессом.

Особая опасность возникает в тех случаях, когда оценочные функ­

ции выбираются интуитивно.

Всякое техническое или экономическое решение в условиях (со­

знательно или несознательно) неполной информации принимается

в соответствии с какой-либо оценочной функцией описанного выше

типа. Как только это положение представляется в явной форме, следствия соответствующих решений становятся более обозримы­

ми, что позволяет улучшить их качество. При этом оценочные функ­

ции всегда должны выбираться с учетом количественных характе­

ристик ситуации, в которой принимаются решения.

16.4. Классические критерии принятия решений

Минимаксный критерий (ММ-критерий) использует оценоч­ ную функцию (16.9), которая соответствует позиции крайней осто­

рожности (пессимистическая позиция). В этом случае надо ориен­

тироваться на наименее благоприятный случай и приписывать

каждому из альтернативных вариантов наихудший из возможных ре­ зультатов. После этого выбирается самый выгодный вариант, т.е.

ожидается наилучший результат в наихудшем случае [2]. Для каж­

дого иного внешнего состояния результат может быть только рав­

ным этому или лучшим.

При

	(16.13)
	(16.14)
справедливо соотношение
Е0 = {Е,0 1 Е,0 Е Е 1\ е,0 = max min еч},	(16.15)
1

где Zммоценочная функция ММ-критерия.

Таким образом, множество Е0 оптимальных вариантов состо­

ит из тех вариантов Е,0, которые принадлежат множеству Е всех

вариантов и оценка е,0 которых максимальна среди всех оценок

e1r = min е,г

1

Г л а в а 16 Анализ риска

487

Поскольку в области технических задач построение множества

Е вариантов уже само по себе требует весьма значительных усилий,

причем иногда возникает необходимость в их рассмотрении с раз­

личных точек зрения, условие Е10 Е Е включаются во все критерии.

Это условие говорит о том, что совокупность вариантов необходимо

исследовать возможно более полным образом, чтобы была обеспе­

чена оптимальность выбираемого варианта

Правило выбора (алгоритм) решения в соответствии с ММ-кри­

терием представляется следующим образом матрица решений lleчll

дополняется еще одним столбцом из наименьших результатов etr

каждой строки. Выбрать надлежит те варианты Е,0, в строках кото­ рых стоят наибольшие значения e,r этого столбца. Выбранные таким

образом варианты полностью исключают риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с результатом худ­ шим, чем тот, на который он ориентируется. Какие бы условия F1 ни

встретились, соответствующий результат не может оказаться ниже

Zмм· Данное свойство заставляет считать минимаксный критерий

одним из фундаментальных. В технических задачах минимаксный

критерий применяется чаще всего как сознательно, так и не­

осознанно.

Следует, однако, помнить, что предположение об отсутствии

риска может вызвать потери. Покажем это на примере (табл. 16.4).

Хотя вариант Е1 кажется с первого взгляда более выгодным согласно ММ-критерию, тем не менее оптимальным следует считать вариант

Е0 = {Е2}. Однако принятие решения по этому критерию может ока­

заться еще менее разумным, если состояние F 2 встречается чаще,

чем состояние F1, и решение реализуется многократно. Выбор ва­ рианта Е2, предписываемый ММ-критерием, позволяет избежать не­

удачного значения 1, реализующегося в варианте Е1 при внешнем

состоянии F1, и получить вместо него при этом состоянии немного лучший результат 1,1, но при этом в состоянии F2 теряют выигрыш

100, получая всего только 1,1 Этот пример показывает, что в много­

численных практических ситуациях пессимизм минимакснога кри­ терия может оказаться очень невыгодным.

				Таблица /б 4
Вариант решения	Оценка решения		е"	max е"
	ft	f2		1
Et	1	100	1
Ez	1,1	1,1	1'1	1'

488	Час т ь !1 Мониторинг и защита окружающей среды

При.менение ММ-критерия бывает оправданно, если ситуа­

ция, в которой прини.мается решение, характеризуется следу­

ющими обстоятельствами:

• о возможности появления внешних состояний F1 ничего не

известно;

•приходится считаться с появлением раз.{!ичных внешних со­

стояний F1;

• необходимо исключить какой бы то ни было риск, т.е. ни при каких условиях F1 не допускается получить результат меньший, чем

Zмм·

При построении оценочной функции Zмм (согласно ММ-крите­

рию) каждый вариант Е, представлен лишь одним из своих резуль­

татов e,r = min eiJ. Критерий Байеса-Лапласа (ВL-критерий), на-

i

против, учитыврет каждое из возможных следствий. Пусть р1	- ве-
роятность появления внешнего состояния Fг Тогда для ВL-критерия
можно записать

ZвL :::: max e,r:			(16.16)
n
e,r = L elfpl;			(16.17)
1 ~ 1
Е0 = {Е,0 1 Е,0 Е Е 1\ е,0 =
fl	n
:::: max L elJp1 1\ L р1		= 1}.	(16.18)
l	1 ~ 1
1 ~ 1
Таким образом, множество Е0	оптимальных вариантов состоит

из вариантов Е,0, которые принадлежат множеству Е всех вариантов n

и оценка которых е10 максимальна среди всех оценок e,r = L е,р1

1 ~ 1

1!

при условии, что L р1 = 1.

1 ~ 1

Соответствующий алгоритм выбора описывается следующим об­

разом: матрица решений lleчll дополняется еще одним столбцом, со­

держащим математическое ожидание значений каждой из строк.

Выбираются те варианты Е,0, в строках которых стоит наибольшее

значение e,r этого столбца. При этом предполагается, что ситуация,

Г л а в а 16 Анализ риска

489

в которой принимается решение, характеризуется следующими об­

стоятельствами:

• вероятности появления состояний F1 известны и не зависят

от времени;

•решение реализуется (теоретически) бесконечно много раз;

•для малого числа реализаций решения допускается опреде­ ленный риск.

При достаточно большом количестве реализаций среднее значе­

ние постепенно стабилизируется. Поэтому при полной (бесконеч­

ной) реализации какой-либо риск практически исключен.

Исходная позиция применяющего ВL-критерий оптимистич­ нее, чем позиция применяющего ММ-критерий, однако такая по­ зиция предполагает более высокий уровень информированности и

достаточно длинные реализации.

Критерий Сэвиджа (S-критерий) вводится соотношением вида

min e1r = miп	max (max e1r- elJ).					(16 19)
	1
С помощью обозначениИ
а11 = max е11 -			e1J;			(16 20)
	l
e1r = max а11	= max ( max е11			-	e1J)	(16.21)
l		1	l
формируется оценочная функция
Z s = miп e1r = miп [max (max				е11	- elJ)]	( 16.22)
l	'	1	'
и строится множество оптимальных вариантов решения
Ео = {Eto 1 Eto Е Е 1\			eto = miп etr}.			(16.23)

Следовательно, множество Е0 оптимальных вариантов состоит из тех вариантов Е10, которые принадлежат множеству Е всех вари­

антов и оценка е10 которых минимальна среди всех оценок etr·

При трактовке этого критерия определяемая соотношением

(16.20) величина а11 представляется как максимальный дополнитель­

ный выигрыш, который достигается, если в состоянии F1 вместо ва­

рианта Е1 выбирается другой, оптимальный для этого внешнего со­ стояния вариант. Можно, однако, интерпретировать величину aLJ и

как потери (штрафы), возникающие в состоянии F1 при замене оп­

тимального для него варианта на вариант Е1• Тогда определяемая

соотношением (16.21) величина представляет собой (при интерпре­

тации alJ в качестве потерь) максимально возможные (по всем внеш-

490	Час т ь II	Мониторинг и защита окружающей среды
ним состояниям Fl' j		= 1, 2, ... , n) потери в случае выбора варианта
Е1• Теперь,	согласно (16.9) и (16.10), эти максимально возможные

потери минимизируются за счет выбора подходящего варианта Е1•

Соответствующий S-критерию алгоритм выбора можно описать

следующим образом: каждый элемент матрицы решений lle11 ll вычи­

тается из наибольшего результата max еч соответствующего столб­

ца. Разности а11 образуют матрицу остатков llaчll Эта матрица по­

полняется столбцом наибольших разностей е1г. Выбираются те ва­

рианты Е10, в строках которых стоит наименьшее для этого столбца

значение. По выражению (16.22) оценивается значение результатов

тех состояний, которЬ1е вследствие выбора соответствующего рас­ пределения вероятностей оказывают одинаковое влияние на реше­

ние. С точки зрения результатов матрицы lleчll S-критерий связан с

риском, однако с позиции матрицы lla1jll рассматриваемый критерий

от риска свободен. В остальном в этой ситуации принятия решений реализуются те же условия, что и в случае использования ММ-кри­

терия.

