42.Замечательные пределы.

Число А называется пределом функции у=f(x) при х x₀, если для любой последовательности хn сходящейся к знамению х₀ соответствующей послед. f(x_n) сходится к числу А.

Первый замечательный предел: при х0 При вычислении приделов с неопределённостью «0/0»и содержащий тригонометрические функции используют первый замечательный предел.

Второй замечательный предел: где n Если х,то

Вопрос 43

Определение непрерывности функции

  Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки х₀. Функция f (x) называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т. е.

               (5.1)

Или ( ε > 0 ) (δ = δ (ε,x₀) > 0 ) (|x - x₀ | < δ ) : | f ( x ) − f ( x₀) | < ε

Для непрерывности функции в точке требуется выполнение двух условий: существование предела функции в данной точке и совпадение этого предела с тем значением, которое функция принимает в этой точке. Так как , то соотношение (5.1) можно записать в следующем виде:

т. е. для непрерывной функции можно переставить знак функции и знак предела. Если функция непрерывна в точке х₀, то она определенна в этой точке, т.е. существует f(x₀).   Если

то функция непрерывна в этой точке. Это определение вытекает из свойства предельного перехода функции в данной точке.   Перенесем в равенстве (5.1) f (x₀) под знак предела. Так как условие х → х₀ и (х − х₀) → 0 равносильны, то получаем

                     (5.2)

  Разность Δx = x - x₀ называется приращением аргумента х в точке x₀, разность Δy = f (x) − f (x₀) называется приращением функции в точке х₀, вызванным приращением аргумента Δх 

При фиксированной точке х₀ величина Δу является функцией аргумента Δ х. Равенство (5.2) в новых обозначениях принимает вид

                     (5.3)

(5.3) является свойством непрерывной функции, которое можно сформулировать так: функция f (x) является непрерывной в точке х₀, если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при Δх → 0.

Непрерывность функций на интервале

  Будем говорить, что функция f (x) непрерывна в интервале (а, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала; непрерывна на отрезке [а, b], если она непрерывна в интервале (а, b) и непрерывна в точке x = а справа, а в точке x = b слева, т. е.

 и 

Кусочно-непрерывные функции

  Функция f (x) называется кусочно-непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках [а, b] за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых имеет разрыв первого рода и, кроме того, имеет односторонние пределы в точках a и b    Функция называется кусочно-непрерывной на числовой прямой, если она кусочно - непрерывна на любом отрезке числовой прямой.

Первая теорема Больцано – Коши

  Пусть функция f (x) непрерывна в точке х₀ и кроме этого f (x₀) ≠ 0. Тогда существует δ > 0 такое, что для всех х (х₀ − δ; х₀ + δ) функция f (x) имеет тот же знак, что и f(х₀).   Эта теорема характеризует устойчивость знака непрерывной функции.

Вторая теорема Больцано – Коши

  Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a, b]. Если на концах этого отрезка функция принимает неравные значения f(a) = A, f (b) = B, то, каково бы ни было число m (A, B), найдётся такая точках = с (a, b), что f (c) = m (.

  Как частный случай имеет место следующее утверждение. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует внутренняя точка отрезка с (a, b), в которой f(c) = 0.    Данная теорема имеет простой геометрический смысл: непрерывная кривая при переходе из одной полуплоскости, граница которой является ось абсцисс, в другую, пересекает эту ось .

  Теорема. Если функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a, b] , то она на этом отрезке принимает по крайней мере один раз любое значение, заключённое между её наименьшими и наибольшими значениями.   Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем считать, что А < m < B. Рассмотрим на промежутке [а, b] вспомогательную функцию φ (x) = f (x) − m. Эта функция непрерывна на промежутке [а, b] и на концах его имеет разные знаки: φ (a) = f (a) − m = A − m < 0 и φ(b) = f(b) − m = B − m > 0. Тогда, по второй теореме Больцано – Коши, между a и bнайдётся точка х = с, для которой φ(c) = m. Что и требовалось доказать.

44 вопрос

Обратная функция и её непрерывность.

Пусть функция y=f(x), заданная на множестве X, обратима. Это значит, что функция f различным значениям аргумента ставит в соответствие различные значения функции, т.е. для любых x1,x2∈X : x1/=x2⇒f(x1)/=f(x2).  В этом случае для каждого y∈Y=f(X)  существует один и только один элемент x∈X такой, что y=f(x). А это означает, что на множестве Y определена функция g:Y→X , которую и называют обратной функцией к функции y=f(x) и обозначают: x=f−1(y). При этом очевидно, что функция f являетсяобратной к функции f−1. Поэтому функции y=f(x) и x=f−1(y) называют взаимно обратными.

