Практическая работа № 2

Определение вероятности безотказной работы невосстанавливаемых изделий и оценка рассеивания результатов расчета.

Цель работы: 1.Определить:

частость i ; вероятность наступления отказа F (ti ) ; вероятность безотказной работы P(ti ); плотность вероятности наступления отказа f (ti ); интенсивность отказов (ti ); среднюю наработку до первого отказа tср.

2. Оценить рассеивание результатов:

средним квадратичным отклонением ; средним арифметическим отклонением

; дисперсией D; коэффициентом вариации V .

3.Построить гистограмму распределения числа n, частости и плотности отказов f в зависимости от наработки t.

Исходные данные:

ВАРИАНТ 1

ВАРИАНТ 2

N0=105,

96

142

tmin=6 тыс.км,

3

17

tmax=117 тыс.км

101

85

Решение:

1.Определим диапазон наработок R, внутри

которого имели место

отказы:

R = tmax − tmin , R =117 − 6 =111

. .

2. Вычислим длину интервала по формуле:

t =

R

,

1+ 3,3lg N0

где N0 - число испытываемых изделий

t =

111

= 14.47 тыс.км . Принимаем

t =15

. .

1+ 3,3lg105

Для определения количества интервалов, зададимся левой (tлев ) и правой

(tправ ) границами наработок. Примем tлев = 0, а tправ =120

. .

Тогда число интервалов будет равно: =

(tправ

- tлев

)

;

к =

120

= 8

t

15

4. Пронумеруем интервалы от

i =1

= 8 и впишем их в таблицу 1.1.

Найдем середины каждого интервала ti = 7,5; 22,5;

....;112,5

. .

6

5. Впишем в соответствующие графы число изделий ni , отказавших внутри каждого интервала. Это число называется весом.

6. Подсчитаем накопленное число отказов r (ti ) как сумму отказов в

i

интервалах, т.е. r = åni . Результаты вносим в таблицу 2.1.

i=1

Все результаты дальнейших вычислений мы также впишем в соответствующие графы таблицы.

7. Определим число оставшихся работоспособными объектов к моменту

ti по формуле:	N (ti ) = N0 − r(ti ).
8. Вычислим частость i - относительную долю отказов в интервале:
	i =	ni	×
		N0
			ˆ	r(ti )
9. Найдем вероятность наступления отказа F(ti ) =
				N0
			ˆ			N(ti )
10. Определим вероятность безотказной работы: P(ti ) =
						N0
11. Подсчитаем плотность вероятности наступления отказа: fˆ(t ) =								ni
							i	N0
	Ù
12. Вычислим	интенсивность отказов (ti )			как отношение				числа

отказавших объектов в единицу наработки к числу объектов, безотказно работающих к данному моменту наработки:

Ù

ni

Ù

f (ti )

(ti ) =

или по формуле: (ti ) =

.

Dt × N (ti )

R(ti )

13. По данным таблицы определим среднюю наработку до 1-ого отказа:

tˆ

ti×

ni ,

= S×

N0

i=1

где – число интервалов, ti - середина интервала,ni - вес.

tˆср

=

1

(7,5× 2 + 22,5×3 + 37,5×3 + 52,5×10 + 67,5×17 +

105

+82,5× 42 + 97,5×19 +112,5× 9) = 78,07тыс.км.

14. Определим характеристики рассеивания.

Среднее арифметическое отклонение :

=

1

k

t

- t

× n

S

i

N0 i=1

7

=	1		é		7,5 - 78,07		×2 +		22,5- 78,07		×3+		37,5- 78,07	×3+
	105		ë

+52,5 - 78,07 ×10 + 67,5- 78,07 ×17 +

+82,5 - 78,07 × 42 + 97,5 - 78,07 ×19 + 112,5 -78,07 ×9] =16,4 тыс.км .

		1	k
	15. Найдем дисперсию D по формуле: D =		å(ti - t )2	× n
		N
		0 i=1

D = 1051 éë(7,5 - 78,07)2 × 2 + (22,5- 78,07)2 × 3+ (37,5- 78,07)2 × 3+ +(52,5 - 78,07)2 ×10 + (67,5- 78,07)2 ×17 +

+(82,5- 78,07)2 × 42+ (97,5- 78,07)2 × 19+ (112,5- 78,07)2 × 9]= 488,24тыс.км2 .

16.Среднее квадратичное отклонение :

= D; = 488,24 = 22,096тыс.км .

17. Коэффициент вариации V =			; V =	22,096	= 0,28.
				78,07
		tср
18. Построим гистограмму распределения числа n,						частости		и
плотности f (t)	в зависимости от наработки t.
Выводы:
1. Определены:
частость i ;	- вероятность наступления			отказа	F (ti ) ;	-	вероятность

безотказной работы P(ti ); - плотность вероятности наступления отказа f (ti ); - интенсивность отказов (ti ); - средняя наработка до первого отказа tср.

Таблица 2.1

Определяемый	Обозначение	и	Номера интервалов наработки
параметр	формулы
			1	2	3	4		5	6	7	8
	расчета
Границы
интервала	-		0-15	15-	30-	45-		60-	75-	90-	105-
наработки,				30	45	60		75	90	105	120
тыс.км
Значение	ti
середины			7,5	22,5	37,5	52,5		67,5	82,5	97,5	112,5
интервала,
тыс.км
Число	ni
отказов			2	3	3	10		17	42	19	9
в интервале
(вес)

8

Накопленное							i
число отказов		r(ti ) = åni										2	5	8	18	35	77	96	105
				i=1
Число		N(t ) = N							− r(t )
работоспособных								0				103	100	97	87	70	28	9	0
объектов	к	i									i
моменту ti
Частость		i =	ni									0,019	0,02	0,028	0,095	0,161	0,4	0,180	0,085
			N0
													86	6	2	9		9	7
Вероятность		ˆ					r(ti )
наступления												0,019	0,04	0,076	0,171	0,333	0,733	0,914	1,0
отказа		F(ti ) =											8
								N0
Вероятность		ˆ					N(ti )
безотказной		P(ti ) =										0,981	0,95	0,924	0,829	0,667	0,267	0,086	0,0
								N0
работы													2
Плотность		fˆ(t ) =							ni
вероятности												0,0013	0,00	0,001	0,006	0,010	0,026	0,012	0,005
наступления		i					N0						19	9	3	8	7	1	7
отказа
Интенсивность		ˆ							ni
отказов		(ti ) =				N0						0,0013	0,00	0,002	0,007	0,016	0,1	0,140	-
													19	1	6	2		7

Значок

показывает, что подсчитанный результат получен из статистической обработки

опытных данных, т.е. из наблюдений за выборкой.
Рис. 2.1. Гистограмма распределения числа n, частости																и плотности f (t) отказов в
								зависимости от наработки t.
f(t)
2
2		0 .4			4 0
1.5		0 .3			3 0
1		0 .2			2 0
0 ,5		0 .1			10																0 t,тыс.км
																10		5 12
								15	3 0	4 5	6 0		7 5 9 0

2 Оценено рассеивание результатов:

средним квадратичным отклонением ; средним арифметическим отклонением

; дисперсией D; коэффициентом вариации V .

3.Построена гистограмма распределения числа - n, частости - и плотности отказов - f в зависимости от наработки t.

4.Полученные результаты свидетельствуют о нормальном распределении случайных величин.

9