Практическая работа № 6

Определение вероятности безотказной работы при распределении отказов по нормальному закону (закону Гаусса)

Цель работы: Определить:

-вероятность безотказной работы P(t );

-плотность вероятности наступления отказов f (t );

-вероятность отказа F (t );

-интенсивность потока отказов (t ) ;

-дисперсию D;

-коэффициент вариации V.

	Исходные данные:		ВАРИАНТ 1				ВАРИАНТ 2
	tср = 200	. ,	312 тыс. км.				185 тыс. км.
	= 40тыс.км,		56 тыс. км.				22 тыс. км.
	t1 = 250	.	387 тыс. км.				236 тыс. км.
Решение:				t − tср
	1. Заменим переменную величину					в формулах для нормального

закона величиной х, т.е. x = t − tср , тогда в нашем случае :

x = 250 − 200 =1,25.
	40
2. Из таблицы 2 приложения	найдем значение F0 (x). По формуле
перехода от нормированной функции F0 (x)		к вероятности отказа F(t):
é	т.е.	F (250) = F0 (1,25) = 0,8944 .
F (t) = F0 (x) = F0 ë(t - tср ) / ],

3. Тогда вероятность безотказной работы P(t) определим из формулы:

P(t) + F(t) =1,т.е P(t) =1− F(250) =1− 0,8944 = 0,1056 .

15

4. По формуле перехода от центрированной функции (x)к исходной

f (t):

f (t) = (x)/ ;

Значение функции (x)в таб. 3 приложения:

(x) = (1,25) = 0,1826,тогда

f (250) = 0,1826 = 0,0046 . 40

5. Интенсивность отказов (t):

(t) = Pf ((tt)) ; (250) = 0,00460,1056 = 0,043.

6.Дисперсия равна квадрату среднего квадратичного отклонения, т.е.

D = 2 :

D = 402 =1600

. 2 .

7. Коэффициент вариации V :

V =		, т.е. V =	40	= 0,2
			200
	tср

Выводы:

Определены:

-вероятность безотказной работы P(t );

-плотность вероятности наступления отказов f (t );

-вероятность отказа F (t );

-интенсивность потока отказов (t ) ;

-дисперсию D;

-коэффициент вариации V.

Полученные расчетные величины подтверждают соответствие распределения ПН закону Гаусса.

16

Практическая работа №7

Определение наработки изделия по заданной вероятности отказа (безотказности)

Цель работы:

По заданной вероятности отказа (безотказной работы) найти:

-наработку, соответствующую заданной вероятности P(t );

-плотность вероятности наступления отказов f (t );

-вероятность безотказной работы P(t ) (или вероятность отказа F (t ));

-интенсивность отказов (t ) ;

-дисперсию D;

-коэффициент вариации V.

Исходные данные:		ВАРИАНТ 1		ВАРИАНТ 2
tср = 200 .		312 тыс. км.		185 тыс. км.
= 40тыс.км.		56 тыс. км.		22 тыс. км.
F(t) = 0,9		0,89		0,76
Решение:
1. Наработка tp	при заданной вероятности отказа			F(t)определяется по
формуле:		tp = t +U × ,

где индекс « p »означает «вероятность», а U p - квантиль, т.е. применительно к

теории надежности, это наработка, при которой будет иметь место заданная вероятность отказа (или безотказной работы).

2. Функции F(t) = F(tp ) соответствует нормированная функция

F0 (x) = F0 (U p ),

при этом t = tp и x = U p .

Из таблицы 2 приложения найдем квантиль U p = x при F(t) = 0,9 (в таблице необходимо от заданной F0 (x) найти значение х):

x = U p =1,28, тогда tp = 200 +1,28× 40 = 251,20 . .

17

3. Плотность вероятности наступления отказов f (t) для нормального закона по формуле перехода от центрированной функции (t) к исходной будет

равна: f (t) = (x) ; значение (x) определяется из таблицы 3 приложения:

(1,282) = 0,1758, тогда f (251,20) = 0,1758 = 0,0044.

40

4. Вероятность безотказной работы P(t) :

P(t) =1− F(t), т.е. P(251,2) =1− 0,9 = 0,1.

	5.	Интенсивность отказов: (t) =			f (t)		, (251,2) =		0,0044	= 0,044 .
					P(t)				0,1
	6.	Дисперсия D :
		D = 2, т.е.	D = 402 =1600					. 2 .
	7.	Коэффициент вариации V :
		V =		=	40		= 0,2.
					200
			tср

Выводы:

По заданной вероятности отказа определены:

-наработка, соответствующая заданной вероятности P(t );

-плотность вероятности наступления отказов f (t );

-вероятность безотказной работы P(t );

-интенсивность отказов (t ) ;

-дисперсия D;

-коэффициент вариации V.