Т.о., если функция f:X→Y , где Y=f(X), обратима, то для нее существует единственная обратная функция f−1:Y→X  и если y=f(x) то x=f−1(y), и если x=f−1(y), то y=f(x) и f−1(f(x))=x при любом x∈X , f−1(f(y))=y при любом  y∈Y . График. Переход от функции y=f(x), x∈X , к обратной функции x=f−1(y), y∈Y  (если она существует), сводится лишь к измерению ролей множеств X и Y. Поэтому графики функций y=f(x) и x=f−1(y) на плоскости XOY совпадают. Но обычно и для обратной функции аргумент обозначают через y, т.е. записывают ее в видеy=f−1(x), x∈Y . Тогда график функции y=f−1(x) получается из графика прямой функции y=f(x) с помощью преобразования плоскости XOY, переводящей каждую точку (x,y) в точку(y,x), т.е. симметрией относительно прямой y=x. Обычно, говоря об обратной функции, заменяют x на y, а y на x (x↔y ) и пишут y=f−1(x). Очевидно, что исходная функция f(x)и обратная функция f−1(x) удовлетворяют соотношению: f−1(f(x))=f(f−1(x))=x. Графики исходной и обратной функции получаются друг из друга зеркальным отображением относительно биссектрисы первого квадранта. Монотонные функции и их свойства. Пусть функция f(x)определена в некоторой области X. Функция называется возрастающей (убывающей) в этой области, если для любой пары принадлежащих ей значений x1и x2 из x1>x2следуетf(x1)>f(x2) (f(x1)<f(x2)). Если же из x1>x2 следует f(x1)≥f(x2)  (f(x1)≤f(x2)) , то функцию называют неубывающей (невозрастающей).

Иногда удобнее и в этом случае называть функцию возрастающей (убывающей) - но в широком смысле. Функции всех этих типов носят общее название монотонных.

Существование и непрерывность обратной функции. Теорема 1. Если функция y=f(x) строго возрастает (убывает) на множестве X, то для нее существуетобратная функция x=f−1(y), которая определена на множестве Y=f(X) и является на Y строго возрастающей (убывающей). Доказательство. По условию функция f строго возрастает на множестве X. Это значит для любых x1,x2∈X и x1<x2 следует f(x1)<f(x2). Отсюда следует, что функция f обратима на X, следовательно, для нее существует обратная функция f−1:Y→X . Покажем, что функция f−1 строго возрастает на множестве Y. Пусть y1 и y2- любые точки из Y и y1<y2. Докажем, что x1=f−1(y1)<x2=f−1(y2). Допустим, чтоx1≥x2 . По условию функция f строго возрастает на X, поэтому из условия x1≥x2 вытекает неравенствоy1=f(x1)≥y2=f(x2) , что противоречит условию y1<y2. Т.о., условие строгой монотонности функции является достаточным для существования обратной функции. 

Теорема 2. Если функция y=f(x) строго возрастает (убывает) и непрерывна на промежутке I, то существует обратная функция x=f−1(y), которая определена на промежутке Ef=f(I) и является на Е, строго возрастающей (убывающей) и непрерывной. Доказательство. Для определенности предположим, что функция f строго возрастает на промежутке I. По следствию из 2-ой теоремы Больцано-Коши область значений Ef=f(I) непрерывной функции f тоже есть промежуток. В силу строгого возрастания функции f для каждого y∈E  существует единственная точка x∈I  такая, что f(x)=y. Следовательно для функции f существует обратная функция f−1определенная на промежутке Е и с множеством значений I.

Покажем, что f−1 строго возрастает на Е. Пусть y1 и y2-- две произвольные точки из Е, такие, что y1<y2 и прообразами этих точек будут точки x1и x2. f−1(y1)=x1, и f−1(y2)=x2.

Поскольку f - строго возрастающая функция, то неравенство y1=f(x1)<f(x2)=y2 возможно тогда и только тогда когда x1<x2 или тоже самое, когда f−1(y1)<f−1(y2). В силу произвольности y1 и y2 ∈E делаем вывод, что функция f−1 - строго возрастает на множестве Е. Что и требовалось доказать.

45. Производная функции, её геометрический и физический смысл.

Производной функции в точкеназывается предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента. при(если этот предел существует и конечен), т.е.

Обозначают:

Производной функциив точкесправа (слева) называется(если этот предел существует и конечен).

Обозначают:– производная y=f(x) в точкесправа,– производная y=f(x) в точкеслева.

Физический смысл производной.

Если функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами, то производная– скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке.Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t, то ее производная– скорость в момент времениЕсли q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t, то– скорость изменения количества электричества в момент временит.е. сила тока в момент времени

Геометрический смысл производной.

Пусть– некоторая кривая, – точка на кривой.

Любая прямая, пересекающаяне менее чем в двух точках называется секущей.

Касательной к кривойв точкеназывается предельное положение секущейесли точкастремится кдвигаясь по кривой.

Из определения очевидно, что если касательная к кривой в точкесуществует, то она единственная.

Рассмотрим кривую y = f(x) (т.е. график функции y = f(x)). Пусть в точкеон имеет невертикальную касательнуюЕе уравнение:(уравнение прямой, проходящей через точкуи имеющую угловой коэффициент k). По определению углового коэффициентагде– угол наклона прямойк оси

Пусть– угол наклона секущейк оси, гдеТак как– касательная, то при

Следовательно

Таким образом, получили, что– угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке(геометрический смысл производной функции в точке). Поэтому уравнение касательной к кривой y = f(x) в точкеможно записать в виде

46. Правила дифференцирования, производная сложной и обратной функции. Производные элементарных функций.

