2011- МУ для магистров MathCAD_укр

Побудова двомірного графіка функції

Для побудови двомірного графіка функції треба виконати наступну про-

цедуру.

1.Установіть хрестоподібний курсор у те місце, де повинен бути побудований графік.

2.На математичній панелі Graph (Графік) клацніть на кнопці X-Y Plot (Двомір-

ний графік).

3.У шаблоні двомірного графіка, що з'явився на місці курсору, введіть на осі абсцис ім'я аргументу, на осі ординат – ім'я функції.

4.Клацніть мишею поза шаблоном графіка – для заданого діапазону зміни ар-

гументу графік буде побудований.

Якщо діапазон значень аргументу не заданий, за замовчуванням графік

будується в діапазоні значень аргументу від – 10 до 10.

Щоб в одному шаблону розмістити декілька графіків, необхідно, набравши на осі ординат ім'я першої функції, нажати клавішу «,» (кома) – куток курсору при цьому обов'язково повинен перебувати наприкінці імені функції, і в місці уведення (чорному квадратику), що з'явилося, вписати ім'я другої функції і т.д.

Якщо дві функції мають різні аргументи, наприклад f1(x) і f2(y), то на осі ординат треба ввести ( через кому) імена обох функцій, а на осі абсцис (також через кому) – імена обох аргументів x і y. Тоді перший графік буде побудова-

ний для першої функції по першому аргументу, другий графік – для другої фу-

нкції по другому аргументу.

Якщо функцій уведено декілька, а аргументів два, то графік першої фун-

кції будується по першому аргументу, графіки інших функцій – по другому ар-

гументу.

Якщо ввести на осях ординат і абсцис імена двох функцій одного аргуме-

нту, то буде побудований параметричний графік функції.

Щоб відфарматувати графік, двічі клацніть мишею в області графіка – ві-

дкриється діалогове вікно форматування графіка. Нижче перераховані вкладки вікна форматування графіка.

20

ПРИКЛАДИ ВИКОНАННЯ ЗАВДАННЯ

Приклад 1: Знайти координати точок перетину автотрасою залізничної гі-

лки, що йде вздовж осі Ох, якщо лінія автотраси описується трансцендентним рівнянням: 4x 15 x2 22 x 77 (рис. 14)

Рис.14. Реалізація в MathCAD прикладу 1

Приклад 2. Лінія автотраси – поліном четвертого ступеня Реалізацію прикладу в MathCAD наведено на рис. 15

21

Рис.15. Реалізація в MathCAD прикладу 2

Приклад 3. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь методом

зворотної матриці:

7.5 x1 4.8 x2 8.2 x3 68 x1 4.2 x2 5.3 x3 37.3 x1 4.5 x2 4.4 x3 2

Реалізацію прикладу в MathCAD наведено на рис. 16

22

Номер першого рядка (стовпця) матриці або першого компонента вектора,

зберігається в Mathcad у змінній ORIGIN.

За замовчуванням в Mathcad координати векторів, стовпцві та рядка мат-

риці нумеруються починаючи з 0 (ORIGIN:=0). Оскільки в математичному за-

писі частіше використовується нумерація з 1, зручно перед початком роботи з матрицями визначати значення змінної ORIGIN таким, що дорівнює 1, вико-

нуючи команду: ORIGIN:=1.

Рис.16. Реалізація в MathCAD прикладу 3

Приклад 4. Знайти координати точок перетину двох автомобільних трас, ви-

рішуючи систему нелінійних рівнянь. Лінії автотрас задані нелінійними функціями Реалізацію прикладу в MathCAD наведено на рис. 17

ВИХІДНІ ДАНІ ДЛЯ ВИКОНАННЯ ПРАКТИЧНОЇ РОБОТИ 2

1.Трансцендентна функція лінії автотраси: y(x) nsin 2x n 1 xn 1 (n 20) x (n 50)

2.Лінія автотраси, задана поліномом:

P(x) n x4 n 10 x3 n 20 x2 n 30 x n 40

3. Система лінійних рівнянь
n 1 X1	2 n 0.65 X2		n 10 X3			n 8
		n 9.83 X2	n 7.65 X3 n 4
n 1.54 X1
		3 n 4.61 X			n 17.45 X			n 7.11
n 0.81 X				2			3
	1
					23

Рис.17. Реалізація в MathCAD прикладу 4

4.Знайти координати точки перетину двох автотрас (система нелінійних рі-

внянь):

y1 x n 1 x ln n x 1 2
	x
y2 x n 0.95	n x n n 4 x	n 10	x

Для всіх варіантів: n – номер варіанту

24

ПРАКТИЧНА РОБОТА 3

ПОШУК ЕМПІРИЧНИХ ФОРМУЛ

Мета роботи: Освоїти математичні методи знаходження функціональ-

них залежностей, що зв'язують дані, отримані в результаті експериментів або спостережень.