18

Практическая работа № 8

Графический метод определения оценок параметров распределения (построение вероятностной бумаги)

Цель работы:

Методом построения вероятностной сетки (бумаги) определить закон распределения параметров надежности.

Исходные данные: использованы из практической работы № 2

Оценка параметров распределения производится по опытным данным. По ним же определяется, какому закону распределения соответствуют эти данные.

Путем несложных преобразований функцию F(t) можно в прямоугольной системе координат с неравномерными шкалами представить в виде прямой линии. В этом случае визуальное сравнение эмпирических данных с предполагаемым теоретическим может быть сделано с достаточной для практики точностью. Прямоугольная координатная сетка с измененным масштабом по осям носит название вероятностной сетки или вероятностной

бумаги.

Рассмотрим метод построения вероятностной сетки для распределения Вейбулла на примере данных табл.8.1.

1

æ

t

öb

ç

÷

ç t

÷

Представим функцию F(t) из табл.8.1 в виде

= eè

0

ø

и

[1− F(t)]

дважды прологарифмируем:

1п1п

1

= bln

t

= ln10b(lgt − lgt0 )

1− F(t)

t0

1п1п

1

= 2,303blgt − 2,303blgt0

1− F(t)

Обозначим:

ln ln

1

=y;

lg t=x ; -2,303 b lg t0 =C.

1− F(t)

Тогда:

y=2,303bx+C ,

т. е. получена линейная зависимость. Теперь построим координатную сетку, на которой по оси ординат будут отложены отрезки, пропорциональные х, а по оси абсцисс — пропорциональные у, Выражение y=2,303bx+C представ-лено в виде прямой линии.

19

Таблица 8.1(таб.2.1)

Определяемый	Обозначение и													Номера интервалов наработки
параметр	формулы
														1	2	3	4	5	6	7	8
	расчета
Границы
интервала	-													0-15	15-	30-	45-	60-	75-	90-	105-
наработки,															30	45	60	75	90	105	120
тыс.км
Значение
середины	ti													7,5	22,	37,5	52,5	67,5	82,5	97,5	112,
интервала,															5						5
тыс.км
Число
отказов	ni													2	3	3	10	17	42	19	9
в интервале
(вес)
Накопленное								i
число отказов	r(ti ) = åni													2	5	8	18	35	77	96	105
					i=1
Число	N (t ) = N										− r(
работоспособ-										0				103	100	97	87	70	28	9	0
ных объектов к			i
моменту ti
Частость	= ni
		i												0,019	0,0	0,02	0,09	0,16	0,4	0,18	0,08
				N0
															286	86	52	19		09	57
Вероятность								r(ti )
наступления	ˆ													0,019	0,0	0,07	0,17	0,33	0,73	0,91	1,0
отказа	F(ti ) =														48	6	1	3	3	4
									N0
Вероятность	ˆ							N(ti )
безотказной	P(ti ) =													0,981	0,9	0,92	0,82	0,66	0,26	0,08	0,0
									N0
работы															52	4	9	7	7	6
Плотность
вероятности	fˆ(t ) =								ni
наступления			i					N0						0,0013	0,0	0,00	0,00	0,01	0,02	0,01	0,00
отказа															019	19	63	08	67	21	57
Интенсивность	ˆ	(ti ) =							ni
отказов							N0							0,0013	0,0	0,00	0,00	0,01	0,1	0,14	-
															019	21	76	62		07

20

Обозначим масштаб по оси абсцисс Кх и отложим на ней отрезки: Sx(t)=Kx , x=Kx lg t

где Кx = L/(lg tmах — lg tmin)=129/ (lg117 – lg6)= 129/(2,0682 – 0,7782) =129/1,29=100; L — ширина графика выбирается исходя из размера бумаги и таким образом, чтобы Кx было удобным, лучше круглым числом.

Принимаем К= 100мм.

Для выбора масштаба по оси ординат зададимся значениями Fmin= 0,001 и Fmах

(t) = 0,999 (при F (t) =0 и F (t)=1 выражение y= ln ln									1		теряет смысл).
									1− F(t)
Тогда:
Ymax = ln ln	1			= 1,93
		1− 0,999
Ymin = lnln	1			= −6,91
	1− 0,001
По оси ординат будем; откладывать отрезки:
				SY (F ) =	H	Y =	H	Y
					Ymax − Ymin
						8,84

где Н - высота графика (принимаем Н= 200мм), а Y подсчитывается по формуле из табл. 8.2.

