2011- МУ для магистров MathCAD_укр

	F x, y	0,	F x, y	0	(8.3)
	x		y

Рішення (x0, y0) рівняння (8.3) – критична точка – не завжди є точкою екст-

ремуму. Це може бути і сідлова точка, і точка перегину.

Графік функції двох змінних z=F(x, у) є поверхня, яка демонструє всі особли-

вості поведінки функції. Система MathCAD дозволяє обертати трьохмірний графік поверхні навколо осей координат і тим самим дає можливість дослідити його.

Проте, по графіку поверхні не можна визначити положення на площині Oxy

точки екстремуму. Для цього будується графік ліній рівнів досліджуваної фун-

кції. Рівняння лінії рівня має вигляд: F( x, y ) C . Додаючи константі С різні значення, одержують сімейство ліній, уздовж яких функція постійна і має,

задане константою С значення. Одержати лінії рівня можна, розтинаючи поверхні z=F(x, у) площинами перпендикулярними осі Oz. По вигляду ліній рівня в околі критичних точок (рис. 35) можна судити про те чи є це екстремум,

сідло, або перегин.

Екстремум	Сідло	Перегин
Рис. 35. Лінії рівня в околі критичних точок

На графіку ліній рівня визначають положення точки екстремуму в початко-

вому наближенні, потім за допомогою вирішального блоку Given – Find знахо-

дять рішення системи (8.3), тобто такі значення (x0, y0) в околі початкового на-

ближення, при яких окремі похідні досліджуваної функції обертаються в нуль.

60

Оптимізаційна задача з обмеженням у вигляді рівності

Нехай необхідно знайти локальний екстремум функції двох змінних

z f x, y max min (8.4)

за умови, що незалежні змінні x і у задовольняють обмеженню у вигляді рівно-

сті, тобто

g x , y 0

(8.5)

Функція f(x, у) називається цільовою функцією, а рівняння (8.5) обмежен-

ням. Функція цілі може залежати від багатьох змінних і обмежень може бути

декілька.

Метод Лагранжа рішення задачі на умовний екстремум полягає в побу-

дові функції Лагранжа
L x, y, f x, y g x, y	(8.6)

трьох незалежних змінних x, у, і в зведенні задачі на умовний екстремум

(8.4), (8.5) функції двох змінних x, у, до задачі на безумовний екстремум функ-

ції трьох змінних (8.6). Функція Лагранжа є сума цільової функції і функції об-

меження, помноженої на множник Лагранжа .

Точка (x0, y0, 0), буде критичною точкою функції Лагранжа (8.6) за умо-

ви, що окремі похідні функції Лагранжа в цій точці дорівнюють нулю, тобто

		L x , y ,	0
		x
		L x , y ,
			0
				(8.7)
		y
		L x , y ,
			0

Рішення системи (8.7) здійснюється у вирішальному блоці Given – Find.

Але перед вирішальним блоком необхідно задати початкове наближення, яке визначається таким чином. На графік ліній рівня функції цілі z=f(x, у), які бу-

дуються в площині Oxy, наноситься графік функції обмеження g(x, у)=0. Відомо,

що в критичній точці функції Лагранжа відбувається торкання лінії рівня функ-

61

ції цілі і лінії обмеження. Причому, «скорочена» критична точка (x0, y0) буде точкою екстремуму, якщо видалення від неї уздовж лінії обмеження в будь-

якому напрямі супроводжуватиметься спуском – умовний максимум, або під-

йомом – умовний мінімум.

ПРИКЛАДИ ВИКОНАННЯ ЗАВДАННЯ

Приклад 1: Пошук екстремуму функції однієї змінної.

Рис.36. Пошук екстремуму функції однієї змінної

62

Приклад 2: Пошук екстремуму функції двох змінних.

Рис.37. Пошук екстремуму функції двох змінних

63

Приклад 3: Пошук максимальної вертикальної відмітки.

Рис.38. Пошук максимальної вертикальної відмітки

ВИХІДНІ ДАНІ ДЛЯ ВИКОНАННЯ ПРАКТИЧНОЇ РОБОТИ 8

Вихідні дані наведено в табл.10.

