1 Закон ньютона

Существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых материальные точки, когда на них не действуют никакие силы (или действуют силы взаимно уравновешенные), находятся в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

Всякое тело продолжает удерживаться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние.

С современной точки зрения, такая формулировка неудовлетворительна. Во-первых, термин «тело» следует заменить термином «материальная точка», так как тело конечных размеров в отсутствие внешних сил может совершать и вращательное движение. Во-вторых, и это главное, Ньютон в своём труде опирался на существование абсолютной неподвижной системы отсчёта, то есть абсолютного пространства и времени, а это представление современная физика отвергает. С другой стороны, в произвольной (скажем, вращающейся) системе отсчёта закон инерции неверен, поэтому ньютоновская формулировка была заменена постулатом существования инерциальных систем отсчета.

12.

Масса тела. Второй и третий законы Ньютона. Интерпритация 3 закона Ньютона.

Ма́сса — скалярная физическая величина

масса - мера инертности тела или мера гравитационных св-в тела

Инертность- свойство тела сохранять состояниеравномерного прямолинейного движения или покоя, когда действующие на негосилы отсутствуют или взаимно уравновешены. При действии неуравновешеннойсистемы сил инерция проявляется в том, что тело изменяет свое движениепостепенно и тем медленнее, чем больше его масса, являющаяся мерой инерциитела

второй закон

В инерциальной системе отсчёта ускорение, которое получает материальная точка с постоянной массой, прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил и обратно пропорционально её массе.

В инерциальной системе отсчета скорость изменения импульса материальной точки равна равнодействующей всех приложенных к ней внешних сил.

третий закон ньютона

Материальные точки взаимодействуют друг с другом силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, равными по модулю и противоположными по направлению:

Закон утверждает, что силы возникают лишь попарно, причём любая сила, действующая на тело, имеет источник происхождения в виде другого тела. Иначе говоря, сила всегда есть результат взаимодействия тел. Существование сил, возникших самостоятельно, без взаимодействующих тел, невозможно.

Интерпритация 3 закона Ньютона

требование сохранения полного импульса взаимодействующих полей и тел является физически более содержательной , чем формулировка в виде требования равенства силы действия и противодействия.

13.

Неинерциональные системы отсчета .Силы инерции. Центробежная сила инерции .Кориолисова сила инерции.

Неинерциа́льная систе́ма отсчёта — система отсчёта, к которой не применим первый закон Ньютона — «закон инерции», говорящий о том, что каждое тело, в отсутствие действующих на него сил, движется по прямой и с постоянной скоростью. Для согласования сил и ускорений в неинерциальной системе отсчёта, перечень действующих на тела сил можно дополнить силами инерции. Всякая система отсчета, движущаяся с ускорением или поворачивающаяся относительно инерциальной, является неинерциальной.

СИЛА ИНЕРЦИИ - векторная величина, численно равная произведению массы т материальной точки на её ускорение w и направленная противоположно ускорению. При криволинейном движении С. и. можно разложить на касательную, или тангенциальную, составляющую , направленную противоположно касат. ускорению, и на нормальную, или центробежную, составляющую, направленную вдоль гл. нормали траектории от центра кривизны; численно, ,где v - скорость точки,- радиус кривизны траектории. При изучении движения по отношению к инерциальной системе отсчёта С. и. вводят для того, чтобы иметь формальную возможность составлять ур-ния динамики в форме более простых ур-ний статики

Центробе́жная си́ла[1] — составляющая фиктивных сил инерции, которую вводят при переходе из инерциальной системы отсчёта в соответствующим образом вращающуюся неинерциальную. Это позволяет в полученной неинерциальной системе отсчёта продолжать применять законы Ньютона для расчёта ускорения тел через баланс сил.

Сила Кориолиса (по имени французского ученого Г. Г. Кориолиса) – одна из сил инерции, существующая в системе отсчета, вращающейся и проявляется при движении в направлении под углом к оси вращения.

Причина появления силы Кориолиса в кориолисовым ускорении. Для того, чтобы тело двигалось с кориолисовым ускорением, необходимо приложение силы к телу, равной F = ma, где а – кориолисово ускорения. Соответственно, тело действует согласно третьему закону Ньютона с силой противоположной направленности. F K =-ma. Сила, действующая со стороны тела, и будет называться силой Кориолиса.