Потрібно: За даними, набутими в експерименті:

1.Підібрати вид емпіричної залежності;

2.Знайти параметри цієї залежності;

3.Визначити коефіцієнт лінійної кореляції і відносні погрішності експерименту;

4.За набутими даними оцінити достовірність емпіричної залежності.

КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ:

Нехай залежність між змінними x та						y представлена таблицею даних,
отриманих в експерименті:
	X		x1		x2		…		xN
	Y		y1		y2		…		yN
Потрібно отримані дані описати деякою функціональною залежністю ви-
гляду	y f x . Така		залежність повинна			відбити основну			тенденцію зміни
змінної	y зі зміною змінної			x і згладити випадкові погрішності вимірів, які є

неминучими в експерименті.

Задача знаходження емпіричної формули складається із двох основних

етапів.
На першому етапі необхідно встановити вигляд залежності						y f x , тобто
вирішити	чи	є	вона	лінійною	f x a0 a1 x ,	квадратичною
f x =a0 +a1	x+a2	x2	, логарифмічною f x =a0 +a1 ln x або який-небудь іншою.

Для цього експериментальні точки наносять на координатну площину і по їх роз-

ташуванню висувають гіпотезу про вигляд емпіричної залежності.

На другому етапі, коли загальний вид емпіричної функції обрано, необхід-

25

m N 1

но визначити числові значення її параметрів a0 , a1 , a2 ,..., an . Критерієм вибору значень параметрів є метод найменших квадратів (МНК).

У методі найменших квадратів апроксимація відбувається на підставі того,

що сума квадратів відхилень по всіх крапках повинна бути найменшою. Тобто:

N	N
F k	f xk yk 2 min ,	(3.1)
k 1	k 1
Де k – відхилення.
Якщо взяти поліном у вигляді:
f x =a0 +a1 x+a2 x2 +...+am xm ,		(3.2)

То F F a0 ,a1 , ...,am

Помітно, що ступінь поліному m повинна бути менше числа крапок N . (у

випадку одержимо поліном лагранжа).

Лінійна апроксимація

У цьому випадку m 1 , тоді апроксимуюча функція буде мати вигляд:

f x =a0 +a1 x

(3.3)

Згідно мнк значення її параметрів підбираються таким чином, щоб відхи-

лення експериментальних точок xk ; yk від обраної кривої було мінімальним.

Тобто параметри a0 , a1 повинні бути такими, щоб сума квадратів відхилень спостережуваних значень yk від розрахованих за функцією (3.3), була мініма-

льною. Сума квадратів відхилень від лінійної функції (3.3) має вигляд:

		N
F a0 , a1		a0 a1 xk			yk 2 min			(3.4)
		k 1
Величина F ao ,a1 є функцією двох змінних. Необхідною умовою екстре-
муму такої функції є рівність нулю всіх її окремих похідних:
	F ao	,a1		0		F ao ,a1	0	(3.5)
	a0					a1

Вони мають вигляд:

26

F a0 , a1			N
			2 a0 a1 xk yk 0
	a0
			k 1	(3.6)
	F a0 , a1		N
			2 a0 a1 xk yk xk 0
	a1
			k 1

Таким чином, після перетворення маємо нормальну систему двох лінійних рівнянь щодо невідомих параметрів регресії a0 , a1 .

		N		N
a0 N a1 xk			yk
		k 1	k 1		(3.7)
	N	N		N
	xk		2	yk	xk
a0		a1 xk
	k 1	k 1		k 1

Рішення системи – значення параметрів a0 , a1 можна знайти методом зво-

ротної матриці. Представимо систему (3.7) у матричній формі:

N

N

xk

k 1

Тоді:

N

N

xk

a0

yk

a

k 1

k 1

N

a

N

або A

0

B

xk2

yk

a1

1

xk

k 1

k 1

a	0		A 1 B
				(3.8)
a1

Знайдені параметри регресії a0 , a1 підставляють у рівняння (3.3) і в такий спосіб одержують емпіричне лінійне рівняння, яке найкращим чином описує експериментальні дані.