Таблица 8.2

	Определяемый						Номера интервалов наработки
	параметр
					1	2	3	4	5	6	7	8
	ti				7,5	22,5	37,5	52,5	67,5	82,5	97,5	112,5
	xi=lgti				0,8751	1,3522	1,5740	1,7202	1,8293	1,9165	1,9890	2,0512
	Sx(ti)=Kxxi, мм				87,51	135,22	157,40	172,02	182,93	191,65	198,90	205,12
	ˆ	=	r(ti )
	F(ti )				0,019	0,048	0,076	0,171	0,333	0,733	0,914	1,0
			N0
	1 - F(ti)=Р(ti)				0,981	0,952	0,924	0,829	0,667	0,267	0,086	0,0
	1/[1 - F(ti)]				1,0193	1,0504	1.0822	1,2062	1,4992	3,7453	11.628	∞
	ln0,01981/[1 - F(ti)]				0,0198	0,0488	0,0770	0,1823	0,4055	1,3191	2,4508	-
	Y= lnln1/[1 - F(ti)]				-3,922	3,0201	-2,564	-1,704	-0,904	0,2776	0,8920	-
	SY(F(t))=Y·200/8,84				-88,73	-68,32	-58,0	-38,54	-20,45	6,28	20,17	-

21

Предположим, что отказы, зафиксированные в этой таблице распределены по закону Вейбулла. Построим вероятностную шкалу, для чего составим вспомогательную таблицу (табл. 4.5)

Определим ширину графика L и масштаб Кx по оси х. Наименьшее значение наработки tmin=6, а tmax=117

lgtmax- lgtmin= lg117- lg 6=1,29.

Выберем Кх=100 мм. Тогда из формулы для Кх, L=129 мм. Подсчитаем значение xi =lgti и внесем их в таблицу

Подсчитаем Sx (ti)=Кх xi =100 lgti (мм).

Внесем в таблицу значения Fˆ (ti ) = r(ti ) из табл.8.1.

N0

Выберем размер графика по высоте Н =200 мм. С помощью табл. 8.2 подсчитаем значения

Sy(F ) = 200/8,84)·у (мм).

Промежуточные значения можно с некоторой погрешностью получить интерполированием или рассчитать по формуле :

SY (F ) =	H		Y =	H	Y
				8,84
	Ymax − Ymin
Построим вероятностную шкалу,		отложив,			но осям (t) и F(t)

соответствующие отрезки Sx(ti) и Sy(F).

Найдем пересечения значений ti и F(ti) из табл. 4.5 и пометим их точками. Проведем прямую линию таким образом, чтобы точки были как можно ближе к этой прямой (равное количество по обе ее стороны). Все это проделано на рис. 12, из которого следует, что, начиная с наработки t=35 тыс, км, прямая соединила почти все точки. Это свидетельствует о том, что сделанные нами предположения о выборе закона распределения, по крайней мере начиная с этой наработки, правильны. Можно предположить, что в начальный период, т. е. при наработке до 25 тыс, км, отказы распределяются по экспоненциальному

закону.
Полученный график позволит нам определить параметры распределения	и
подсчитать показатели надежности.

22

Из выражения Y=(8,84/Н)SY(F) и из формулы x=(1/Кх )Sx (t) подста-вим в выражение : y=2,303bx+C, где коэффициент при х есть угловой коэффициент

8,84 SY (F )=

2,303 bSX (t)+ C ; SY

(F )=

2,303H ×

b

SX (t)+ C ;

KX

H

KX

8,84

2,303H

×

b

= tg ;

b = 8,84KX

tg

8,84

KX

2,303H

Определив

параметр

b

распределения

Вейбулла, находим

второй

1

æ t

öb

ç

÷

параметр t0 из выражения

ç

÷

. Если t = t0, то 1/ [1 –F(tσ)]=e

и тогда

= eè t0 ø

[1- F(t)]

23

F(t0)=(e-1)/e=0,6321.

Рис. 4.5. Определение параметров распределения Вейбулла с помощью вероятностной сетки

Таким образом, t0 есть значение t, когда F (t) =0,6321.

Учитывая, что lgt0 =Sx (t0)/Кx . Замерим Sx (t0) = 180 мм и угол β= 66 0

	(рис. 4.5).
	Тогда: b =			8,84 ×100	tg660 = 4,3; lgt0=180/100 =1,8; t0= 101,8 ≈ 63 тыс. км.
				2,303× 200
	Для рассматриваемого примера закон Вейбулла принял следующий
	конкретный вид:
	æ	t	ö4,3
	-ç		÷
	P(t) = e è	63	ø

Теперь можно рассчитать любые параметры распределения и показатели надежности, в результате получим:

tСР=57 тыс. км; D=228тыс.км2; σ=15,1 тыс. км ;ν=0,26.

Аналогично строятся координатные сетки для нормального и экспоненциального распределения.

Таким образом, с помощью вероятностных шкал с достаточной для практики точностью можно определить, какому закону распределения следуют полученные из наблюдений данные, и на этой основе найти параметры распределения и другие показатели надежности.

