- •Міністерство освіти і науки україни Дніпропетровський національний університет залізничного транспорту імені академіка в.Лазаряна
- •Дніпропетровськ-2013
- •Теоретичні питання. Розтягання (стискання)
- •Міцність та жорсткість матеріалів при розтяганні (стисканні)
- •Аналіз напружено деформованого стану
- •Приклади розвязання тестових завдань розтягання (стискання) Епюри поздовжніх сил та нормальних напружень
- •Аналітичні вирази для визначення площі поперечного перерізу та подовження стержня при розтяганні (стисканні)
- •Міцність при розтяганні (стисканні) без урахування власної ваги
- •Жорсткість при розтяганні (стисканні) без урахування власної ваги
- •Стержневі системи
- •Аналіз напружено деформованого стану Круги Мора
- •Лінійний напружений стан
- •Плоский напружений стан
- •Статично невизначувані задачі на розтягання (стискання)
- •Приклади розв’язку тестових завдань Епюри поздовжніх сил та нормальних напружень
- •Аналітичні вирази для визначення площі поперечного перерізу та подовження стержня при розтяганні (стисканні)
- •Міцність при розтяганні (стисканні) без урахування власної ваги
- •Жорсткість при розтяганні (стисканні) без урахування власної ваги
- •Стержневі системи
- •Круги Мора
- •Лінійний напружений стан
- •Плоский напружений стан
- •Об’ємний напружений стан
- •Статично невизначувані задачі на розтягання (стискання)
Об’ємний напружений стан
Тест 1.
В сталевій плиті (рис. 111) зроблений отвір кубічної форми з розмірами
1 см×1 см×1 см . В цей отвір щільно без зазорів вставлений кубик розміром
1 см×1 см×1 см стиснутий силою F=6 кН . Визначити головні напруження в кубику, якщо μ=0,3.
Розв’язок
Якщо зволікти куб зі сталевої плити, то по всіх його гранях будуть діяти стискаючи зусилля та створюватися відповідні їм стискаючі напруження. Це пояснюється наступним. В напрямку дії вертикального стискаючого зусилля F будуть створюватися вертикальні деформації стиску, а в поперечних напрямках почнуть створюватися за законом Пуассона деформації розтягу. Враховуючи те, що між бічними стінками куба та плити немає зазорів, в поперечних напрямках від бічних стінок плити будуть діяти однакові стискаючі реакції R1=R2 (тіло ізотропне, а розміри ребер куба однакові). Напруження в напрямку дії стискаючої сили F визначаються за формулою . Реакції R1=R2 неможливо визначити з рівнянь статики. Тому слід розглянути деформації в напрямку дії цих реакцій. За законом Гук для об’ємного напруженого стану маємо:
Після скорочення на множник та приймаючи до уваги, що розміри граней куба і реакції R1=R2 однакові, напруження також будуть однакові тобто . В такому разі замість системи двох рівнянь можна розглядувати одне рівняння видуЗ цього рівняння отримаємо. Таким чином, напруження дорівнюють.
Рис. 111.
Тест 2
В сталевій плиті зроблений паз шириною та глибиною 1 см . В цей паз щільно без зазорів вставлений кубик розміром 111 см стиснутий силою F=6 кН . Визначити головні напруження в кубику, якщо μ=0,33 (рис. 111).
Розв’язок.
Зволікаєм куб з плити. При цьому у вертикальному напрямку дії сили F будуть створюватися стискаючи деформації та відповідні їм нормальні напруження . В напрямку розташування паза грань куба є вільною, тому в цьому напрямку будуть за законом Пуасона створюватися деформації розтягу, але ж напруження по цій грані куба будуть відсутні. В напрямку бічних стінок плити також буде створюватися розтяг ребер куба, але ж стінки плити будуть спричиняти опір такому деформуванню. Тому з боку бічних стінок плити будуть діяти реакції R, які приведуть до створення стискаючих напружень. Приймаючи до уваги, що матеріал куба є ізотропним, тому напруження в напрямку дії сили F будуть найбільшими стискаючими, а напруження від реакції стінок Rє також стискаючими, але ж меншими ніж від сили F. Напруження від дії стискаючої сили F дорівнюють. Напруження в напрямку розташування паза дорівнюють нулю, тобто. Реакцію стінки плити за рівняннями статики визначити не можливо, але ж деформація у цьому напрямку. Тому стискаюче напруження від дії реакції стінки визначимо з рівняння закону Гука для головних деформацій при плоскому напруженому стані
. З цього виразу отримуємо
Таким чином остаточно маємо .
Статично невизначувані задачі на розтягання (стискання)
Тест 1.