Основные правила дифференцирования

Пустьтогда:

7) Еслито естьгдеиимеют производные, то(правило дифференцирования сложной функции).

Производная обратной функции

Пусть f : [a, b] → [c, d] непрерывная, строго монотонная на интервале [a, b] функция, имеющая производную в точке х0 [a, b]. Тогда обратная функция g = f -1: [c, d] →[a, b] имеет производную в точке y0 = f(x0) интервала [c, d] равную

если f '(x0) ≠ 0. Если f '(x0) = 0, то g '(y0) = + ∞ (в случае, когда f возрастает), и g '(y0) = − ∞ (в случае, когда f убывает).

Производная сложной функции

Пусть функция f: [a, b] → [c, d], а функция g:[a1, b1] → [c1, d1], причём [a1, b1][c, d]. Если функция f дифференцируема в точке х0[a, b], а функция g дифференцируема в точке y0 = f (x0)[a1,b1], то сложная функция F(x) = g( f ( x )) имеет в точке х0 производную, равную

Производные элементарных функций

Константа f(x) = C, C R =>0

Степень с рациональным показателем f(x) = xn => n · xn − 1

Синус f(x) = sin x => cos x

Косинус f(x) = cos x => − sin x (минус синус)

Тангенс f(x) = tg x =>1/cos2 x

Котангенс f(x) = ctg x =>− 1/sin2 x

Натуральный логарифм f(x) = ln x =>1/x

Произвольный логарифм f(x) = loga x=>1/(x · ln a)

Показательная функция f(x) = ex=>ex (ничего не изменилось)

47.ВОПРОС Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

Производная функции, заданной параметрически

Если функциязадана параметрическими уравнениямигде- параметр и если функцииидифференцируемы в точкето функциядифференцируема в точкеи ее производная вычисляется по правилу:

Производная функции, заданной неявно

Если дифференцируемая в точкефункциязадана соотношениеми если при этом функция- дифференцируема в точкето производнуюможно определить из равенства

так как функциятождественно равна постоянной и, следовательно, ее производная равна нулю.

Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f". Таким образом, f"(x) = (f'(x))'.

Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f(n). Итак,

f(n)(x) = (f(n-1)(x))', n ϵ N, f(0)(x) = f(x).

ϵ N, f(0)(x) = f(x).

Число n называется порядком производной.

Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом, dnf(x) = d(dn-1f(x)), d0f(x) = f(x), n ϵ N.

Если x - независимая переменная, тоdx = const и d2x = d3x = ... = dnx = 0.

В этом случае справедлива формулаdnf(x) = f(n)(x)(dx)n.

Формула Лейбница

Если u и v - n-кратно дифференцируемые функции, то

48. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближённых вычислениях. Инвариантность формы первого дифференциала. Непрерывность дифференцируемой функции.

Дифференциал функции и его геометрический смысл

Дифференциалом функции в называется главная, линейная относительно, часть приращения функции.

Покажем, чтоиэквивалентные бесконечно малые при

Геометрический смысл дифференциала:

Проведем к графику функциив точкукасательнуюи рассмотрим ординату этой касательной для точкиНа рисункеИз прямоугольного треугольникаимеем:Но, согласно геометрическому смыслу производной,ПоэтомуЭто означает, что дифференциал функцииравен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когдаполучает приращение

Применение дифференциала в приближённых вычислениях.

Пусть нам известно значение функции y0=f(x0) и ее производной y0' = f '(x0) в точке x0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.

Как мы уже выяснили приращение функции Δyможно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dyили Δy»f'(x0)·Δx.

Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x0), то f(x) – f(x0)≈f'(x0)·Δx.

Откуда

f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)·Δx

Инвариантность формы первого дифференциала

Если x - независимая переменная, то dx = x - x0 (фиксированное приращение). В этом случае имеемdf (x0) = f'(x0)dx. (3)

Если x = φ(t) - дифференцируемая функция, то dx = φ'(t0)dt. Следовательно,

т. е. первый дифференциал обладает свойством инвариантности относительно замены аргумента.

Непрерывность дифференцируемой функции

Если функция y = f (x) имеет производную в точке х = х0, то говорят, что при данном значении аргумента х = х0 функция дифференцируема.

Если функция дифференцируема в каждой точке интервала (a, b), то говорят, что она дифференцируема на этом интервале.

Если функция дифференцируема в некоторой точке х = х0, то она в этой точке непрерывна.

Доказательство. Пусть в точке х = х0 существует производная

Так как разность между функцией и её пределом есть бесконечно малая величина, то из определения производной следует соотношение

где γ (Δx) — является бесконечно малой величиной своего аргумента. Тогда Δy = f '(x0)·Δx + γ (Δx)·Δx и откуда следует, что Δy → 0 при Δx → 0, а это означает непрерывность функции у = f (x) в точке х0. Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Однако и непрерывность функции не гарантирует существование производной в некоторой точке.

Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя.