1. 3. Основные теоремы теории вероятности

Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

(1.6)

или для любого числа несовместных событий:

. (1.7)

Вероятность же суммы совместных событий С и Д определяется выражением:

, (1.8)

здесь Р(СД) - вероятность произведения (совместного появления) событий.

Для трех совместных событий С, Д, Е:

. (1.9)

Вероятность произведения двух совместных событий:

. (1.10)

Вероятность произведения трех совместных событий:

(1.11)

Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

. (1.12)

Задачи к разделу 1

Задача 1.1. Уменьшение расхода фильтросных пластин возможно вследствие: закупорки твердыми частицами (А); кольматажа (В); технологических дефектов (С). Их вероятности: Р(А)=0,10; Р(В)=0,02; Р(С)=0,30. Определить вероятность уменьшения расхода капельниц по сравнению с расчетным.

Задача 1.2. В насосной станции установлены три насосных агрегата (А₁, А₂, А₃), из которых А₁ и А₂ дублируют друг друга. А₃ - резервный и работает только в период максимального водопотребления.

Отказ насосной станции происходит только при отказе всех насосных агрегатов, т. е.

,

где А₁¹, А₂¹, А₃¹ - отказы насосных агрегатов А₁, А₂, А₃, соответственно.

Определите вероятность события В.

Задача 1.3. Подъемное устройство затворов шлюза состоит из трех основных узлов: троса А₁, подъемника А₂, электродвигателя подъемника А₃. Отказ хотя бы одного узла приводит к отказу всего подъемного устройства. За время t вероятность безотказной работы составила: узла А₁ - Р₁=0,99; А₂ - Р₂=0,98; А₃ - Р₃=0,95. Каждый из узлов, независимо от других, может в течение времени t выйти из строя. Найти вероятность безотказной работы подъемного устройства в целом.

Решение: Учитывая, что отказ хотя бы одного узла приводит к отказу всего подъемного устройства, то вероятность безотказной работы подъемного устройства в целом находим по формуле (1.12):

Задача 1.4. В результате наблюдения за паводками получены следующие значения расходов воды в реке (м³/ч):

500	650	780	980	1100	1220	1340	1500	1680	1590
1650	1489	1256	1543	1697	1563	1796	1506	1641	1236
2100	2220	2340	2500	2680	2590	2650	2489	2256	2543
2697	2563	2796	2506	2641	2236	2654	2354	3560	3480
3980	3654	3251	3642	4051	4026	4058	4561	5589	6354

Построить гистограммы и функции распределения.

2. Основные показатели надежности

Единичные показатели количественно характеризует только одно свойство надежности объекта (среднее время безотказной работы, средняя наработка на отказ, интенсивность отказов, вероятность безотказной работы и т. д.).

1. Среднее время безотказной работы Т_ср и средняя наработка на отказ Т_0.

Оба параметра характеризуют продолжительность исправной работы объекта. Параметр Т_ср применяется для невосстанавливаемых объектов, а Т₀ – для восстанавливаемых.

а) Среднее время безотказной работы Т_ср - математическое ожидание наработки объекта до первого отказа. По статистическим данным средняя наработка до отказа определяется по формуле:

(2.1)

здесь t_i – продолжительность безотказной работы i-го объекта;

N – количество испытуемых объектов.

б) Средняя наработка на отказ Т₀ - отношение наработки восстанавливаемого объекта к математическому ожиданию числа отказов в течение этой наработки. По статистическим данным наработка на отказ:

(2.2)

здесь t_i – продолжительность работы объекта между (i-1) и i отказами; i=1, 2, …,n;

n – количество отказов всех объектов (n=n_i ∙N);

n_i – количество отказов i-го объекта за время испытаний.

Закон распределения t_i во времени может быть найден путем статистической обработки результатов испытаний.

2. Интенсивность отказов λ и параметр потока отказов ω.

Величина λ применяется для характеристики невосстанавливаемых объектов, а ω– для восстанавливаемых. Обе величины представляют собой количество отказов одного объекта в единицу времени – в год или в час.