24

Практическая работа №9

Определение вероятности безотказной работы при заданной наработке

Цель работы: Определить:

-вероятность безотказной работы P(t );

-плотность вероятности наступления отказов f (t );

-вероятность отказа F (t );

-интенсивность потока отказов (t ) ;

-среднюю наработку до первого отказа tср;

-дисперсию D;

-среднее квадратичное отклонение ;

-коэффициент вариации V.

Исходные данные:

Путем обработки данных об отказах изделия выявлено, что распреде-

ление отказов происходит по закону Вейбулла с параметрами:
t0 - параметр масштаба		t0 =100	. ; b - параметр формы			b = 2, при
заданной наработке t = 40		.
				Таблица 9.1 – Варианты задания
		t0		b		t
Вариант 1		276		3		42
Вариант 2		325		2		45

Решение:

1. Найдем вероятность безотказной работы P(t) по формуле для закона Вейбулла:

−( t )b

P(t) = e t0 ,

где e = 2,718 - основание натуральных логарифмов

P(40) = e−(10040 )2 = 2,718−(0,4)2 =0,852

2.Вероятность отказа F(t):

F(40) =1− P(40) =1− 0,852 = 0,148

3.Плотность вероятности наступления отказа f (t) по формуле для закона Вейбулла равна:

25

t

b

40

2

f (t) =

b

× (

t

)b−1 ×e−(t0 )

;

f (40) =

2

× (

40

)2−1

× 2,718−(

)

= 0,00682

100

t0

t0

100

100

4. Интенсивность отказов (t) равна:

(t) =

b

× (

t

)b−1

или (t) =

f (t)

,

(40) =

2

× (

40

)2−1

= 0,008

t0

t0

P(t)

100

100

5. Средняя наработка до первого отказа tср по формуле закона Вейбулла будет равна:

æ	+	1 ö		,
tcp = to × Gç1		b	÷
è			ø

где буква Γ в количественных характеристиках закона Вейбулла обозначает гамма функцию ( таблица 1 приложения).

Для

условий нашей

задачи

G(x) = G(1+

1) = G(1+ 1) = G(1,5) = 0,8862,

тогда

b

2

tср =100 × 0,8862 = 88,62

.

6. Дисперсия D по формуле для закона Вейбулла равна:

2

ì

2

ö

é æ

1 öù

2 ü

2

ì

2

ö

é æ

1

öù

2

ü

ï æ

+

ï

,

т.е

D =100

ï æ

+

+

ï

=

D = t0

íGç1

b

÷

- êGç1+

÷ú

ý

íGç1

2

÷

- êGç1

2

÷ú

ý

ï è

ø

ë è

b øû

ï

ï è

ø

ë è

øû

ï

î

þ

î

þ

=1002 {1- G(2) - éG(1,5)ù2}=1002 (1- 0,8862 )= 2150тыс.км2

ëû

7. Среднее квадратичное отклонение = D :

= 2150 = 46,4тыс.км

8. Коэффициент вариации V = :

tср

V= 88,646,4 = 0,52

9.Выводы:

Полученные расчетные параметры подтверждают правильность утверждения о распределении ПН в соответствии с законом Вейбулла

26

Практическая работа № 10

Определение оптимального ресурса машины и уровня затрат на запасные части

Цель работы:

1. Определить теоретические затраты на запасные части Сзч(t) для данной машины по интервалам наработки.

2 Рассчитать оптимальный ресурс tр машины графическим и аналитическим способами.

3 Спрогнозировать расход на запасные части за период наработки до оптимального ресурса С Σзч (tр).

4.Произвести анализ изменения суммарных затрат на запасные части

СΣзч (tр).

5.Исходные данные в табл. 10.1

								Таблица 10.1
	Удельные фактические затраты на запасные части-					Сзч (t),	Сумма	Стоимость
	(руб/м.ч) по интервалам наработки, м.ч						коэффиц.	машины
	0	2000	4000	6000	8000	10000
							А+В+С	С0 руб.
	2000	4000	6000	8000	10000	12000
	0,015	0,030	0,070	0,090	0,15	0,15	3,0	22400
				Вариант 1
	Удельные фактические затраты на запасные части-					Сзч (t),	Сумма	Стоимость
	(руб/м.ч) по интервалам наработки, м.ч						коэффиц.	машины
	0	2000	4000	6000	8000	10000
							А+В+С	С0 руб.
	2000	4000	6000	8000	10000	12000
	0,026	0,042	0,083	0,11	0,19	0,195	2,8	35260
				Вариант 2
	Удельные фактические затраты на запасные части-					Сзч (t),	Сумма	Стоимость
	(руб/м.ч) по интервалам наработки, м.ч						коэффиц.	машины
	0	2000	4000	6000	8000	10000
							А+В+С	С0 руб.
	2000	4000	6000	8000	10000	12000
	0,018	0,032	0,076	0,1	0,17	0,182	2,9	22800

27