- •Список прийнятих скорочень
- •Тема 1. Інформатика і інформаційні технології.
- •Лекція 1. Інформатика і інформаційні технології. Основи алгоритмізації.
- •Інформатика і інформаційні технології.
- •Основні напрями застосування обчислювальної техніки
- •Етапи дослідження прикладних задач
- •Основи алгоритмізації процесів обробки інформації
- •Схеми алгоритмів
- •Лекція 2. Машинна арифметика і погрішності обчислень
- •Двійкові числа
- •Наукове позначення
- •Машинні числа
- •Комп'ютерні числа із плаваючою крапкою
- •Погрішність рішення задачі
- •Структура погрішності
- •Значущі цифри
- •Розповсюдження помилки
- •Одиниці вимірювання інформації
- •Тема 2. Операційна система Windows
- •Лекція 3. Основні зведення про операційну систему Windows
- •Класифікація програмного забезпечення
- •Операційна система
- •Загальні зведення про операційну систему Windows 98
- •Властивості об'єктів
- •Графічна оболонка Windows 98
- •Файлова система комп'ютера: імена файлів
- •Файлова система комп'ютера: папки
- •Файлова система комп'ютера: повне ім'я файлу
- •Керування об'єктами за допомогою «миші»
- •Операції над об'єктами: операції над папками
- •Операції над об'єктами: операції над файлами і ярликами
- •Операції над об'єктами: операції копіювання і переносу
- •Деякі стандартні програми
- •Елементи стандартного вікна системи Windows 98
- •Керування вікнами
- •Діалогові вікна. Вікна властивостей.
- •Доступ до файлової системи комп'ютера за допомогою додатка «Мій комп'ютер».
- •Доступ до файлової системи комп'ютера за допомогою програми «Провідник»
- •Тема 3. Табличний процесор Excel
- •Лекція 5. Основні зведення про табличний процесор Excel
- •Коротка історія Excel
- •Excel – табличний процесор.
- •Концепція об'єктної моделі
- •Інтерфейс користувача
- •Робота з книгами
- •Робоче поле табличного процесора (Таблиці)
- •Активна клітка.
- •Інтервал кліток.
- •Уведення даних у клітку.
- •Лекція 6. Робота з формулами в табличному процесорі Excel
- •Елементи формул
- •Уведення формул
- •Ручне уведення формул
- •Уведення формул із указівкою посилань на осередки
- •Граничний розмір формул
- •Застосування операторів у формулах
- •Пріоритет операторів
- •Вкладені дужки
- •Помилки у формулах
- •Поняття «функція»
- •Категорії функцій
- •Типи аргументів функцій
- •Способи уведення функцій у формулу
- •Ручне уведення функцій
- •Вставка функції за допомогою діалогового вікна Майстер функцій
- •Корисні ради по уведенню функцій
- •Деякі найбільше часто використовувані функції
- •ACOS
- •ASIN
- •ATAN
- •СТУПІНЬ
- •СРЗНАЧ
- •ОКРУГЛИТИ
- •Логічні функції
- •Лекція 7. Форматування осередків
- •Зміна параметрів шрифтів
- •Форматування чисел
- •Форматування обрамлення і заливання
- •Вирівнювання вмісту осередків
- •Скасування форматування
- •Лекція 8. Видалення, перенос і копіювання кліток
- •Видалення вмісту кліток.
- •Перенос умісту кліток.
- •Копіювання вмісту кліток.
- •Поширення вмісту кліток
- •Випадки копіювання
- •Посилання на осередки і діапазони осередків
- •Створення абсолютного посилання
- •Створення посилань на осередки інших робочих аркушів або робочих книг
- •Використання посилань для відновлення даних ушкодженого файлу
- •Створення точної копії формули
- •Приховання формул
- •Рівні захисту
- •Захист формули від перезапису
- •Захист структури робочої книги
- •Лекція 9. Побудова діаграм
- •Майстер діаграм
- •Зміна типу діаграми
- •Зміна назви осей координат і діаграми
- •Виділення окремого елемента діаграми.
- •Загальні дії з обраним елементом діаграми.
- •Додавання і зміна легенди.
- •Заміна ряду даних.
- •Вставка координатної сітки.
- •Зміна координатної сітки.
- •Обертання тривимірної діаграми.
- •Висновок у діаграмі міток даних.
- •Додатки
- •Список літератури.
- •Основна література
- •Додаткова література
Гранична відносна погрішність наближення а* визначається відношен-
ням δ (a* )= (aa** ). Звідси виходить часто використовуване співвідношення: |
|
(a* )=δ (a * ) a * . |
(2.12) |
Структура погрішності
Є чотири джерела погрішності результату: математична модель, початкові дані, наближений метод і округлення при обчисленнях (рис. 2.2).
СТРУКТУРА ПОГРІШНОСТІ РЕЗУЛЬТАТУ |
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ |
|
ПОЧАТКОВІ ДАНІ |
|
ПОГРІШНІСТЬ МЕТОДУ |
|
ОКРУГЛЕННЯ ПРИ ОБЧИСЛЕННЯХ |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.2 Структура погрішності результату чисельного рішення
Один з типів погрішностей обумовлений неадекватністю вибраної математичної моделі початкової фізичної. Ця неадекватність більшою чи меншою мірою властива всім приблизно вирішуваним задачам. Дана погрішність з’являється неусувною, і вона визначається на восьмому етапі рішення задачі (див. рис. 1.1). Решта трьох типів погрішностей з’являється суто обчислювальними і обумовлені наступними причинами.
Початкові дані нерідко неточні; наприклад, це можуть бути експериментально зміряні величини. Так, наприклад, в прецизійних фізичних вимірюваннях точність доходить до 10-12, Та вже характерна астрономічна і геодезична точність рівна 10-6, а в багатьох фізичних і технічних задачах погрішність вимірювання буває 1 – 10%. Погрішність початкових даних δ x приводить до так зва-
19
ної неусувної (вона не залежить від математика) погрішності рішення
.δ y = A(x +δ x)− A(x)
Якщо усунути невизначеність в початкових даних, наприклад, шляхом їх фіксації і знайти рішення за допомогою якого-небудь чисельного методу, то вийде результат, не в точності відповідний початковим даним. Це є погрішність чисельного або якого-небудь іншого наближеного методу (наприклад, приблизно-аналітичного); саме такі погрішності оцінюватимуться при розгляді чисельних методів. Ці оцінки можуть виходити до виконання обчислень (апріорні оцінки) і після них (апостеріорні оцінки).
Погрішність методу пов'язана з тим, що точні оператор і початкові дані замінюються наближеними. Наприклад, замінюють інтеграл сумою, похідну – різницею, функцію – багаточленом або будують нескінченний ітераційний процес і обривають його після кінцевого числа ітерацій. Методи будуються звичайно так, що в них входить деякий параметр; при прагненні параметра до певної межі погрішність методу прагне до нуля, так що цю погрішність можна регулювати.
Погрішність методу доцільно вибирати так, щоб вона була в 2–5 разів менше неусувної погрішності. Велика погрішність методу знижує точність відповіді, а помітно менша – невигідна, бо це звичайно вимагає значного збільшення об'єму обчислень.
Підрахунки, як на папері, так і на ЕОМ виконують із певним числом значущих цифр. Це вносить у відповідь погрішність округлення, яка накопичується в ході обчислень.
Комп'ютерне представлення дійсних чисел обмежене фіксованою точністю мантиси. Істинне значення не завжди точно зберігається в комп'ютерному уявленні. Фактично число, яке зберігається в комп'ютері, може усікатися або містити закруглену останню цифру. Таким чином, оскільки диск комп'ютера працює тільки із обмеженою кількістю цифр в машинних числах, вводиться помилка округлення і розповсюджується на подальші підрахунки.
При рішенні великих задач виконуються мільярди дій. Здавалося б, початкові помилки зростуть в 109 разів, і погрішність відповіді буде величезною. Проте при окремих діях фактичні погрішності чисел можуть мати різні знаки і компенсувати один одного. Згідно статистиці при N однакових діях середнє
значення сумарної помилки перевищує одиничну приблизно в N раз, а вірогідність помітного ухилення сумарної помилки від середнього значення дуже мала. Отже, якщо немає систематичних причин, то випадкове накопичення помилок не дуже істотне.
Відзначимо, що в більшості прикладних задач неприємностей можна уникнути, проводячи розрахунок із подвійною або потрійною точністю. Така можливість реалізована в хороших математичних забезпеченнях ЕОМ; це у декілька разів збільшує час розрахунку, зате дозволяє користуватися вже відомими алгоритмами, а не розробляти нові.
20
При будь-яких розрахунках справедливе правило: треба утримувати стільки значущих цифр, щоб погрішність округлення була істотно менше за всю решту погрішностей.
Значущі цифри
Значущими цифрами наближеного числа називають всі цифри в його записі, починаючи із першої ненульової зліва.
Перші п значущих цифр наближеного числа називаються вірними, якщо абсолютна погрішність цього числа не перевищує половини одиниці розряду, відповідного п-ій значущій цифрі, вважаючи зліва направо. Зайві збережені цифри, крім вірних, називаються сумнівними.
Обчислити наближене число із точністю ε = 10−n означає, що необхідно зберегти вірною значущу цифру, що стоїть в п-м розряді після коми.
На практиці виникає необхідність в округленні наближеного числа, тобто заміні його числом із меншою кількістю значущих цифр. Для округлення числа до п значущих цифр слід відкинути всі його цифри, що стоять праворуч від п-ої значущої цифри. При цьому:
а) якщо перша із відкинутих цифр менше 5, то десяткові знаки, що залишилися, зберігаються без зміни;
б) якщо перша із відкинутих цифр більше 5 або рівна 5 і серед решти відкинутих цифр є ненульові, то до останньої цифри, що залишилася, додається одиниця;
в) якщо перша із відкинутих цифр рівна 5 і решта відкинутих цифр нульових, то остання цифра, що залишилася, не змінюється, якщо вона парна, і збільшується на одиницю, якщо вона непарна.
Абсолютна і відносна погрішності записуються у вигляді чисел із однією або двома значущими цифрами, і вони округляються з лишком. У записі наближених чисел вони указуються так:
a = a * ± a = a* (1 ±δ ). (2.13) Наприклад, π = 3,141 ±0,0006 ; π = 3,141(1 ±0,02%).
Якщо в записі числа не вказано, то мається на увазі, що а має точність половини одиниці (1/2 од.) молодшого розряду. Так, для а=5,63 абсолютна погрішність = 0,005 .
Розповсюдження помилки
Розглянемо, як помилка може розповсюдитися в подальших обчисленнях. Розглянемо складання двох чисел р і q (істинні значення) із наближеними значеннями р* і q*, які містять відповідно помилки εp і εq . Почнемо із і, їх сума
рівна: |
|
p + q = (p* +εp )+(q* +εq )= (p* +q* )+(εp +εq ) |
(2.14) |
Отже, для складання помилка суми рівна сумі помилок доданків. |
|
||
Розповсюдження помилки в множенні складніше. Множення рівне: |
|||
p q = (p* +εp ) (q* +εq )= p* q* + p* εq + q* εp +εp εq |
(2.15) |
||
|
|
|
|
|
21 |
|
|
Звідси, якщо р і q більше 1 по абсолютній величині, то члени p* εq |
і |
q* εp показують, що, можливо, походить збільшення первинних помилок εp |
і |
εq . Це стає зрозуміло, якщо подивитися на відносну помилку. Перегрупувавши члени в (2.15), одержуємо:
|
|
|
|
|
p q − p* q* = p* εq + q* εp +εp εq |
|
|
|
(2.16) |
||||||
Припустимо, що і q ≠ 0 . Потім можна розділити (2.16) на pq, щоб одержа- |
|||||||||||||||
ти відносну помилку при обчисленні твору pq: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
δp q = |
p q − p* q* |
= |
|
p* εq + q* εp +εp εq |
= |
p* εq |
+ |
q* εp |
+ |
εp εq |
. (2.17) |
||||
p q |
|
|
p q |
|
|
p q |
p q |
|
p q |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Більш того, припустимо, що р* і q* з’являється хорошими наближеннями |
|||||||||||||||
для р |
і q, тоді, |
q* |
|
|
εp |
|
εq |
|
|
(δp і |
δq |
рівні відносним |
|||
|
q |
≈ 1 і δp δq = |
|
|
|
≈0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
p |
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
помилкам при наближеннях р* і q*). Потім, виробивши ці заміни в (2.17), одержимо просте співвідношення:
δp q |
= |
p q − p* q* |
≈ |
εq |
+ |
εp |
+0 |
=δp |
+δq . |
(2.18) |
|
p q |
q |
p |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Це показує, що відносна помилка твору pq приблизно рівна сумі відносних помилок наближень p* і q* .
Одиниці вимірювання інформації
При записі і обробці інформації на комп'ютері, кількість інформації вимірюється в байтах і бітах.
Битий (англ. bit, від binary – двійковий і digit – знак), якнайменша одиниця кількості інформації, двійкова одиниця. Битий в обчислювальній техніці – двійкова цифра, двійковий розряд. Число біт пам'яті ЕОМ визначає максимальну кількість двійкових цифр, що вміщаються нею; число біт даних є кількість двійкових розрядів, в яких вони записані. Крупніші одиниці вимірювання: кілобіт (1 Кбіт = 210 біт = 1024 біт), мегабіт (1 Мбіт = 220 біт = 1048576 біт).
Байт (англ. byte), одиниця вимірювання кількості інформації при її зберіганні, передачі і обробці на ЕОМ. Складається з 8 біт (двійкових одиниць). Інформація, що міститься в одному байті звичайно достатня для представлення однієї букви, цифри, розділового знаку або 2 десяткових цифр. Крупніші одиниці вимірювання: кілобайт (1 Кбайт = 210 байт = 1024 байти), мегабайт (1 Мбайт = 1024 Кбайт = 220 байт = 1048576 байт), гігабайт (1 Гбайт = 1024
Мбайт = 230 байт = 1073741824 байт).
22