Интенсивность отказов λ – это условная плотность вероятности возникновения отказа, определяемая для рассматриваемого момента времени при условии, что до этого момента отказ объекта не возник. Вычисляется по формуле:

(2.3)

(2.4)

здесь n – количество отказов всех испытуемых объектов в течение времени t;

N_ср – среднее количество испытуемых объектов в промежутке времени t, , гдеN₀ и N_t – количество исправно работавших объектов в начале и конце отрезка времени t;

t - продолжительность испытаний, часов или лет.

Иногда λ и ω называют опасностью отказов. По данным испытаний может быть найден закон дифференциального распределения и

Из приведенных выше формул видно, что если известны величины λ или ω, то количество отказов за время t может быть вычислено по формулам:

или

Для линейных сооружений – трубопроводов, линий электропередач, дорог- величины λ и ω относят к 1 км длины объекта и измеряют в ,

Кроме этого, связь между интенсивностью отказов и наработкой на отказ описывается следующей зависимостью:

. (2.5)

В расчетах надежности используют только среднее значение λ.

3. Вероятность безотказной работы Р(t) – это вероятность того, что в течение заданного промежутка времени t не произойдет ни одного отказа объекта, если условия эксплуатации при этом находились в заданных пределах. В технической литературе эту вероятность обозначают просто буквой Р.

По результатам испытаний вероятность безотказной работы вычисляется по формуле:

(2.6)

где N₀ – количество испытуемых объектов в начале периода испытаний t;

n_t – количество отказавших объектов за время t.

С величиной Р связана вероятность отказа Q(t) или просто Q – вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации в заданном интервале времени возникает хотя бы один отказ:

. (2.7.)

Безотказная работа и отказ являются событиями несовместными и противоположными, поэтому:

(2.8)

тогда . (2.9)

В теории надежности показывается, что величины P и Q связаны со временем t и интенсивностью отказов λ зависимостью:

, (2.10)

(2.11)

Поскольку, то, приt=T_o и приt>T_o P<0,368.

4. Среднее время восстановления (ремонта) Т_в представляет собой среднее арифметическое величин продолжительности ремонта объектов:

(2.12)

здесь t_вi - продолжительность ремонта объекта после i-го отказа, ч;

N_в - количество ремонтов (восстановлений) объектов.

5. Интенсивность восстановления (скорость восстановления) µ представляет собой количество восстановленных (отремонтированных) объектов за единицу времени. Со средним временем восстановления она связана соотношением:

(2.13)

поскольку (2.14)

_{Комплексные показатели количественно характеризуют не менее двух основных свойств, характеризующих надежность (например, безотказность и ремонтопригодность): коэффициент готовности, коэффициент простоя и т. д.}

_{1) Коэффициент готовности Кг - вероятность того, что объект будет находиться в работоспособном состоянии в любой произвольный момент времени t от начала эксплуатации, кроме периодов, когда работа объекта не предусмотрена. Кратко Кг – это вероятность застать объект в исправном состоянии. В теории надежности показано, что величина Кг определяется соотношением:}

. (2.15)

_{Именно это формула используется для расчетов коэффициентов готовности технических систем. Учитывая, что µ=1/Тв, а λ=1/Т0, получим:}

. (2.16)

_{Таким образом, Кг – это отношение времени исправной работы к сумме времени исправной работы и времени восстановления. По данным эксплуатации или испытаний величина коэффициента готовности вычисляется по формуле:}

(2.17)

где t_i– время, прошедшее между (i-1) и i-ым отказами;

t_Вi – время восстановления после i-го отказа;

n – число отказов за рассматриваемый период.

_{2) Коэффициент оперативной готовности Ко.г. – вероятность того, что объект в произвольный момент времени окажется работоспособным и с этого момента будет работать безотказно в течение заданного времени t:}

. (2.18)

_{Величину Ко.г. считают более полной характеристикой надежности технического объекта, ее иногда называют вероятностью нормального функционирования объекта или общей надежностью.}

_{3) Коэффициент использования Ки является показателем долговечности и представляет собой отношение суммарного времени исправной работы к сумме времени исправной работы, восстановления и дополнительных простоев, взятых за один и тот же календарный срок}

(2.19)

здесь - время дополнительного простоя объекта послеi-го отказа, ч.

Величину К_п=1-К_и называют коэффициентом простоя.