- •2. Определители 2 и 3-го порядков. Вычисление определителя n-го порядка. Свойства определителей 3-го порядка.
- •3.Обратная матрица и ее построение. Теорема существования и единственности обратной матрицы. Матричный метод решения невырожденных систем линейных алгебраических уравнений.
- •4. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров и с помощью элементарных преобразований.
- •4.2. Решение систем линейных уравнений.
- •4.3 Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера
- •7 Вопрос Системы линейных однородных уравнений
- •6Вопрос Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
- •8 Вопрос Декартова система координат. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Координаты вектора. Линейная зависимость и независимость векторов. Понятие базиса.
- •5.2. Линейные операции над векторами
- •Линейная зависимость и независимость векторов
- •20. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
- •Эллипсоид
- •Однополостный гиперболоид
- •Двуполостный гиперболоид
- •Гиперболический параболоид
- •Эллиптический цилиндр
- •Гиперболический цилиндр
- •Параболический цилиндр
- •22 Вопрос Эллипсоид.
- •24. Параболоиды.
- •26. Евклидово пространство. Неравенство Буняковского-Коши. Ортогональный и ортонормированный базисы. Разложение вектора по ортогональному базису.
- •Вопрос 27 Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Действия над линейными операторами. Зависимость между матрицами линейного оператора в различных базисах.
- •Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго прядка
- •Линейный двучлен. Теорема Безу.
- •Деление многочленов
- •42.Замечательные пределы.
- •Вопрос 43
- •1. Теорема Ролля
- •2. Теорема Лагранжа
- •3. Теорема Коши
- •4. Правило Лопиталя
- •Геометрический смысл производной
- •Механический смысл производной
Параболический цилиндр
Уравнение гиперболического цилиндра имеет вид y2 = 2 p x.
22 Вопрос Эллипсоид.
(7)
При эллипсоид (7) обращается в сферу радиусас центром в начале координат, т. е. геометрическое место точек, отстоящих от начала на расстоянии.
Величины называются полуосями эллипсоида.
Если в уравнении (7) заменить (одновременно или порознь) на,на,на, то оно не изменится, — это показывает, что эллипсоид (7) есть поверхность, симметричная относительно координатных плоскостей,,и начала координат. Поэтому достаточно изучить уравнение (7) в первом октанте (системы координат), т. е. для,,. Часть эллипсоида, находящаяся в первом октанте, определяется явным уравнением, например
, ,,.
Для определенности будем считать, что . Эллипсоид есть ограниченная поверхность. Он находится внутри шара радиусас центром в начале координат: для координат любой точки эллипсоидаимеет место неравенство
.
Чтобы составить более точное представление об эллипсоиде, произведем сечения плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Например, пересекая эллипсоид плоскостями , получим в сечении эллипсы
с полуосями,.
Отсюда видно, что самый большой эллипс получается в сечении эллипсоида плоскостью . Аналогичная картина будет при сечении плоскостями,.
Точки ,,лежат на эллипсоиде (7) и называются его вершинами.
Если какие-либо две полуоси равны между собой, то эллипсоид (7) будет эллипсоидом вращения, т. е. получается от вращения эллипса относительно соответствующей оси координат.
23ВОПРОС Гиперболоиды.
Однополостной гиперболоид – поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат уравнением (1)
Двуполостной гиперболоид – поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат каноническим уравнением (2) В уравненияхa, b, с — положительные параметры, характеризующие гиперболоиды, причем a ≥ b.
Начало координат называют центром гиперболоида. Вершина – точка пересечения гиперболоида с координатными осям. Это четыре точки однополостного гиперболоида (4.48) и две точки двуполостного гиперболоида (4.49). Три отрезка координатных осей, соединяющих вершины гиперболоидов, называются осями гиперболоидов. Оси гиперболоидов, принадлежащие координатным осям , называются поперечными осями гиперболоидов, а ось, принадлежащая оси аппликат , — продольной осью гиперболоидов. Числа , равные половинам длин осей, называются полуосями гиперболоидов. Из уравнения (1) вытекает, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии, а начало координат — центром симметрии однополостного гиперболоида.
Уравнение (1) наз-ся каноническим уравнением однополосного гиперболоида.
Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением (1) то оси Ох, Оу и Oz наз-ся его главными осями.
Установим вид поверхности (1). Для этого рассмотрим сечение ее координатными плоскостями Oxy (y=0) и Oyx (x=0). Получаем соответственно уравнения
и
из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы. Теперь рассм-м сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями или из которых следует, что плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями и,
достигающими своих наименьших значений при h=0, т.е. в сечении данного гиперболоида координатной осью Oxy получается самый маленький эллипс с полуосями a*=a и b*=b. При бесконечном возрастании величины a* и b* возрастают бесконечно.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополосный гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере удаления (по обе стороны) от плоскости Oxy.
Величины a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида. Если a=b,то гиперболоид может быть получен вращением гиперболы с полуосями а и с вокруг мнимой оси 2с.