При вращении диска, далеки от центра точки движутся с тем большей касательной скоростью, чем менее далекие. Если мы хотим переместить некоторое тело вдоль радиуса, так, чтобы оно оставалось на радиусе, то нам придется увеличить скорость тела, то есть, придать ему ускорение. Если наша система отсчета вращается вместе с диском, то мы почувствуем, что тело «не хочет» оставаться на радиусе, а «норовит» сместиться – это и есть сила Кориолиса.

В инерциальных системах отсчета действует закон инерции, то есть, каждое тело стремится двигаться по прямой и с постоянной скоростью. Если рассмотреть движение тела, равномерное вдоль некоторого вращающегося радиуса и направленное от центра, то станет ясно, что для того чтобы оно осуществилось, требуется придавать телу ускорение, так как чем дальше от центра, тем больше должна быть касательная скорость вращения. Это означает, что с точки зрения системы отсчета, вращающейся некая сила будет пытаться сместить тело с радиуса.

Если вращение происходит по часовой стрелке, то тело, движется от центра вращения, стремится сойти с радиуса влево. Если вращение происходит против часовой стрелки – то вправо.

В системе координат, которая вращается вокруг оси с угловой скоростью , Тело, движущееся с линейной скоростью , Имеет ускорение

. Соответствующая сила, которая заставляет тело двигаться с таким ускорением должна равняться

где m – масса тела.

Кориолисова сила перпендикулярна оси вращения и к скорости тела. Если тело движется вдоль оси вращения, кориолисовым силы не возникает. Наибольшее значение Кориолисова сила тогда, когда тело движется перпендикулярно оси вращен

14.

Закон всемирного тяготения. Энергия гравитационного взаимодействия.

закон всемирного тяготения: все тела притягиваются друг к другу, сила всемирного тяготения прямо пропорциональна произведению масс тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

Векторы сил всемирного тяготения направлены вдоль прямой, соединяющей тела.

Гравитационная энергия — потенциальная энергия системы тел (частиц), обусловленная их взаимным гравитационным тяготением

15.

Система мат точек и ее импульс. Уравнение движения системы мат точек.

Системой материальных точек называется физическая система, состоящая из нескольких (взаимодействующих между собой или не взаимодействующих) тел, каждое из которых при решении данной задачи можно считать материальной точкой (т.е. размерами которого, внутренней структурой и вращательными движениями можно пренебречь (возможно, они учитываются с помощью других параметров)).

И́мпульс (Количество движения) — векторная физическая величина, являющаяся мерой механического движения тела. В классической механике импульс тела равен произведению массы m этого тела на его скорость v, направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:

уравнением движения материальной точки.

16.

Центр масс системы мат точек. Теорема о движении центра масс системы мат точек . Система центра масс.

Центр масс, центр ине́рции, барице́нтр (от др.-греч. βαρύς — тяжёлый + κέντρον — центр) — (в механике) геометрическая точка, характеризующая движение тела или системы частиц как целого[1]. Не является тождественным понятию центра тяжести (хотя чаще всего совпадает).

где mк — массы материальных точек, образующих систему, xk, ук, zk — координаты этих точек, М = Σmк — масса системы, ρ — плотность, V — объём. Понятие о Ц. м. отличается от понятия о центре тяжести (См. Центр тяжести) тем, что последнее имеет смысл только для твёрдого тела, находящегося в однородном поле тяжести; понятие же о Ц. м. не связано ни с каким силовым полем и имеет смысл для любой механической системы. Для твёрдого тела положения Ц. м. и центра тяжести совпадают.

При движении механической системы её Ц. м. движется так, как двигалась бы материальная точка, имеющая массу, равную массе системы, и находящаяся под действием всех внешних сил, приложенных к системе. Кроме того, некоторые уравнения движения механической системы (тела) по отношению к осям, имеющим начало в Ц. м. и движущимся вместе с Ц. м. поступательно, сохраняют тот же вид, что и для движения по отношению к инерциальной системе отсчёта (См. Инерциальная система отсчёта). Ввиду этих свойств понятие о Ц. м. играет важную роль в динамике системы и твёрдого тела

Систе́ма це́нтра масс (систе́ма це́нтра ине́рции) — невращающаяся система отсчёта, связанная с центром масс механической системы. Обычно сокращается как с. ц. м. или с. ц. и. Суммарный импульс системы в с.ц.м. равен нулю. Для замкнутой системы её система центра масс инерциальна, тогда как незамкнутая система в общем случае может обладать неинерциальной системой центра масс. Суммарная кинетическая энергия механической системы в с.ц.м. минимальна среди всех систем отсчёта; в любой другой невращающейся (не обязательно инерциальной) системе отсчёта кинетическая энергия равна кинетической энергии в с.ц.м. плюс кинетическая энергия движения механической системы как целого (MV²/2, где М — полная масса механической системы, V — относительная скорость движения систем отсчёта).

17.

Закон сохранения импульса для изолированной системы.

Закон сохранения импульса является следствием второго и третьего законов Ньютона. Он имеет место в изолированной (замкнутой) системе тел.

Такой системой называется механическая система, на каждое из тел которой не действуют внешние силы. В изолированной системе проявляются внутренние силы, т.е. силы взаимодействия между телами, входящими в систему.

Так как в замкнутой системе внешние силы отсутствуют, то

Это равенство выражает закон сохранения импульса, согласно которому полный вектор импульса замкнутой системы тел с течением времени не изменяется.

Т.к. , то при любых процессах, происходящих в замкнутой системе, скорость ее центра инерции сохраняется неизменной.

18.

Реактивное движение. Уравнение Мещерского. Формула Циалковского.

Под реактивным понимают движение тела, возникающее при отделении некоторой его части с определенной скоростью относительно тела. При этом возникает т.н. реактивная сила, сообщающая телу ускорение.

Уравнение Мещерского — основное уравнение в механике тел переменной массы,

где — сумма всех внешних сил, действующих на тело, M (t) о закона изменения импульса для системы материальных точек. Поэтому, в частности, некоторые задачи на интересующую нас тему были решены до работ Мещерского без использования уравнения (*). Можно переписать уравнение Мещерского еще в таком «почти симметричном» виде:

де производные по времени обозначены соответствующими буквами со штрихами.

Формула Циолковского определяет скорость, которую развивает летательный аппарат под воздействием тяги ракетного двигателя, неизменной по направлению, при отсутствии всех других сил. Эта скорость называется характеристической.

Vmax = u ln M0/Mk = u ln(1 + MТ/Mk),

где u — эффективная скорость истечения продуктов сгорания из сопла реактивного двигателя, М0 — начальная (стартовая) масса ракеты, Мк — конечная (без топлива) масса ракеты после завершения работы двигателя на активном участке траектории, MТ — масса выгоревшего топлива.

19.

Движение искусственных спутников земли.1,2 и 3-ья космические скорости.

Искусственный спутник Земли (ИСЗ) — космический аппарат, вращающийся вокруг Земли по геоцентрической орбите.

Для движения по орбите вокруг Земли аппарат должен иметь начальную скорость, равную или большую первой космической скорости. Полёты ИСЗ выполняются на высотах до нескольких сотен тысяч километров. Нижнюю границу высоты полёта ИСЗ обуславливает необходимость избегания процесса быстрого торможения в атмосфере. Период обращения спутника по орбите в зависимости от средней высоты полёта может составлять от полутора часов до нескольких лет. Особое значение имеют спутники на геостационарной орбите, период обращения которых строго равен суткам и поэтому для наземного наблюдателя они неподвижно «висят» на небосклоне, что позволяет избавиться от поворотных устройств в антеннах.

Первая космическая скорость или Круговая скорость V1 — скорость, которую необходимо придать объекту без двигателя, пренебрегая сопротивлением атмосферы и вращением планеты, чтобы вывести его на круговую орбиту с радиусом, равным радиусу планеты. Иными словами, первая космическая скорость — это минимальная скорость, при которой тело, движущееся горизонтально над поверхностью планеты, не упадёт на неё, а будет двигаться по круговой орбите.

Вторая космическая скорость (параболическая скорость, скорость убегания) — наименьшая скорость, которую необходимо придать объекту (например, космическому аппарату), масса которого пренебрежимо мала относительно массы небесного тела (например, планеты), для преодоления гравитационного притяжения этого небесного тела. Предполагается, что после приобретения телом этой скорости оно не получает негравитационного ускорения (двигатель выключен, атмосфера отсутствует).