Визначити напруження в лівій частині сталевого стержня (рис. 112), якщо зазор між лівою частиною та стержнем ∆=0,2 мм, площа перерізу стержняА=5 см2, модуль пружності матеріалу
Рис. 112. Е=2∙105 МПа.
Розв’язок:
Під дією зовнішньої сили F стержень збільшує свою довжину на величину зазору - ∆. Далі його збільшення буде припинено за рахунок нерухомої лівої стінки, де виникне додаткова опорна реакція R1. Тому в задачі з’являється додаткове невідоме зусилля, яке не можна знайти тільки за допомогою рівняння рівноваги:
(1)
Складаємо додаткове рівняння деформацій:
(2)
За допомогою закону Гука перетворюємо рівняння деформацій в рівняння невідомих зусиль R1 і R2:
; . (3)
Визначимо внутрішні сили N1 та N2 за допомогою методу перерізів:
Тоді:
; .
Підставимо отримані вирази ∆li в рівняння (2):
Рішимо систему рівнянь:
;
;
;
;
.
Напруження в лівій частині стержня буде дорівнювати:
.
Тест 2.
Абсолютно жорстка балка (рис. 113) спирається на три бетонні колони (Еб=15∙105 МПа) однакового поперечного перерізу А=500 см2. Між балкою та середньою колоною до навантаження був зазор ∆=0,4 мм. Знайти напруження в усіх колонах.
Рис. 113.
Розв’язок:
Під дією зовнішнього навантаження колони стискуються на деяку величину, яка буде більше ніж зазор ∆, який був до прикладання розподіленого навантаження між жорсткою балкою та середньою колоною. Тому у всіх колонах виникнуть внутрішні сили (дивись рис. 114).
Для відсіченої частини конструкції залишимо рівняння рівноваги:
якщо , то
(1)
Рис. 114
Складаємо додаткове рівняння деформацій. Зміна довжини кожної колони показано на рис. 115:
(2)
За допомогою закону Гука перетворимо рівняння деформацій в рівняння відносно невідомих зусиль Ni.
Рис. 115
; .
Підставимо записані вирази до рівняння (2):
Рішимо систему рівнянь:
Тест 3.
Визначити напруження в стержні (рис. 116) при підвищенні його температури на ∆t0=500, якщо a=0,5 м, b=0,6 м, ∆=0,5 мм. Коефіцієнт лінійного розширення для сталі αст=1,25∙10-5 1/град, для міді αм=1,65∙10-5 1/град. Модуль пружності сталі: Ест=2∙105 МПа, міді Ем=105 МПа.
Рис.116.
Розв’язок
Під дією температури стержень спробує збільшити свою довжину, тому з двох сторін виникнуть опорні реакції R1 та R2.
Визначимо ступінь статичної невизначуваності, як різницю між кількістю невідомих зусиль (R1 та R2)
Рис .117. та числом рівнянь рівноваги,
які не перетворюються в тотожній нуль.
Складемо можливі рівняння рівноваги:
Складемо додаткове рівняння деформацій (див.рис.118):
(1)
Тобто стержень під дією температури зможе збільшити свою початкову довжину тільки на величину зазору ∆.
Рис .118.
За допомогою закону Гука перетворимо рівняння деформацій в рівняння відносно невідомих зусиль R1 та R2.
; .
Внутрішні зусилля визначимо за допомогою методу перерізів:
;
;
; .
;
.
Підставимо отримані вирази в рівняння (1):
Відомо, що напруження при розтяганні (стисканні) визначається за формулою:
якщото
Тест 4.
Визначити напруження в стержні (рис. 119) ліворуч від перерізу, в якому прикладена сила, якщо F=400 кН, площа поперечного перерізу А=20 см2, модуль пружності сталі Ест=2∙105 МПа, міді Ем=105 МПа.
Рис .119.
Розв’язок:
Під дією зовнішньої сили F стержень намагається змінити свою довжину, але за рахунок опорних реакцій жорстких опор зліва та справа його повне подовження буде дорівнювати нулю.
Визначимо ступінь статичної невизначуваності:
Рис .120.
Кількість невідомих опорних реакцій дорівнює 2 (рис. 120).
Кількість рівнянь рівноваги, які не перетворюються у тотожний нуль – 1.
Складемо рівняння рівноваги:
. (1)
Складемо додаткове рівняння деформацій:
. (2)
За допомогою закону Гука перетворимо рівняння деформацій в рівняння відносно невідомих зусиль R1 та R2.
; ;.
Внутрішні зусилля N1,N2 та N3, визначимо за допомогою методу перерізів:
Підставимо знайдені внутрішні сили в вираз ∆li.
; ;.
Вирішимо систему рівнянь, яка складається з рівняння (1) та перетвореного рівняння (2).
;
;
;
.
.
.
Враховуючи, що , то
.