Из требований, предъявляемых рассмотренными критериями к

анализируемой ситуации, становится очевидно, что вследствие их жестких исходных позиций они применимы только для идеализиро­

ванных практических решений. Если требуется слишком сильная

идеализация, можно одновременно применять поочередно различ­

ные критерии. После этого среди нескольких вариантов, отобранных

таким образом в качестве оптимальных, приходится волевым обра­

зом выделять некоторое окончательное решение Такой подход по­

зволяет, во-первых, лучше проникнуть во все внутренние связи про­

блемы принятия решений и, во-вторых, ослабляет влияние субъек­

тивного фактора.

Выбор решения по классическим критериям покажем на сле­ дующем примере. Пусть некоторую машину требуется подвергнуть проверке с приостановкой ее эксплуатации. Из-за этого приостанав­ ливается и выпуск продукции. Если же эксплуатации машины по­

мешает не обнаруженная своевременно неисправность, то это при­

ведет не только к приостановке работы, но и дополнительно к

поломке. Варианты решения таковы: Е1 - полная проверка; Е2 -

минимальная проверка; Е3 - отказ от проверки. Машина может на­ ходиться в следующих состояниях: F 1 -неисправностей нет; F 2 -

имеется незначительная неисправность; F3 - имеется серьезная

неисправность. Результаты включают затраты на проверки и устра­

нение неисправности, а также затраты, связанные с потерями в вы­

пуске продукции и с поломкой. Варианты решений приведены в

Г л а в а 16 Анализ риска

491

табл. 16.5. Согласно ММ-критерию (16.15), следует проводить пол­ ную проверку (Е0 = {Е1}). ВL-критерий в предположении, что все

состояния машины равновероятны (р1 = 0,33), рекомендует отка­
заться от проверки (Е0			= {Е1}).
						Таблица 16 5
Вариант			Оценки решения при
реше-	F,	F2	Fз		e,r,	равной
ни я
					max e,r		max е"
о про-				mш е,,		LetJPJ
верках				1	'		1
						1
				ММ-критерий		ВL-критерий
Е,	-20,0	-22,0	-25,0	-25,0	-25,0	-22,33
Е2	-14,0	-23,0	-31,0	-31,0		-22,67
Ез	о	-24,0	-40,0	-40,0		-21,33 -21,33

Применение S-критерия иллюстрирует табл. 16.6. Этим критери­

ем в качестве оптимальной рекомендуется минимальная проверка. Пример направленно выбран таким образом, чтобы каждый кри­ терий предлагал новое решение Неспределеннесть состояния, ко­

торое соответствует моменту проверки машины, превращается те­

перь в отсутствие ясности по выбору критерия. Поэтому целесооб­ разна проверка значений величин е1г для какого-нибудь критерия

на равенство (даже приблизительное) между собой как, например, е2г = 14 · 103 и е3г = 15 · 103 (см. табл. 16.6). Рекомендации такого

критерия выглядят менее убедительными.

						Таблица 16 б
	Вариант ре-			Оценки решения при
	шения о	F,	F2	Fз	e,r,	равнои
	Проверках
					max elf	mm e,r
					1	l
					S-критерий
	Е,	+20,0	0,0	+20,0
	Е?	+14,0	+1,0	+6,0	+14,0	+14,0
	Е1	о	+2,0	+15,0	+15,0

Поскольку различные критерии связаны с различными аспекта­

ми ситуации, в которой принимается решение, лучше всего для срав­

нительной оценки рекомендаций тех или иных критериев получить дополнительную информацию о самой ситуации. Если принимаемое

решение относится к большому числу машин с одинаковыми пара­

метрами, то целесообразно придерживаться ВL-критерия. Если же