Для оцінки відповідності підібраної прямої і експериментальних даних уводять поняття коефіцієнта лінійної кореляції, що обчислюється за формулою:

N

xk

yk

x

y

Ryx

k 1

(3.9)

N

N

xk

x

2

yk

y

2

k 1

k 1

де:

1

N

1

N

x

xk ,

y

yk – середні величини змінних х та у.

N

N

k 1

k 1

27

Квадратична апроксимація

Якщо m 2 , то одержуємо функцію:

fx a0 a1 x a2 x2

Уцьому випадку нормальна система має вигляд:

	F a0 , a1			,a2		2 a0 a1 xk a2 xk 2		yk 0
							N
	a0						k 1
	F a , a			,a			N
							2 a0 a1 xk a2 xk 2	yk xk 0
	0		1		2
	a1
							k 1
	F a , a			,a			N
	0		1		2		2 a0 a1 xk a2 xk 2 yk xk 2 0
	a
		2					k 1

(3.10)

(3.11)

Після перетворення маємо нормальну систему трьох рівнянь щодо невідо-

мих параметрів регресії a0 , a1 , a2 :

		N	N	N
a0 N a1 xk a2 xk2				yk
		k 1	k 1	k 1
	N	N	N	N
a0	xk	a1 xk2 a2 xk3 xk yk			(3.12)
	k 1	k 1	k 1	k 1
	N	N	N	N
a0	xk2 a1 xk3 a2 xk4 xk2 yk
	k 1	k 1	k 1	k 1
Розв’язавши систему (3.12)			щодо параметрів a0 , a1 , a2		одержуємо конкре-

тний вид функції (3.10). Зміна кількості параметрів не призведе до зміни суті самого підходу, а виразиться в зміні кількості рівнянь у системі (3.12).

Значення різниць

yk F a0 ,a1 ,a2 k

(3.13)

Називають відхиленнями обмірюваних значень від обчислених за формулами

(3.3) або (3.10).

Сума квадратів відхилень

N
k2		(3.14)
k	1

Відповідно до принципу найменших квадратів для заданого виду функції,

що наближає, повинна бути найменшої.

28

ПРИКЛАДИ ВИКОНАННЯ ЗАВДАННЯ

Приклад 1. Знайти емпіричну функцію, що встановлює залежність між да-

ними, набутими в результаті експерименту (лінійна апроксимація).

х	7	8	9	10	11	12	13
у	0,93	0,91	0,90	0,86	0,85	0,82	0,77

Реалізацію лінійної апроксимації в MathCAD наведено на рис. 18

Приклад 2. Знайти емпіричну функцію, що встановлює залежність між да-

ними, набутими в результаті експерименту (квадратична апроксимація).

х	1,5	1,8	2,4	2,8	3,0	3,6	3,8	4,5
у	7,5	7,6	7,7	7,8	7,9	8,2	8,4	9,2

Реалізацію квадратичної апроксимації в MathCAD наведено на рис. 19

ВИХІДНІ ДАНІ ДЛЯ ВИКОНАННЯ ПРАКТИЧНОЇ РОБОТИ 3

Таблиця 3

Варіанти 1-10

х	n-0,25	n-0,22	n-0,21	n-0,18	n-0,15	n-0,13	n-0,11	n-0,07	n-0,06	n-0,03
у	n+0,87	n+1,25	n+1,34	n+1,38	n+1,46	n+1,49	n+1,86	n+1,99	n+2,11	n+2,35
Варіанти 11-20
х	n-3,48	n-3,53	n-3,62	n-3,88	n-3,91	n-3,97	n-3,98	n-4,01	n-4,25	n-4,26
	n+6,98	n+6,95	n+6,91	n+6,88	n+6,87	n+6,55	n+6,43	n+6,32	n+6,31	n+6,30
у
Варіанти 21-30
х	n+0,94	n+0,97	n+0,99	n+1,02	n+1,06	n+1,09	n+1,11	n+1,12	n+1,15	n+1,26
у	2n+0,7	2n+0,8	2n+0,9	2n+1,1	2n+1,2	2n+1,3	2n+1,4	2n+1,7	2n+1,8	2n+1,9
					Для всіх варіантів: n – номер варіанту

29