64

Таблиця 10

Варіант	Функція однієї змінної	Функція двох змінних

3 x4

4 x3 12 x2 5

1, 16

F x

F x , y sin

2 x

y cos y

3x 7

6

6

2 x

3

9 x

2

60 x 1

2, 17

F x

F x , y cos 3 x

x sin y

2x 7

2

3

3, 18

F x x

4

x 1

2

y

cos

F x , y sin

x

x

4 x 1

3

4

2

F x

2 x4

x2 10

F x, y cos

3 y x y cos y

4, 19

2x 10

3 x4

8 x3 6 x2 10

5, 20

F x

F x , y sin

4 y

x cos x

3x 9

8

3

x

4

18 x

2

6

F x

F x , y cos 2 y

x cos x

6, 21

2x 6

6

6

7, 22

F x x

4

4 x

3

8 x

2

17

F x , y x sin

x

y cos

y

4 x 6

6

2

F x

x4

x3

2 x2

3 x 3

F x, y x sin x y cos y

8, 23

4 x 3

3 x4

4 x3 12 x2 1

x

y

9, 24

F x

F x , y sin

y cos

3x 6

6

6

3 x

4

8 x

3

18 x

2

2

10, 25

F x

F x , y cos 3 x

y cos x

4 x 2

8

4

11, 26

F x 2 x

4

8 x

3

8 x

2

1

y

F x , y cos x y cos

2x 4

x

6

2 x

4

8 x

3

8 x

2

1

12, 27

F x

F x , y sin 4 x

4 y cos y

2x 4

4

3

F x x

4

4 x

3

8 x

2

1

F x , y y sin

13, 28

x

x cos

y

4 x 1

6

6

3 x

4

4 x

3

12 x

2

5

y

14, 29

F x

F x , y sin

y cos

4 x 3

x

F x

2 x3

9 x2 60 x 1

F x , y x sin

y

15, 30

y cos

3x 2

x

6

65

INTERNET-РЕСУРСИ MATHCAD

Для отримання додаткових відомостей щодо програми MathCAD, а також розв’язання задач без встановлення програми на комп’ютер можна скористати-

ся розрахунковим сервером, побудованим по технології Mathcad Calculation Server (MCS), наприклад за посиланням:

http://twt.mpei.ac.ru/ochkov/VPU_Book_New/mas/index.html

Рис. Сайт MAS В. Очкова (фрагмент робочого вікна)

Також рекомендується відвідати англомовні ресурси: http://communities.ptc.com/community/mathcad http://www.ptc.com/appserver/mkt/products/home.jsp?k=3901

66

ЛІТЕРАТУРА

1.Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcad. – СПб.: БХВ-

Петербург, 2005. – 752 с.

2.Глушаков С.В., Жакин И.А., Хачиров Т.С. Математическое моделирова-

ние: Учебный курс. – Харьков: Фолио; М.: ООО «Издательство АСТ»,

2001. – 524 с.

3.Дьяконов В.П. Энциклопедия Mathcad 2001i и Mathcad 11. – М.: СОЛОН-

Пресс, 2004. – 832 с.

4.Дьяконов В. Mathcad 8/2000: Специальный справочник. – СПб: Питер,

2001. – 592 с.

5.Информатика. Базовый курс. 2-е издание/ Под ред. С.В. Симоновича. –

СПб.: Питер, 2003. – 640 с.

6.Кудрявцев Е.М. Mathcad 2000 Pro. – М.: ДМК Пресс, 2001. – 576 с.

7.Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в Mathcad. Учебный курс. – СПб.: Пи-

тер, 2003. – 448 с.

8.Макаров Е.Г. Сопротивление материалов на базе Mathcad. – СПб.: БХВ-

Петербург, 2004. – 512 с.

9.Очков В.Ф. Mathcad 12 для студентов и инженеров. – СПб.: БХВ-

Петербург, 2005. – 464 с.

10.Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad 2000. Математический практикум для экономистов и инженеров: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика,

2000. – 656 с.

11.Поршнев С.В. Компьютерное моделирование физических процессов с ис-

пользованием пакета Mathcad. Учебное пособие. – М.: Горячая линия - Те-

леком, 2002. – 252 с.

12.Херхагер М., Партолль Х. Mathcad 2000: Полное руководство: Пер. с нем.–

К.: Издательская группа BHV, 2000. – 416 с.

67

ДОДАТКИ

Розв’язання рівнянь

Для визначення коріння рівняння (алгебри, трансцендентних, тригономет-

ричних і ін.) в пакеті передбачена вбудована функція:

root(вираз, змінна)

Для вирішення поліноміальних рівнянь використовується вбудована функція:

polyroots(v)

де v – вектор коефіцієнтів полінома при невідомому порядку зростання його ступеня

Завдання кусково-аналітичних функцій

– оператори програмування.

– Виклик вертикальної лінії програми

if otherwise

– завдання умови.

– «в решті випадків»

68

СПИСОК ПОВІДОМЛЕНЬ ПРО ПОМИЛКИ

ПОВІДОМЛЕННЯ		ОПИС
array size mismatch		невідповідність розміру масиву
cannot be defined		не може бути визначено
cannot take subscript		відсутній нижній індекс
definition stack overflow		переповнювання стека визначення
did not find solution		рішення не знайдено
dimension to non real power		розмірність масиву не ціле число
domain error		помилка області визначення
duplicate		повторення
equation too large		дуже великий вираз
error in constant		помилка в константі
error in list		помилка в списку
error in solve block		помилка в блоці
file error		помилка у файлі
file not found		файл не знайдений
illegal array operation		невірна операція з масивом
illegal context		невірний контекст
illegal factor		невірний множник
illegal function name		невірне ім'я функції
illegal ORIGIN		невірне вживання ORIGIN
illegal range		неправильний діапазон
illegal tolerance		некоректна точність апроксимації
incompatible units		несумісні одиниці
index out of bounds		індекс поза межами
interrupted		перервано
invalid order		невірний порядок
list too long		довгий вхідний список
misplased comma		недоречна кома
missing operand		пропущений операнд
missing operator		пропущений оператор
must be 3-vcctor		повинне бути тривимірним вектором
must be array		повинне бути масивом
must be dimensionless		повинне бути безрозмірним
must be increasing		повинне бути зростаючим
must be integer		повинне бути цілим
must be nonzero		повинне бути ненульовим
must be positive		повинне бути позитивним
must be range		повинне бути діапазоном
must be real		повинне бути речовинним
must be scalar		повинне бути скаляром
	69