Третья космическая скорость — минимально необходимая скорость тела без двигателя, позволяющая преодолеть притяжение Солнца и в результате уйти за пределы Солнечной системы в межзвёздное пространство.

Взлетая с поверхности Земли и наилучшим образом используя орбитальное движение планеты космический аппарат может достичь третей космической скорости уже при 16,6 км/с относительно Земли, а при старте с Земли в самом неблагоприятном направлении его необходимо разогнать до 72,8 км/с. Здесь для расчёта предполагается, что космический аппарат приобретает эту скорость сразу на поверхности Земли и после этого не получает негравитационного ускорения (двигатели выключены и сопротивление атмосферы отсутствует). При наиболее энергетически выгодном старте скорость объекта должна быть сонаправлена скорости орбитального движения Земли вокруг Солнца. Орбита такого аппарата в Солнечной системе представляет собой параболу (скорость убывает к нулю асимптотически).

де v3 — третья космическая скорость, а v1 и v2 — первая для Солнца и вторая для планеты космические скорости соответственно.

20.

Работа постоянной и переменной силы. Потенциальные силы. Мощность.

1.Если на тело действует постоянная сила F (Рисунок 13), и это приводит к перемещению ∆ r тела, то элементарной работой ∆А постоянной силы называется скалярное произведение вектора силы F и вектора перемещения ∆r:

∆А = (F∙∆r) = ½ F½½∆ r½ cos a ,

где a - угол между направлениями векторов силы F и перемещения ∆r, ( F∙ ∆r) – скалярное произведение двух векторов (см.[8]).

Работа ∆А - скаляр. Если угол a - острый, то ∆А положительная величина, и говорят, что сила совершает работу. Если угол a - тупой, то ∆А - отрицательная величина, и говорят, что работа совершается против действия силы. Если a = 900, т.е. направления силы и перемещения взаимно перпендикулярны, то такая сила работы не совершает ∆А = 0. Такая сила не может изменить величину скорости тела, но она меняет направление скорости.

2. Работа переменной силы. Если сила или равнодействующая сил изменяет свою величину или направление (движение по криволинейной траектории, причем угол α ≠ 900), то работа ∆А, совершаемая переменной силой F (или Fрез) на конечном участке траектории вычисляется следующим образом.

На рисунке 14 представлен график зависимости силы F от пути S. Разобьем весь путь на N участков. Перемещение и действующая сила на каждом участке соответственно равны F i и ∆ r i. Тогда работа А, совершаемая силой F, равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой из сил F i на своем малом участке (Рисунок 14):

А = ∆А1 + ∆А2 +....+ ∆А N = ( F1∙∆ r1) + (F 2∙∆ r2) + ...+( F N∙∆ rN) = ( Fi∙∆ ri),

где i = 1,2...... N - номер элементарного участка траектории.

На участке ∆r i силу Fi можно считать постоянной, тогда элементарная работа ∆Аi на участке ∆r i равна ∆Аi= Fi∙∆ r i и равна площади заштрихованной фигуры на рисунке 14.

А=∆Аi - это работа силы F на участке r, равна она численно площади S фигуры, ограниченной кривой зависимости F(х) и осью Х.

ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ СИЛЫ - силы, работа которых зависит только от начального и конечного положения точек их приложения и не зависит ни от вида траекторий, ни от закона движения этих точек

Мо́щность — физическая величина, равная отношению работы ко времени, за которое она была совершена. В более узком смысле мощность равна отношению работы, выполняемой за некоторый промежуток времени, к этому промежутку времени[1].

Различают среднюю мощность за промежуток времени

мгновенную мощность в данный момент времени:

21

22

Потенциальная энергия  — скалярная физическая величина, характеризующая способность материальной точки (тела) совершать работу за счет своего нахождения в поле действия консервативных сил. Другое определение: потенциальная энергия — это функция координат, являющаяся слагаемым в лагранжиане системы, и описывающая взаимодействие элементов системы

Потенциальная энергия принимается равной нулю для некоторой конфигурации тел в пространстве, выбор которой определяется удобством дальнейших вычислений. Процесс выбора данной конфигурации называется нормировкой потенциальной энергии.

Корректное определение потенциальной энергии может быть дано только в поле сил, работа которых зависит только от начального и конечного положения тела, но не от траектории его перемещения. Такие силы называются консервативными.

Также потенциальная энергия является характеристикой взаимодействия нескольких тел или тела и поля.

Любая физическая система стремится к состоянию с наименьшей потенциальной энергией.

Потенциальная энергия упругой деформациихарактеризует взаимодействие между собой частей тела.

,

• В то время, как кинетическая энергия всегда характеризует тело относительно выбранной системы отсчёта, потенциальная энергия всегда характеризует тело относительно источника поля.

• Кинетическая энергия характеризуется скоростью относительно системы отсчёта; потенциальная — расположением тел в поле.

• Основной физический смысл имеет не само значение потенциальной энергии, а её изменение.

Потенциальная энергия зависит от положения тела. В зависимости от того, куда мы будем (чуть-чуть) смещаться от данной точки, потенциальная энергия будет либо уменьшаться, либо увеличиваться. Вот здесь и живет связь между потенциальной энергией и силой. Сила показывает направление, в котором потенциальная энергия уменьшается быстрее всего, а величина силы определяется скоростью изменения. Другими словами, сила - градиент потенциальной энергии.

23

В изолированной системе тел положительная работа внутренних сил увеличивает кинетическую энергию и уменьшает потенциальную. Отрицательная работа, напротив, увеличивает потенциальную энергию и уменьшает кинетическую. Именно благодаря этому выполняется закон сохранения энергии.    Снова обратимся к простой системе тел, состоящей из земного шара и поднятого над Землей тела, например камня.    Камень падает под действием силы тяжести. Силу сопротивления воздуха учитывать не будем. Работа, совершаемая силой тяжести при перемещении камня из одной точки в другую, равна изменению (увеличению) кинетической энергии камня:

   В то же время эта работа равна уменьшению потенциальной энергии:

   Работа силы всемирного тяготения, действующей со стороны камня на Землю, практически равна нулю. Из-за большой массы Земли ее перемещением и изменением скорости можно пренебречь. Так как в формулах (6.24) и (6.25) левые части одинаковы, то равны и правые части:

   Равенство (6.26) означает, что увеличение кинетической энергии системы равно убыли ее потенциальной энергии (или наоборот). Отсюда вытекает, что

или

   Изменение суммы кинетической и потенциальной энергий системы равно нулю.    Величину E, равную сумме кинетической и потенциальной энергий системы, называют механической энергией системы:

   Так как изменение полной энергии системы в рассматриваемом случае согласно уравнению (6.27) равно нулю, то энергия остается постоянной:

   Таким образом, в изолированной системе, в которой действуют консервативные силы, механическая энергия сохраняется. В этом состоит закон сохранения механической энергии. Энергия не создается и не уничтожается, а только превращается из одной формы в другую: из кинетической в потенциальную и наоборот.    Учитывая, что в рассматриваемом конкретном случае  и , можно закон сохранения механической энергии записать так:

или

   Это уравнение позволяет очень просто найти скорость камня v₂ на любой высоте h₂ над землей, если известна начальная скорость v₁ камня на исходной высоте h₁.    Закон сохранения механической энергии (6.29) легко обобщается на случай любого числа тел и любых консервативных сил взаимодействия между ними. Под E_к нужно понимать сумму кинетических энергий всех тел, а под Е_п - полную потенциальную энергию системы.    Для системы, состоящей из тела массой m и пружины, закон сохранения механической энергии имеет вид

   Полная механическая энергия системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергий. В изолированной системе, в которой действуют только консервативные силы, механическая энергия сохраняется.

24

Пусть  некоторая точка, относительно которой мы будем находить момент вектора силы или вектора импульса. Ее (точку) называют началом или полюсом.  – вектор, проведенный из полюса к точке приложения силы. Момент силы  относительно точки  – произведение радиус-вектора  на силу : .

Момент  не изменится, если точку приложения силы  перенести в любую другую точку, расположенную на линии действия силы.

Момент  нескольких сил относительно точки – сумма моментов сил относительно той же точки. Момент силы  относительно точки  – произведение радиус-вектора  на импульс : . Производная  по времени будет выглядеть так: . Т.к.  мы считаем неподвижной, то , а  и мы получим , т.е. 

Последнее равенство – уравнение моментов.

Для системы материальных точек моменты всех внутренних сил равны нулю и мы можем записать уравнение моментов для множества материальных точек так:  –производная момента импульса системы материальных точек по времени относительно неподвижного полюса равна геометрической сумме моментов всех внешних сил относительно того же полюса.

Закон сохранения момента импульса так же вытекает из этого уравнения – если сумма моментов всех внешних сил равна нулю относительно какого-то полюса, то момент импульса системы материальных точек относительно того же полюса будет постоянным во времени.

 – эквивалентно ,,.и–моменты импульса и силы относительно оси  (проекциии на эту ось ) .

Момент импульса материальной точкиотносительно точки O определяется векторным произведением, где— радиус-вектор, проведенный из точки O,— импульс материальной точки. Момент импульса материальной точки относительно неподвижной осиравен проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки O данной оси. Значение момента импульсане зависит от положения точки O на осиz.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц, из которых состоит тело относительно оси. Учитывая, что , получим.

Если сумма моментов сил, действующих на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, равна нулю, то момент импульса сохраняется (закон сохранения момента импульса):  .

Производная момента импульса твердого тела по времени равна сумме моментов всех сил, действующих на тело: .

25

Моментом инерции твердого тела относительно оси называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до оси. 

Чтобы найти момент инерции тела, надо просуммировать момент инерции всех материальных точек, составляющих данное тело

(5.4)

В общем случае, если тело сплошное, оно представляет собой совокупность множества точек с бесконечно малыми массами , и моменты инерции тела определяется интегралом

(5.5)

о где - расстояние от элементадо оси вращения.

Распределение массы в пределах тела можно охарактеризовать с помощью плотности

(5.5)

где m - масса однородного тела, V - его объем. Для тела с неравномерно распределенной массой это выражение дает среднюю плотность.

Плотность в данной точке в этом случае определяется следующим образом

и тогда

(5.6)

Момент инерции полого цилиндра с тонкими стенками, радиуса R.

Для полого цилиндра с тонкими стенками

Сплошной однородный диск. Ось вращения является осью диска радиуса . и массы m с плотностьюВысота диска h. Внутри диска на расстоянии вырежем пустотелый цилиндр с толщиной стенкии массой. Для него

Весь диск можно разбить на бесконечное множество цилиндров, а затем просуммировать:

Момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр тяжести.

Теорема Штейнера. Имеем тело, момент инерции которого относительно оси, проходящей через его центр масс известен. Необходимо определить момент инерции относительно произвольно осипараллельной оси. Согласно теореме Штейнера, момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной данной оси, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями:

26

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. ^ При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения. При поступательном движении общую для всех точек тела скорость ^ V называют скоростью поступательного движения тела, а ускорение a – ускорением поступательного движения. Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором любые две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во все время движения неподвижными. Прямая, проходящая через две неподвижные точки, называется осью вращения. Уравнение γ = f(t) выражает закон вращательного движения твердого тела, где γ – угол поворота тела. Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость ω и угловое ускорение ε. ^ Угловая скорость тела в данный момент времени численно равна первой производной от угла поворота по времени: ω =  ^ Угловое ускорение тела в данный момент времени численно равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела по времени: ε =  Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение тела называется ускоренным, а если убывает – замедленным. Если угловая скорость тела остается во все время движения постоянной (ω = const), то вращение тела называется равномерным. Если угловое ускорение тела во все время движения постоянно (ε = const), то вращение называется равнопеременным. ^ Линейная скорость точки v вращающегося твердого тела численно равна произведению угловой скорости тела ω на расстояние R от этой точки до оси вращения.  v = ωR. Линейная скорость направлена по касательной к описываемой точкой окружности или перпендикулярно к плоскости, проходящей через ось вращения. Так как для всех точек тела угловая скорость ω имеет в данный момент одно и то же значение, то следует, что линейные скорости точек вращающего тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения (рис. 15). Рис. 15 ^ Касательное ускорение a^τ направлено по касательной к траектории (в сторону движения, если тело вращается ускоренно, или в обратную сторону, если тело вращается замедленно); нормальное ускорение aⁿ всегда направлено по радиусу R к оси вращения (рис. 16).

a^τ = ε R aⁿ = ω² R Рис. 16 Полное ускорение точки равно a = R. Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой окружности определяется углом μ, который вычисляется по формуле:  или .